500强企业设备培训八-特征量和常用的寿命分布

1、系统可靠性 周剑峰可靠性特征量和常用的寿命分布第一节 可靠性特征量 第二节 常用的寿命分布可靠性特征量对不可修系统： 一.系统失效分布函数1.失效概率密度函数 2.失效累积分布函数二、系统可靠性目的1可靠度2失效率3平均寿命 MTTF(mean time to failure) 第一节 可靠性特征量 系统失效可分为两类：永久性损坏，如机械损坏 功能缺点。所谓功能缺点指系统的各种功能出现不利的变化，或受环境条件的影响功能不能正常发扬，一旦外界条件变好，系统功能仍能恢复。 系统失效 :系统丧失规定的功能 当系统是可修复系统时，称为系统缺点据失效的性质，系统失效又可以分为两类: 1忽然失效。 在大多

2、数情况下，元器件的机械或电器的失效是忽然发生的，称为忽然失效。忽然失效通常使系统完全丧失规定的功能。 2退化失效。 由于老化而使得元器件、资料的参数逐渐变化而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的输出特性变坏，而系统可以继续坚持任务才干。失效判据或失效规范: 为了判别失效，必需制定判别失效的技术目的. 为了研讨系统失效的规律，以下面的实验为例进展分析。系统的任务部件失效并不能引起系统的不可靠 例1 测得某型号的N=110个集成电路块的失效时间从开场任务到失效之间的时间如表1所示。此表是对所测得的数据进展了初步整理，按从小到大的顺序陈列后，再进展分组处置，比如分为8组，计算每组中的失

3、效数据的个数称为频率，记第 组的频率为 ，再除以总数N即得该组的频率 ，列表如表2所示。表1 110个集成块的失效时间数据 1602002603003503904504604805005105305405605806006006106306406506506706907007107307307507707707807908008108308408408508608708809009209209309409509709809901000100010101030104010501070107010801100110011301140115011801180118011901200120012101

4、2201230124012401260126012701290129013001330138014001430145014901500150015301550157015901640170017301750179018001820187018902050207021802250238027503100表2 失效数据的频数分布表 组中值频数频率累计频率组 号范 围1540520560.050.052405805605280.250.30380512051005370.340.0644120516051405230.210.85516052005180590.080.936200524052205

5、50.050.98724052805260510.010.99828053205300510.011.00合计1101.00 以失效时间 为横坐标，以频率 除以组 距 所得的商 1 为纵坐标，画出失效频率直方图如图1所示。 图1 频率直方图 此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形面积的总和为1，由此可以看出为什么坐标不取频率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方图中，可以看到110个集成模块的失效时间分布情况：分布范围是从5h到3205h：分布集中在1005h左右为最多；每个小的区间所占整个分布的比例不等。 假设将图1中的组距分得更小些、组数分得更多一些，比如将组距=400h减少一倍，此

6、时的频率直方图如图2所示。图2 频率直方图 其图形与图1是一致的，只是由于组距减少了，分得更细了，因此更接近真实情况。可以想象，假设实验个数越来越多，分组越来越细，那么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时间在实际上的分布曲线，称为失效密度曲线。它的数学表达式为： (2) 式中 失效密度函数。 对于失效密度曲线而言，失效密度曲线与横坐标轴之间的面积等于1。用积分表示为： (3) 此式阐明，失效时间随机变量在0,范围内取值的概率等于1。假设将上例中第1组到第 组一切失效频率累加，称为第 组的累积频率，记为 。即 4 由此可得 。以失效时间 为横坐标，以

7、累计频率 为纵坐标画出的直方图如图3，称为失效累计频率图。 当数据个数很多，分组又很细，那么图形的顶部折线将趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间 在实际上的累积分布曲线。其表达式为： (5)式中 失效累积分布函数或失效概率分布函数，简称失效分布函数。失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系： (7) (8) 图3 累积失效分布函数曲线 失效分布函数具有如下性质： 1为非降函数； 2 ； 3 。二、系统可靠性目的 常将产品分为可修复与不可修复两类。 对于不可修复的产品常用可靠度、失效率、平均寿命等可靠性目的进展描画； 对于可修复产品常用维修度、可用度、平均修复时间等目的进展描画。 1可靠度可靠

