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文档简介
1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义回忆向量夹角概念已知两个非零向量 和 ,作 , ,则AOB= (0180)叫做向量 与 的夹角.OAB导入新课当= 0时, 与 同向;当= 180时, 与 反向;当= 90时, 与 垂直,记作 .问题(1)功的数学本质是什么?(2)尝试练习.一物体质量是10千克,分别做以下运动,求重力做功 的大小。 、在水平面上位移为10米; 、竖直下降10米; 、竖直向上提升10米; 、沿倾角为30度的斜面向上运动10米.研究数量积的物理意义探究新知、沿倾角为30的斜面向上运动10米.、竖直下降10米;、竖直向上提升10米;、在水平面上位移为10米;sF 如果一个
2、物体在力 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功为: 从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念.向量的数量积概念: 已知非零向量 与 ,我们把数量叫作 与 的数量积(或内积),记作 ,即规定: 为 与 的夹角. 向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?思考:当0 90时为正;当90 180时为负。当 =90时为零。 其中是 与 的夹角, 叫做向量 在 方向上( 在 方向上)的投影.并且规定,零向量与任一向量的数量积为零,即 。BB1OA投影:投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |;当 = 180时
3、投影为 |.由向量数量积的定义,试完成下面问题:0注:常记 为 证明向量垂直的依据例1:已知 , 的夹角=120, 求 。解: 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。BB1OA数量积的几何意义:数量积的运算规律:证明:证明:如图可知:数量积的运算规律:思考:等式 是否成立?不成立探究:两个向量的数量积与数的乘法有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成 ;符号“ ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替.(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;在数量积中,若,且,不能推出因为任一与的非零
4、向量都有(4)与实数中 不同,由 不能否推出 ,由图很容易看出虽然 ,但是(5)在实数中,有,但是对于向量来说显然,这是因为左端是与共线的向量,而右端是与共线的向量,而一般与不共线例2:我们知道,对任意 ,恒有对任意向量 是否也有下面类似的结论?解:例3:已知 , 的夹角60, 求 。解:(1)(2)例4:已知 ,且 与 不共线,k为何值时,向量 与 互相垂直.解:与 互相垂直的条件是即也就是说,当 时, 与 互相垂直. 已知非零向量 与 ,我们把数量叫作 与 的数量积(或内积),记作 ,即规定: 、数量积的概念课堂小结、数量积几何意义 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。、重要性质、运算律、判断下列各题正确与否:(1)若,则对任一向量,有 ()(2)若 ,则对任一非零向量 ,有 ()(3)若,则 ()(4)若,则至少有一个为零 ()小试牛刀(5)若,则 ()(6)若,则当且仅当时成立 ()(7)对任意向量,有 ()(8)对任意向量,有 ()、已知,则向量方向上的投影为 . 、已知 ,且,则18或、下面给出的关系式中正确的个数是()0123D、若向量 与 的夹角为60, 则
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