三角形的证明讲义

1、小巨人学科教师辅导讲义学生：谢仲钺教师：赵常巨日期：2015/3/14家长签名:课题三角形的证明教学目标.能够证明与二角形，线段的垂直平分线，角平分线等有关的性质及判定定理。.理解逆命题的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不.尺规作图等腰三角形，角平分线，线段的垂直平分线。重点、难点.重点是探索证明的思路和方法；.难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。考点及考试要求本章内容在历年中考中主要考查等腰二角形的性质，直角二角形的性质， 线段的垂直平分线，角平分线的性质。这些内容还常常与三角形全等，相 似等内容结合在T综合考查，主要以证明题的形式出现。教学内容1口二对1 立相等的两个三

2、角形全等（SAS ;立相等的两个三角形全等（ASA ；E个三角形全等（SS9 ;勺对边对应相等的两个三角形全等（AA9;,对应角。法叫做等腰三角形，相等的两边叫做 ,两腰的夹角叫做 ,腰,的三角形叫做等边三角形。氏 AB=AC1示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？）定理： （简称“等边对等角”）；C （等边对等角） ,: V AB=AC, BD=DC, : AB=AC,_平分,，三 _L ，_f -，,_7、曳怕寺刑投4、及其中一角白5、全等三角形的对应边6、有的三角力与底边的夹角叫做回顾课本已知： ABC是等腰三角，求证：/ B=/ C住归纳：1、等腰三角形性质推理格式：丁 ABq2、

3、推论（三线合一） 推理格式： : AB=AC,ADL BC ，BD=DC,A评分1、等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm、则周长为。2、如图在 ABC中，AB = AC, ADAC, / BAC = 100。求：/ 1、/ 3、如图，已知/ D = /C, / A = /B,且 AE = BF0 求证：AD = BC。4、如图，在 ABC中，D为AC上一点，并且 AB = AD,DB = DC,若/C = 29 ，求/ A。5.如图，在 ABC中,AB = AC, D是BC边上的中点，且DE! AB,DFLAB的度数CDAABDAG求证：/ 1 = /2。总结一下:三 角 形 性 质AD

4、C（简称“等边对等角” 2、推论（三线合一）： 第二篇章1、如图，E是 ABC内的一点，AB = AC,连接 AE BE CE，且BE = CE,延长 AE,交BC边于点Do求证：ADL BG2、已知：如图，点 D,E在三角形 ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC求证:3、已知：如图，在 ABC中，/ B=/ C,求证：AB=AC （提示：构造两个专归纳：1、有两个角相等的三角形是=CE.三角形。（简称“等用对等旷F推理格式：丁/ B=/ C,（等角对等边）2、反证法证明问题的一般步骤:AB从结论的出发，先假设命题的结论,然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相的结果，从而证明命题的结论

5、一定成立。这种证明方法称为60。1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于E.如图，在 ABC中，AB = AC, DE/ BC,求证： AD虚等腰三角形。.如图，在 ABC中，/ ABC的平分线交AC于点D, DE/ BC求证： EB混等腰三角形。4、如图，一艘船从 A处出发，以18节的速度向正北航行，经过 10时到ANCE,DECB达B处。分另I从 A B望灯塔C,测彳NA NAC=42 , / NBC=84。求B处 R 到灯塔C的距离。交BC于M.求证:MD=ME.6、用反证法证明:一个三角形中不能有两个直角o回顾课本1、三条边都的三角形是等边三角形Ac2、三个都相等的三

6、角形是等边三角形3、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形5、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的 。5、直角三角形：有一个角是 的三角形叫做直角三角形。6、勾股定理的逆定理： aB+aC=bC,./ =90 （ ABC是直角三角形）7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 和 分别是另一个命题的 和,那么这两个命题称为 ,其中一个命题称为另一个命题的 。8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却 是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定

7、理称为 ,其中一个定理称为另一个定理的。9.斜边和一条 对应相等的两个 三角形全等。（“斜边、直角边”或“ _）.已知：如图， ABC43, CDL AB于 D, AC=4, BC=3, DB=9。5（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证： ABB直角三角形.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图 5所示，/ AC&900 , AO80 B米，BO 60米，若线段CD是一条小渠，且 D点在边AB上，已知水渠的造价为 10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。(1)如果ab=0,那么

8、a=0,b=0; (2)初三(6)班有62位同学；(3)等边对等角；4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。(1)如果x y,则x2 y2 (2)全等三角形对应角相等(3)对顶角相等1、直角三角形的两直角边为 9、12,则斜边为;直角三角形的两边分别为 13和5 ,则 另一条边为 。如果三角形的三边长是 6、10、8,则这个三角形是 三角形。2、如图，AB BC DCL BC E是 BC上一点,/ BAE=/DE60 , AB=3, CE=4,求：AD3.如图，AD是 / BAC的角平分线，DE! AB, DF! AC, BD = CD。求证：EB = FC。线段的垂直平分线线段的垂