8、度是产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，普通记为 。它是时间的函数，故也记为 ,称为可靠度函数。由于系统失效与不失效是两个对立事件，因此可借助于系统的失效分布函数来表示系统的可靠度函数。即 可靠度函数具有下述性质： 1是非增函数； 2 ， ； 3 。假设用随机变量 表示产品从开场任务到发生失效或缺点的时间，其概率密度为 图2所示，假设用 表示某一指定时辰，那么该产品在该时辰的可靠度 可靠性函数 与失效分布函数 及失效密度函数 之间的关系，如图4及图5所示。 图4 与 的关系图5 关系2失效率 1失效率的定义与失效概率密度函数 的区别 衡量系统可靠性的另一个重要的目的是失效率，其定

9、义为：系统任务到时辰 尚未失效的系统，在时辰 后的单位时间内发生失效的概率，称为系统在时辰 的失效率或缺点率，也称为失效函数，记为 。即 9其含义为：系统失效率近似等于系统在时辰 以后的单位时间 , 内的失效率 与尚在任务的系统数系统残存数 之比值。即 10由失效率的定义可见，失效率 愈大，那么系统在时间区间 , 内失效的能够性就愈大，可靠性就愈小。因此，失效率 是表示可靠性大小的部分目的。 失效率 常用的单位是：“ 、“ 。对于高可靠性产品常用“ 作单位，称为一个“菲特，简记为Fit(Failure unit)。即1菲特= ，其意义是：100个产品任务一百万小时，只需1个能够发生失效。 2失

10、效率 与可靠度 及失效密度函数之间的关系 由 两边对t微分，得 即 代入式9，得 11将等式两端对t积分，得 由于初始条件R(0)=1，即当t=0时N个产品全是好的，从而得 12 此式阐明了失效率 与可靠度 之间的关系。 特别是当 = 时，即失效率 为常数时，有 即 为常数时，可靠性 按时间 的指数分布。 又由： 可得 (13)此式阐明了失效率 、失效密度 及可靠度函数 之间的关系，即系统在时辰 的失效率 是到时辰 尚未发生失效的可靠度R(t)的条件下，在下一个单位时间内能够发生失效的条件概率，从而失效率 可用失效密度 、可靠密度R(t)来表达。3平均寿命 在系统的寿命特征中，最常用的是“平均

11、寿命。平均寿命，顾名思义就是寿命的平均数，即随机变量寿命的期望值。 对于不可修复系统，系统的寿命是指系统发生失效前的任务或储存时间或任务次数。 对于可修复系统，系统的寿命是指两次相邻失效缺点之间的任务时间 例2 设测得18台某种电子设备从任务开场到初次失效的时间数据单位：h如下： 16, 29, 50, 68, 100, 130, 140, 190, 210, 270, 280, 340,410, 450, 520, 620, 800, 1100 那么得这18台电子设备的平均寿命平均初次失效间隔MTBF为 式中 为单个值。假设子样本较大，即N较大，这时用分组处置，得平均寿命为： 14 式中 数

12、据的个数； 分组数； 第 组的组中值； 第 组的频数； = / 第 组的频率。假设数据愈多，分组愈多，即当 时，平均寿命为 (15) 式中 系统失效密度函数。 由 得 故 由于 ，所以 (16) 特别是当失效率 为常数时， = ,平均寿命通常记为 。那么即 (17) 含义为，在失效率为常数的情况下，平均寿命等于失效率的倒数。 此时，产品按平均寿命任务的可靠性为 = 时， 。 即对于 的情况，产品能任务到平均寿命的仅占37%。 除可靠度、失效率、寿命不可修复系统之外，还有维修度、有效度、平均修复时间可修复系统等，分别用来衡量不同系统的可靠性。 例如，对于一旦失效就会引起灾难性后果的系统，这时，初

13、次失效时间将是最重要的目的。而对于一个失效后可修复且失效不引起严重后果的系统，那么失效度、失效间隔时间等，都可作为衡量其可靠性的目的。第三节 常用的寿命分布 一、指数分布 在可靠性实际中，指数分布是最根本、最常用的分布，适宜于失效率为常数的情况。它不但在电子元器件偶尔失效期普遍运用，而且在复杂系统和整机方面以及机械技术的可靠性领域也得到运用。 指数分布常用于描画由于偶尔要素冲击，引起系统失效的失效规律失效分布为 18失效密度为 19假设产品寿命 具有失效分布式18，或者具有失效密度式19，那么称产品寿命 服从参数为 的指数分布。 根据可靠性目的间的相互关系，可求出指数分布场所下的可靠性特征量如

