2020年中考数学复习考点17 特殊的平行四边形 -备战 考点一遍过

1、ABD AOB考点 17 特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1矩形的性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；面积=长宽=2 =4 （如图）eq oac(,S)eq oac(, )eq oac(,S)2矩形的判定：定义法：有一个角是直角的平行四边形；有三个角是直角；对角线相等的平行四边形二、菱形的性质与判定1菱形的性质：四边相等；对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角； （3）面积=底高=对角线乘积的一半2菱形的判定：定义法：有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形三、正方形的性质与判定1正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角；对角线相等且互相

2、垂直平分；ABD AOB（3）面积=边长边长=2 =4S eq oac(,S)eq oac(, )2正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形； （2）一组邻边相等的矩形；一个角是直角的菱形；对角线相等且互相垂直、平分四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（ 4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都 是直角五、中点四边形任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.对角线

3、互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜o边的一半3矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形典例 1（2019 陕西初三期中）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，若BAO=55，则AOD 等于A105B110 C115 D120【答案】B【解析】四边形 ABCD 是矩形，OA=OBBAO=ABO=55AOD=BAO+ABO=55+55=110故选 B典例 2（201

4、9 阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与数轴重合（点 C 在正半 轴上），AB=5，BC=12，点 A 表示的数是1，则对角线 AC、BD 的交点表示的数A5.5B5 C6 D6.5【答案】A【解析】连接 BD 交 AC 于 E，如图所示：四边形 ABCD 是矩形，B 90 , AE AC， AC AB2BC2 5212213，AE=6.5，点 A 表示的数是1，OA=1，OE=AEOA=5.5，点 E 表示的数是 5.5， 即对角线 AC、BD 的交点表示的数是 5.5；故选 A.1（2019 陕西师大附中初三月考）如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它

5、成为矩形，那 么需要添加的条件是AAB=BC BAC 垂直 BD CA=C DAC=BD2（2019 云南初二期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC、 BD 交于点O，并且DAC 60，ADB 15，点 E 是 AD 边上一动点，延长EO交于BC点 F ，当点 E 从点 D向点 A 移动过程中（点 E 与点 D ， A 不重合），则四边形 AFCE 的变化是平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形 D平行四边形矩形菱形正方形平行四边形菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相

6、等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形典例 3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A两组对边分别平行C一组邻边相等B两组对边分别相等D对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现 A，B，D 两者均具有，而 C 只有菱形具有平行四边形不具有，故选 C【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例 4如图，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，且满足AO=CO ，请你添加一个适当的条件_，使四边形 ABCD 成为菱形（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）

7、【解析】四边形 ABCD 中，AC、BD 互相垂直，若四边形 ABCD 是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故答案为：BO=DO（答案不唯一）3已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A45，135C90，90B60，120D30，1504如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F，求证： 四边形 AEDF 是菱形正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形证明四边形是正方形

8、的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱( )22形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形典例 5 （2020 宁夏初二期中）面积为 9 2 A18 2C24 2【答案】A的正方形以对角线为边长的正方形面积为 B20 2D28 2【解析】正方形的面积为 9cm2，边长为 3cm，根据勾股定理得对角线长=32+32=3 2cm，以 3 2 为边长的正方形的面积= 3 2 =18 cm .故选 A典例 6 （2019 重庆初三期中）如图， eq oac(,在)eq oac(, )ABC 中，B=90，AB=BC=4， eq oac(,把)eq oac(, )ABC 绕点 A 逆时针 旋转 45得到 AD

9、E，过点 C 作 CFAE 于 F，DE 交 CF 于 G，则四边形 ADGF 的周长是A8B4+4 2C8+ 2D8 2【答案】D【解析】如图，连接 AG，B=90，AB=BC=4，CAB=ACB=45，AC=42 ， eq oac(,把)eq oac(, )ABC 绕点 A 逆时针旋转 45得到 ADE，AD=AB=4，EAD=CAB=45，FAB=90，CD=ACAD=4B=90=FAB，CFAE，四边形 ABCF 是矩形，且 AB=BC=4，四边形 ABCF 是正方形，AF=CF=AB=4=AD，AFC=FCB=90，2 4，DECF四边形GCD=45，且GDC=90，GCD=CGD=

