二次函数与三角形

1、 第11讲二次函数与三角形、四边形及其面积问题一、知识梳理：抛物线与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查学生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构

2、造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。解抛物线与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，抛物线解析式三者关系，充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。二、精典题型剖析考点1、二次函数与等腰三角形例1、(2012扬州)已知抛物线y=ax2bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴求抛物线的函数关系式；设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由变式训练.(2012杭州

3、)已知抛物线y=k(x+1)&-学)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C,则能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是()A.2B.3C.4D.5考点2、二次函数与直角三角形例2(2.2012菏泽)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0，1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90,得到ABO.一抛物线经过点A、B，、B,求该抛物线的解析式；设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P,使四边形PBAB的面积是厶ABO面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.在(2)的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB考点

4、3、二次函数与平行四边形5例3、(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y二厶x+m(m为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且aH0)经过A,C两点，与x轴的正半轴交于点B.求m的值及抛物线的函数表达式；设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴MP-MP不平

5、行的直线交抛物线于M(x,y),M(x,y)两点，试探究r是否为定1112224MM值,并写出探究过程.解答：解：(1)尸号x+ir经过点(-3,0),0=-+m,解得m=1j,直线解析式为尸舟,C(0,学).T抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(-3,0),另一交点为B(5,0),设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),抛物线经过C(0,普)，=a3(-5),解得a=一,抛物线解析式为y=-百(2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF.如答图1,(i)当点E在点E位置时，过点E作EG丄x轴于点G,ACEF,/.ZCAO=

6、ZEFG,fZC0A=ZE0F=90o）AC=EFCAO竺EFG,EG=CO|,即yE=，151，4=fE；2+xEd|,解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）,E（2,普）,SuacefW|；(ii)当点E在点E，位置时，过点E作EGUx轴于点G同理可求得E(+1,),Smcee=M(3)要使ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可.如答图2,连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）.b（5,0）,c（0,普），直线bc解析式为y=一再,xp=1,yp=3，即P（1,3）.令经过点P（

7、1,3）的直线为y=kx+3-k,y=kx+3-k,y=x2Jx+:,联立化简得：x2+(4k-2)x-4k-3=0,x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,y1-y2=k(x1-x2)根据两点间距离公式得到：Ml+k(S1-:M1M2=/1+k2*;(2-4k)2_4(-4k-3)=4(1+k2)又M1P=：(X-1)+(y_3)(X-1)+(kx+3-k-3)2=同理M2P=J=(1+k2)=4(1+k2)./.m1pm2p=m1m2,=1为定值v=1普越考点4、二次函数与矩形、菱形例4、(2012烟台)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABC

8、D的三个顶点B(1,0),C(3,0)，D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEYAB交AC于点E.直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；过点E作EFAD于F,交抛物线于点G,当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P,Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.OBC解：(1)A(1,4)由题意知，可设抛物线解析式为y=a(x-

9、1)2+4抛物线过点C(3,0),0=a(3-1)2+4,解得,a=-1,抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3(2)(1,4),C(3,0),可求直线AC的解析式为y=-2x+6.点P(1,4-t).(3分)将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t2点G的横坐标为1+t2,代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-啊4GE=(4-內)-(4-t)=t-tB4又点A到GE的距离为t2,C到GE的距离为2-t2即SAACG=SAAEG+SACEG=12EGt2+12EG(2-t2)=122(t-t4)=-14(t-2)2+1当t=2时，SACG的最

10、大值为1(3)第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t,根据APEsABC,知APAB=AEAC即t4=2根号5-t2根号5,解得，t=20-8根号5第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=12t，EM=2-12t，MQ=4-2t则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-12t)2+(4-2t)2=t2解得，t1=2013,t2=4(不合题意，舍去).综上所述，t=20-8根号5或t=2013考点5、二次函数与相似三角形例5(2012铜仁)如图，已知：直线y二-x+3交x轴于点A,交y轴

