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1、二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念 函数的微分 第二章 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其的微分,定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理: 函数在点 可微的充要条件是即在点可微,定理 : 函数证: “必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即定理 : 函数在

2、点 可微的充要条件是在点 处可导,且即“充分性”已知即在点 的可导,则说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115表)又如,二、 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数例1.求 解:例2. 设求 例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性.数学中的反问题往往出现多值性 , 例如三、 微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)四、 微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差称为a 的相对误差若称为测量 A 的绝对误差限称为测量 A 的相对误差限内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .2.5. 设由方程确定,解:方程两

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