10、45，CD=GD=42 4，AF=AD，AG=AG， eq oac(,Rt)eq oac(, )AGF eq oac(,Rt)eq oac(, )AGD（HL），FG=GD=42 4，四边形 ADGF 的周长=AF+AD+FG+GD=4+4+4 2 4+4 2 4=8 2 ，故选 D5（2019 山东初三期中）如图，在正方形 ABCD 内一点 E 连接 BE、CE，过 C 作 CFCE 与 BE延长线交于点 F，连接 DF、DECE=CF=1，DE= 6 ，下列结论中： eq oac(,)CBECDF；BF DF；点 D 到 CF 的距离为 2；S = 2 +1其中正确结论的个数是A1 B2

11、C3 D46（2020 陕西初三期末）如图，在正方形 ABCD 中， 下列结论中错误的是BE FC , CF 2 FD，AE 、BF 交于点 G ，AAE BFB AE BFCBG 43GEDS四边形CEGFSV ABG考向四中点四边形中点四边形一定是平行四边形；中点四边形的面积等于原四边形面积的一半典例 7 如图，任意四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是当 E，F，G，H 是各边中点，且 AC=BD 时，四边形 EFGH 为菱形当 E，F，G，H 是各边

12、中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 可以为平行四边形当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 不可能为菱形【答案】D【解析】A当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC=BD 时，存在 EF=FG=GH=HE，故 四边形 EFGH 为菱形，故 A 正确；当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在EFG=FGH=GHE=90， 故四边形 EFGH 为矩形，故 B 正确；如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EFHG，EF=HG，则四边形 EFG

13、H 为平行四边形，故 C 正确；D如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EF=FG=GH=HE，则四边形 EFGH 为菱形，故 D 错误，故选 D121 21 21 21 21 27顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A平行四边形 C矩形B菱形D梯形8如图，我们把依次连接任意四边形 ABCD 各边中点所得四边形 EFGH 叫中点四边形若四边形 ABCD 的面积记为 S ，中点四边形 EFGH 的面积记为 S ，则 S 与 S 的数量关系是AS =3SCS =2SB2S =3SD3S =4S1如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O

14、，ADB=30，AB=4，则 OC=A5 B4 C3.5 D32（2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知AOD=120，AC=16，则图中长度为 8 的线段有A2 条B4 条C5 条D6 条3如图，在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若沿折痕 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为A158B154C152D154如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为A485cmB245cmC125cmD105cm5（2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在菱

15、形 ABCD 中，ADC=72，AD 的垂直 平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接 CP，则CPB 的度数是A108 B72 C90 D1006（2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，且 BE=CF连接 AE，BF，AE 与 BF 交于点 G下列结论错误的是AAE=BFCAEB+BFC=90BDAE=BFCDAEBFY7如图，矩形 ABCD 中将其沿 EF 翻折后，D 点恰落在 B 处，BFE=65，则AEB=_.8（2018 陕西初三期末）如图，P 为正方形 ABCD 内一点，且 BP=2，PC=3，AP

16、B=135， eq oac(,将)APB 绕点 B 顺时针旋转 90得到eq oac(,CP)eq oac(, )B，连接 PP，则 AP=_9如图，在 ABCD 中，AB=6，BC=8，AC=10 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）求 BD 的长10（2020 内蒙古初三期末）如图 eq oac(,，)ABC 中，AB=AC=1，BAC=45，AEF 是 eq oac(,由)ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D求证：BE=CF；当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长11（2020 呼和浩特市第十三中学初二期中）如图 eq oac(,，)AB

17、C 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F判断 OE 与 OF 的大小关系？并说明理由；当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并说出你的理由；在（2）的条件下， eq oac(,当)ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形直接写出答案， 不需说明理由1（2019重庆）下列命题正确的是A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形2（2019天津）如图，四边形 ABCD 为菱形， A， B 两点的坐标分别是 (2,0)

