新高考一轮复习人教A版 4.1 任意角、弧度制及三角函数的概念 学案

1、PAGE PAGE 9第四章三角函数与解三角形4. 1任意角、弧度制及三角函数的概念1. 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 2. 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【教材梳理】1. 任意角(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角. 任意角包括正角、负角和零角. (2)角的相等：设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线OA绕端点O旋转而成. 如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. (3)象限角：我们通常

2、在直角坐标系内讨论角. 为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角). (4)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 2. 弧度制(1)角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是

3、0. (3)单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆. (4)角度和弧度的换算eq x(180rad)eq blc (avs4alco1(1f(,180) rad0.017 45 rad,1 radblc(rc)(avs4alco1(f(180,)57.30)(5)半径为r的圆中，圆心角为 rad的角所对的弧长公式：l|r，圆心角为 rad的扇形的面积公式：Seq f(1,2)lreq f(1,2)|r2. 3. 三角函数的概念(1)定义：设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则siny，cosx，taneq f(y,x)(x0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数

4、. (2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号三角函数定义域(弧度制下)第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan keq f(,2)，kZ4. 特殊角的三角函数值角030456090120135150180270360角的弧度数0eq f(,6)eq f(,4)eq f(,3)eq f(,2)eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(5,6)eq f(3,2)2sin0eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)1eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)eq f(1,2)010cos1eq f(r(3),2)eq f(r(2

5、),2)eq f(1,2)0eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)101tan0eq f(r(3),3)1eq r(3)不存在eq r(3)1eq f(r(3),3)0不存在0【常用结论】5. 角的集合(1)象限角的集合象限角角的集合表示第一象限角x|k360 x90k360，kZ第二象限角x|90k360 x180k360，kZ第三象限角x|180k360 x270k360，kZ第四象限角x|270k360 x360k360，kZ(2)非象限角(轴线角)的集合角终边的位置角的集合表示在x轴的非负半轴上|k360，kZ在x轴的非正半轴上|k360180，kZ在y轴的

6、非负半轴上|k36090，kZ在y轴的非正半轴上|k360270，kZ在x轴上|k180，kZ在y轴上|k18090，kZ在坐标轴上|k90，kZ6. sin15eq f(r(6)r(2),4)，sin75eq f(r(6)r(2),4)，tan152eq r(3)，tan752eq r(3). 7. 0eq f(,2)时，sintan，特别地，cos1sin11tan1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”. (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角. ()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关. ()(3)终边落在直线yeq r(3)x上的角可以表示为k

7、36060，kZ. ()(4)若为第二象限角，则sintan0. ()(5)2k30(kZ)的写法合乎规范. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材改编题)若角满足条件sincos0，且cossin0，则是 ()A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角 D. 第四象限角解：因为sincos0，所以sin，cos异号，因为cossin0，即cos0，cos0，所以是第二象限角. 故选B. (教材改编题)已知角的终边经过点P0(4，3), 则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)的值为 ()A. eq f(3,5) B. eq f(4,5) C. e

8、q f(3,5) D. eq f(4,5)解：依题意sineq f(3,r(（4）2（3）2)eq f(3,5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq f(3,5). 故选C. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_. 解：设扇形的圆心角为，半径为r，由扇形周长公式和扇形面积公式得2rr6，r24，消去r得364(2)2，即2540解得1，4. 故填1或4. 考点一象限角与终边相同的角(1)若是第四象限角，则是第_象限角；eq f(,2)是第_象限角. 解：因为是第四象限角，所以eq f(,2)2k2k，kZ，所以2k2keq

9、 f(,2)，kZ，所以2k2keq f(3,2)，kZ，故是第三象限角. keq f(,4)eq f(,2)0，得r20，所以0r20. 所以扇形的面积Seq f(1,2)r(402r)r220r(r10)2100，所以r10时，Smax100，此时圆心角为eq f(40210,10)2. 故填2；100. 考点三三角函数的定义及应用(1)(2021应城市第一高级中学高三月考)已知角的终边上一点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(4,3)，cosf(4,3)，则角的最小正值为 ()A. eq f(7,6) B. eq f(11,6) C. eq f(5,6) D. e

10、q f(4,3)解：由题意sincoseq f(4,3)eq f(1,2)，又sineq f(4,3)0，点(sineq f(4,3)，coseq f(4,3)在第三象限，即是第三象限角，所以eq f(7,6)2k，kZ，最小正值为eq f(7,6). 故选A. (2)【多选题】(2021厦门质检)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(eq f(3,5)，eq f(4,5)，将角的终边逆时针旋转90得到角，则下列结论正确的是 ()A. taneq f(4,3) B. coseq f(3,5)C. sin()1 D. sineq blc(rc)(avs4alco1(