9、直平分线：垂直且 一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的 到这条线段两个端点的距离 。定理：到一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的 线上。推理格式：; AB = AC,点在线段BC的 。定理：线段垂直平分线上的 到这条线段两个端点的距离 。推理格式：.PC!AB, AC=(点P在线段AB的垂直平分线 MNLh),=PB教材精读5、已知：如图，在 ABC中，设AB BC的垂直平分线相交于点 P,求证：AB, BC, AC的垂直平分线相交于点 P,且AP=BP=CP证明：连接AP、BP、CP,点P在线段AB的垂直平分线上，. PA=（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离

10、相等.）点P在线段BC的垂直平分线上，归纳：三角形三条边的 线相交于，并且这一点到三个 的距离相等。推理格式：丁点P是 ABC的三条边的垂直平分线的交点，PA=.教材精读1、已知：如图，OC是/AOB的角平分线，点 P在OC上，PCLOB PE，OA,垂足分别为 D, E, 求证：PD=PE证明：- PD1 OB PE OA,垂足分别为D, E,丁. / PDO=90.OC是/ AOB勺角平分线，归纳：角平分线上的 到这个角的两边的距离 o （证明两条线段相等）推理格式：丁点 P在/AOB的角平分线上，PE OA PDORPD=且 PD = PE,这个角的平分2、已知：如图，点 P为/AOB内

11、一点，PEOA PDOR求证：OP平分/ AOB归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的，在线上（证明角相等） 推理格式：PE1 OA PD OR 且 PD = PE,.二点P平分。.如图，在 ABC中，AC = BC, /C = 90 , AD是 ABC的角平分线，DEIAB,垂足为 E。（1）已知 CD = 4cm,求 AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。.如右图，已知 B已 AC于E, CF,AB于F, BE、CF相交于点 D,若BD=CD求证：AD平分/ BAG5、如图，在 ABC中,BE!AC, ADBC, AD BE相交于点 P, AE= Bd求证：P在/ ACB的

12、角平分线上。告诉你个秘密AEB1、角平分线上的 到这个角的两边的距离 0 （证明两条线段相等）2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的 ,在这个角白平分线上.（证明角相等） 教材精读.、已知：点P是 ABC的两条角平分线 BM CN的交点，求证：/ A的平分线经过点 P,且PD=PE=PF证明：过点 P作PEL BC于E, PF AC于F, PD! AB于D, TOC o 1-5 h z CN是4ABC的角分线，点P为CN上一点，久PE=（）D/ BM ABC的角分线，点P为BM上一点，丹aPE=（）BeC归纳：三角形三条角平分线相交于，并且这一点到三角形三条 的距离。推理格式：丁点 P是

13、ABC的三条角平分线的交点，且 PEBC, PF AC, PD!AB, PD=.实践练习：（1）如图4,点P为 ABC三条角平分线交点，PD AB, P已BG PF, AG则PD PE PF.（2）如图5, P是/AOB平分线上任意一点，且 PD=2cm若使PE=2cm则PE与OB的关系是 .图4图57、已知：如图在 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC交BC于D,若BC=3Z BD： CD=9： 7,求：D到AB边的距离.1、三角形三条角平分线相交于一,并且这一点到三角形三条 的距离。回顾思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和

14、方法，尺规作 图等。2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高用规范的数学语言表达论证过程的 能力。复习反馈1、等腰三角形的性质：（边） （角）三线合一：2、等边三角形的性质:一（边）：（角）3、判定等腰三角形的方法有：（边）;（角） 。4、判定等边三角形的方法有：（边）;（角） 。5、线段垂直平分线的性质定理： 。逆定理：。三角形的垂直平分线性质： 。6、角的性质定理：。逆定理：。三角形的角平分线性质：。7、三角形全等的判定方法有： 。8、30锐角的直角三角形的性质： 。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等;2）角平分线的性质定理：角平

15、分 线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定 理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对 应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线 合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。1、填空：（1） ABE, / A： / B： / C=1 ： 2 ： 3,最小边 BC=4

16、 cm,最长边 AB=。（2）直角三角形两直角边分别是 5 cm、12 cm,其斜边上的高是 。（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。（4）三角形三边分别为 a、b、c,且a2bc=a（bc）,则这个三角形（按边分类）一定是2、已知：如图，D是4ABC的BC边上的中点，DHAC, DF，AB,垂足分别是 E、F,且DE=DF 求证： ABC是等腰三角形。.A3、如图，在4ABC中，AB=AC AB的垂直平分线交 AC于点E,已以 BCE的周长为8, AC-BC=2.求AB与BC的长.4、已知，在 ABC中，AD垂直平分BC,且CA = CE,点点D、七、E先同一条直线上1、等腰三角形的底角为15接上的高为16,那么腰长为求证：AB + DB = DE2、如图1,在 ABC中，已知AC=27, AB的