18、 ， (0,1) ，点 C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于A 5B 4 3C4 5D203（2019安徽）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC=12，点 P 在正 方形的边上，则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是A0 B4 C6 D84（2019 湖北孝感）如图，正方形 ABCD 中，点 E.F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G若 BC=4，DE=AF=1，则 GF 的长为AC135195BD1251655（2019天津）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 12， E 是边 CD 上一点，连接 AE 折叠该 纸片，使

19、点 A 落在 AE 上的 G 点，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BF ，点 F 在 AD 上若 DE 5 ， 则 GE 的长为_6（2019浙江杭州）如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠（点 E 、H 在 AD 边上，点 F、G 在 BC 边上），使得点 B、点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A 点，D 点的对称点为 D 点，若 ? FPG 90? ， AEP 于_.的面积为 4， D PH的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等7（2019湖北十堰）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE=3， 则菱形

20、的周长为_8（2019湖南长沙）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE=CF，AF 与 BE 相 交于点 G求证：BE=AF；若 AB=4，DE=1，求 AG 的长9（2019 湖南怀化）已知：如图，在 ABCD 中，AEBC，CFAD，E，F 分别为垂足 （1）求证：ABECDF；（2）求证：四边形 AECF 是矩形10（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD 中，点 E.F 分别为 ADCD 边上的点，DE=DF，求证： 1=211（2019福建）如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DF=BE求证： AF=CE12（2019

21、江西）如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA=OD求 证：四边形 ABCD 是矩形13（2019浙江宁波10 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上， 顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上求证：BG=DE；若 E 为 AD 中点，FH=2，求菱形 ABCD 的周长变式拓展1【答案】D【解析】结合选项可知，添加 AC=BD，四边形 ABCD 的对角线互相平分，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，四边形 ABCD 是矩形，故选 D

22、 2【答案】A【解析】点 E 从 D 点向 A 点移动过程中，当EOD15时，四边形 AFCE 为平行四边形，当 EOD=15时，ACEF，四边形 AFCE 为菱形，当 15EOD75时，四边形 AFCE 为平行四边形，当EOD=75时，AEF=90，四边形 AFCE 为矩形，当 75EOD105时，四边形 AFCE 为平行四边形，故选 A3【答案】B【解析】如图，由题意知 AB=BC=AC， AB=BC=AC ， ABC 为 等 边 三 角 形 ， 即 B 60，根据 平 行 四 边 形 的 性 质 ，BAD 180 60120 .故选 B4【解析】DEAC，DFAB，四边形 AEDF 为平

23、行四边形，FAD=EDA，AD 是BAC 的平分线，EAD=FAD，EAD=EDA， AE=ED，四边形 AEDF 是菱形5【答案】B【解析】四边形 ABCD 是正方形，BC=CD，BCD=90， CFCE，ECF=BCD=90，BCE=DCF，BC CD在BCE eq oac(,与)DCF 中， BCE DCFCE CF，BCEDCF（SAS），故正确；BCEDCF，CBE=CDF，DFB=BCD=90，BFED， 故正确，过点 D 作 DMCF，交 CF 的延长线于点 M，DECF DCF eq oac(,S)DCE eq oac(,S)ECF DEF eq oac(,S)eq oac(,

24、 )AFP PFB= S ，ECF=90，FC=EC=1，CFE=45，DFM+CFB=90，DFM=FDM=45，FM=DM，由勾股定理可求得：EF= DE= 6 ，由勾股定理可得：DF=2，2 ，EF2+BE2=2BE2=BF2，DM=FM=2 ，故错误，=S ，BCEDCF，eq oac(,S)BCE DCFS =S + = +S = +S = 四边形+ 2，故错误，故选 B6【答案】C【解析】在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABE=C=90，又BE=CF，ABEBCF（SAS），AE=BF，BAE=CBF，FBC+BEG=BAE+BEG=90，BGE=90，AEBF故 A、B 正确

25、；CF=2FD，CF:CD=2:3，BE=CF，AB=CD，AB 3BE 2，EBG+ABG=ABG+BAG=90，EBG=BAG，EGB=ABE=90，BGEABE，BG AB 3 GE BE 2，故 C 不正确,ABEBCF，S=S ， =S S ，S ABE BFC eq oac(,S)ABE eq oac(,S)BEG BFC BEG四边形CEGF ABG故 D 正确故选 C7【答案】C【解析】顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选 C四边形 EKMN四边形 KFPMAEN EBK四边形 HQMN 四边形 EFGH121 21