11、f(,4)eq f(r(2),10)解：对于A，由题得taneq f(f(4,5),f(3,5)eq f(4,3)，所以A正确；对于B，由题得eq f(,2)，所以coscos(eq f(,2)sineq f(4,5)，所以B错误；对于C，sin()sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1，或由题得coseq f(4,5)，sinsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)coseq f(3,5)，所以sin()eq f(4,5)eq f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)1，所

12、以C正确；对于D，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)eq f(r(2),2)eq f(4,5)eq f(r(2),2)eq f(r(2),10)，所以D错误. 故选AC. 【点拨】 三角函数定义应用问题的解题思路：直接利用三角函数的定义，找到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值；已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出关于参数的方程，求参数的值. 牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行必要的讨论. (1)(2021陕西省洛南中学)在平面直角

13、坐标系中，若角的终边经过点Peq blc(rc)(avs4alco1(sinf(5,3)，cosf(5,3)，则sin ()A. eq f(r(3),2) B. eq f(1,2) C. eq f(1,2) D. eq f(r(3),2)解：因为sineq f(5,3)eq f(r(3),2)，coseq f(5,3)eq f(1,2)，所以Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，所以req r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)1，所以sineq f(y,

14、r)eq f(f(1,2),1)eq f(1,2). 故选C. (2)(2020届安徽高三10月名校联盟)函数yloga(x4)2(a0，且a1)的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则sincos. 解：由题意知，A(3，2)，则coseq f(3,r(13)，sineq f(2,r(13)，所以sincoseq f(r(13),13). 故填eq f(r(13),13). 学科素养三角函数中的数学文化(1)(2020北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day). 历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似. 数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，

15、计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值. 按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是 ()A. 3n(sineq f(30,n)taneq f(30,n)B. 6n(sineq f(30,n)taneq f(30,n)C. 3n(sineq f(60,n)taneq f(60,n)D. 6n(sineq f(60,n)taneq f(60,n)解：单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为eq f(360,n6)eq f(60,n)，每条边长为2sineq f(30,n)，所以，单位圆内接正6n边形的周长为12nsi

16、neq f(30,n)，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2taneq f(30,n)，其周长为12ntaneq f(30,n)，所以2eq f(12nsinf(30,n)12ntanf(30,n),2)6n(sineq f(30,n)taneq f(30,n)，则3n(sineq f(30,n)taneq f(30,n). 故选A. (2)(2021届华东师大二附中高三月考)掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间. 现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为eq f(,4) m，肩宽约为eq f(,8

17、) m，“弓”所在圆的半径约为1. 25 m，试估测掷铁饼者双手之间的距离约为(eq r(2)1. 414，eq r(3)1. 732) ()A. 1. 012 m B. 1. 768 mC. 2. 043 m D. 2. 945 m解：由题意，“弓”所在弧长leq f(,4)eq f(,4)eq f(,8)eq f(5,8)，其所对圆心角eq f(f(5,8),f(5,4)eq f(,2)，双手之间的距离deq r(2)1. 251. 768. 故选B. 【点拨】 数学文化广义上是指数学史、数学美、数学与生活的交叉应用、数学与各种文化的关系以及这些因素的交互作用所构成的庞大体系，狭义上是指数

18、学思想、数学精神、数学方法以及数学观点、语言等的形成和拓展. 在长期的发展过程中，数学文化形成了注重思维、强调实用、讲究算法、关注数学审美价值等重要特点. 第一小题以数学中美妙而又神秘的圆周率为基础，以国际圆周率日为背景，通过给出中外为求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，让考生求出其近似表达式，从而考查考生用三角函数等相关知识分析、解决问题的能力. 在考生读题、解题的过程中，能充分体会数学思想之妙，感悟数学文化之美. 此题不流于表面的“引经据典”，紧扣数学精神内涵，无疑为数学文化类试题的命制作出了有利的探索. (1)(2021梅州高三第一次质检)刘徽(约公元225295年)割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想得到sin3的近似值为 ()A. eq f(,90) B. eq f(,180) C. eq f(,270) D. eq f(,60)解：将一个单位圆分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3，因为这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以120eq f(1,2)11sin360sin3，所以sin3eq f(,60). 故选D. (2)(2021届安徽高三月考)达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名，画中女子