14、下：可靠度： 20失效率： (21) 平均寿命:MTBT或MTTF= (22)寿命方差： 23 综上可知，指数分布的重要特征有： 失效率 为常数，反之，当失效率为常数时，其寿命服从指数分布；平均寿命与失效率互为倒数；平均寿命在数值上等于特征寿命。 此外，指数分布还有一个很重要的性质就是所谓“无记忆性，即假设寿命 服从指数分布那么对恣意时间 ，有 24由条件概率公式很容易得到证明。由于 这意味着，假设任务到 时辰依然正常的产品，就像产品由时辰 开场任务一样， 以后，其寿命仍为指数分布。旧的产品与新的一样，具有“永远年轻的性质 由于指数分布的失效率不随时间变化，因此对由指数分布的部件组成的系统，不

15、能采用提早交换经过任务考验的部件来提高系统的可靠性。 例3 某台仪器，在某种应力条件下，其失效时间服从指数分布。有资料阐明，此种仪器在1000h任务时间内将有20%失效，试求其平均寿命。 解 由 得 那么平均寿命 二、正态分布 正态分布也称高斯Gauss分布，是电子产品可靠性计算中常用的系统寿命分布类型。其失效率函数可以描画耗损失效区的失效率随时间的变化情况。假设随机变量 的概率密度函数为 25 那么称 服从正态分布。根据概率密度函数可求得累积分布概率 和可靠度函数 为 26 27通常正态分布的随机变量X记为 。当 时， 称为规范正态分布，记作 。当样品数目 时，二项分布可近似为正态分布。 和

16、 是正态分布的两个特征参数。XX图6 改动，一定时正态分布曲线图7 不变， 改动时正态分布曲线正态分布函数有一个主要的特点，即对称性，且在 = 处， 最大。 28普通，按照式26，计算很复杂和困难，我们将其表达式进展变换，即 令 ， ，从而有 29 式中， 和 分别为规范正态分布密度函数和累积概率分布函数。因此，当随机变量 呈正态分布时且均值 和规范差 知，可以将它的分布函数转换为规范正态分布，且特性不变，即 (30)假设 服从均值为 ，规范差为 的正态分布，那么在区间 的累积概率值可由下式计算。对上式进展变量代换令 , ,那么有正态分布曲线与 轴所围面积等于1。正态分布的失效率函数 和可靠寿

17、命 为 31其中， 32例4 电源电压在不超越200V，200240V和超越240V这三种情况下，部件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。设电压 服从正态分布， 。求：电压分别在不超越200V，200240V，超越240V这三种情况下的概率。 解 三、对数正态分布 正态分布虽然运用较广，但由于分布规律的对称性，往往使得正态分布在实践运用中遭到一定的限制，例如定应力下资料的疲劳寿命及维修时间都不服从正态分布，即分布曲线不对称。而对数正态分布是描画此类寿命与耐久性的一种好的分布，它处理了对称正态分布在描画试样在未经实验即在t=0时出现失效的不合理性，能使之更符合于实践。 如：修复时间、电绝

18、缘资料寿命、癌细胞转移时间 假设随即变量 服从正态分布，那么 随机变量服从对数正态分布 ，其概率分布密度函数为 33失效概率函数 34或写成规范正态分布方式 35其中 可靠度 36失效率函数 37对数正态分布的数学期望均值对数正态分布的方差 38图8 对数正态分布概率密度函数曲线 图9 对数正态分布失效率函数曲线 四、泊松Poisson分布 二项分布在n很大而p较小时 ，可趋近于泊松分布。 泊松分布是概率论中的一种重要分布。这是只需 为一有限数，再令 充分大，即可得 且称概率分布 39 为泊松分布，这是一种离散性分布 其数学期望值、方差、可靠度分别为: 在可靠性分析中，假设要思索依时间的演化过程，此时式39就成为 而且同样可得 式39中的 称为泊松随机变