11、于点，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1，0)三点.求抛物线的解析式;若点D的坐标为(-1,0),在直线y二-x+3上有一点F,使AABO与AADP相似，求出点P的坐标；在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E,使AADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由.v=x-4x3(1)(2)(1,2)(3)不存在，理由见解析【解析】【解析】(1)：由题意得，A(3，0)，B(0，3)v=axbx抛物线经过A、B、C三点，.把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入-得方程组+c=0行=3a+b+c=07=1“b=4c=3

12、解得：-抛物线的解析式为4x-3(2)由题意可得：AABO为等腰三角形，如图所示,DP1=AD=4,PP1若ABOsAADP2，过点P2作P2M丄x轴于M,AD=4,ABO为等腰三角形，.ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合.P2(1,2)(x.v)(3)如图设点E-，则当P1(-1,4)时,=S三角形ACE四边形AP1CE三角形ACP1+SV-1点E在x轴下方小、如-4x3=-4BnX14.v+7=0代入得：，即.=(-4)2-4x7=-12V0此方程无解当P2(1,2)时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE点E在x轴下方匚代入得：

13、P4一3=-2解：(1)由题意，得=0:1-二，解得,b=-1,1ly1*aIO11FxV=X2x+斗所以抛物线的解析式为：，顶点D的坐标为(-1,)；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=亠闻n即,.=(-4)2-4X5=-4V0此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E考点6、二次函数与面积问题例6、(1)(四川绵阳)如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(4，0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E

14、(1,2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标；在直线EF上求一点H,使ACDH的周长最小，并求出最小方若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积.而75-3J13.CDH的周长最小值为CD+DR+CH=%=掲=_，加=3设直线BD的解析式为y=k1x+b，则2,解得2侣-2x-3所以直线BD的解析式为,BC由于BC=2朮，CE=：=疋RUCEGmCOB,得CE:CO=CG:CB,所以CG=25,GO=15,G(0,15),同理可求得直线EF的解析式为,巴12)联立直线BD与EF的方程

15、，解得使aCDH的周长最小的点H-r-f+4(3)设K(t,xFtxE,过K作x轴的垂线交EF于N,则KN=yK-yN=132929所以SaEFK=SaKFN+SaKNE=KN(t+3)+KN(1-t)=2KN=-t2-3t+5=-(t+)2+,329335即当t=-时,aEFK的面积最大，最大面积为，此时K(-,)(2)(2009济南)已知：如图3，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)的对称轴为x=-1，与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2).(1)求这条抛物线的函数表达式(2)若点D是线段OC上的一个动点过点D作DEPC交x轴于点E设CD的长为m，PDE的

16、面积为S.求S与m之间的函数关系式.试探讨S是否存在最大值，说明理由解：1）由题意得丄-12a9a一3b+c=0jC=2解得2a=3b=4c二此抛物线的解析式为y=3X2+3x-2（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x=-l的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为y=kx+bk=-23b=-22此直线的表达式为y=3x-25分4把x=1代入得y=-4P点的坐标为（一1,3）6分解法（二）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以APBC周长最小，就是使PC+PB最小.分 B点关于对称轴的对称点是A点，AC

17、与对称轴x=-l的交点即为所求的点P.设对称轴x=-l与x轴的交点为F,由题意知OC=2,OA=3,OF=1,PFODNAPF=NACO,ZAPF=ZAOCAAPFsAACO分._pF=兰即亞=31OCOA2=3.PF=434.P点的坐标为(一1,一3)6分3)S存在最大值7分解法(一)：DEPC即DEAC.AOEDsAOAC.ODOE2-mOE=即=OCOA2333.OE=3-m,AE=3-OE=小m22方法一：连结OPS=S-S=S+S-S四边形PDOEOEDPOEPODOED13411=2x(3-2m)X3+-X(2-m)x1-x(3-m)x(2-m)334m2+-m8.当m=1时,S最大=-3vo方法二：S=S-SOACOEDS-SAEPPCD3(3-m)x2-m)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 333m2+m=(m一1)2