利用球坐标计算三重积分

1、关于利用球坐标计算三重积分第一张，PPT共十九页，创作于2022年6月回顾 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“分割, 近似, 求和, 取极限”解决方法:质量 M .密度函数为第二张，PPT共十九页，创作于2022年6月定义. 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式” 极限记作第三张，PPT共十九页，创作于2022年6月1. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”)

2、先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:第四张，PPT共十九页，创作于2022年6月方法1 . 投影法 (“先一后二”) 找 及在 面投影区域D。过D上一点 “穿线”确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。第五张，PPT共十九页，创作于2022年6月方法2. 截面法 (“先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作第六张，PPT共十九页，创作于2022年6月2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为

3、点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第七张，PPT共十九页，创作于2022年6月 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化 面积微元为 因此其中适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.体积微元第八张，PPT共十九页，创作于2022年6月其中为由例1. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.先二后一第九张，PPT共十九页，创作于2022年6月例2. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =第十张，PPT共十九页，创作于202

4、2年6月例3. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围立体.其中 与球面注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？第十一张，PPT共十九页，创作于2022年6月3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第十二张，PPT共十九页，创作于2022年6月如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.第十三张，PPT共十九页，创作于2022年6月例5. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中

5、 与球面这种方法简单多了！第十四张，PPT共十九页，创作于2022年6月内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* 说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;第十五张，PPT共十九页，创作于2022年6月（1）若空间闭区域关于平面 对称, 即即被积函数关于z为偶函数时，即被积函数关于z 为奇函数时,则当当其中 是 位于 平面上侧的部分. 积分区域关于其它坐标平面： 对称，且被积函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论 一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分 第十六张，PPT共十九页，创作于2022年6月（2）若空间区域具有轮换对称性，即则也就是三字母轮换积分区域不改变，第十七张，PPT共十九页，创作于2022年6月4. 设由锥面和球