26、28【答案】C【解析】如图，设 AC 与 EH、FG 分别交于点 N、P，BD 与 EF、HG 分别交于点 K、Q， E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，EFAC，同理可证 EHBD，EBKABM，AENEBK，SEBKSABM1= ，S4S 1 S 1=S ， = ，同理可得 = ，2 2eq oac(,S)ABM eq oac(,S)BCMS四边形QGPMeq oac(,S)DCM1 S 1 S 1 = ， = ， = ，2 2 S 2 eq oac(,S)DAM 四边形 ABCD四边形 ABCD 的面积记为 S ，中点四边形 EFGH 的面积记为 S ，则 S 与 S 的数量关系

27、是 S =2S 故选 C考点冲关1【答案】B【 解 析 】 四 边形 ABCD 是 矩形 ， AC=BD ， OA=OC ， BAD=90 ，ADB =30，AC=BD=2AB=8，OC=2【答案】DAC=4故选 B【解析】AC=16，四边形 ABCD 是矩形，DC=AB，BO=DO=1 1BD，AO=OC= AC=8，BD=AC， 2 2BO=OD=AO=OC=8，AOD=120，AOB=60，ABO 是等边三角形，AB=AO=8，DC=8，即图中长度为 8 的线段有 AO、CO、BO、DO、AB、DC 共 6 条，故选 D 3【答案】B【解析】如图，连接 AF根据折叠的性质，得 EF 垂直

28、平分 AC，则AF CF设AF x ，则BF 4 x，在 eq oac(,Rt)ABF 中，根据勾股定理，得x 2 9 (4 x )2，解得x 258在 RtABC 中，根据勾股定理，得 AC=5，则 AO=2.5在 RtAOF 中，根据勾股定理，得OF 158，根据全等三角形的性质，可以证明OE OF，则EF 154故选 B4【答案】B【解析】菱形 ABCD 的对角线AC 8 cm ，BD 6 cm，ACBD，OA=1 1AC=4cm，OB= 2 2BD=3cm，根据勾股定理， AB OA2OB242325 （cm）设菱形的高为 h，则菱形的面积AB h1 1 24 24AC BD ，即 5

29、h 8 6 ，解得 h ，即菱形的高为 2 2 5 5cm故选 B5【答案】B【解析】如图，连接 AP，在菱形 ABCD 中，ADC=72，BD 为菱形 ABCD 的对角线，ADP=CDP=ADC=36.AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，PA=PD. DAP=ADP=36.APB=DAP+ADP=72.又菱形 ABCD 是关于对角线 BD 对称的，CPB=APB=72.故选 B.6【答案】C【解析】AD/BC，DAE=AEB，BE=CF，AB=BC，ABE=BCF，ABEBCF，AE=BF，DAE=BFC，FBC+BFC=90，AEB=BFC，FBC+AEB=90，AE

30、BF，所以 A、B、D 三个选项正确，AEB=BFC，故 C 选项错误，故选 C.7【答案】50【解析】如图所示，由矩形 ABCD 可得 ADBC，1=BFE=65，由翻折得2=1=65，AEB=18012=1806565=50故答案为：508【答案】1【解析】eq oac(,BP)eq oac(, )C 是 eq oac(,由)BPA 旋转得到，APB=CPB=135，ABP=CBP，BP=BP，AP=CP，ABP+PBC=90，CBP+PBC=90，即PBP=90， eq oac(,)BPP是等腰直角三角形，BPP=45，APB=CPB=135，PPC=90，BP=2，PP=2PC=3，C

31、P=PCPP 2 = 9 8 =1，AP=CP=1，故答案为 1BP 2 BP 2=22，Y9【解析】（1）AB=6，BC=8，AC=10，AB2+BC2=AC2，ABC=90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 是矩形（2）四边形 ABCD 是矩形，BD=AC=10.10【解析】（1）AEF 是 eq oac(,由)ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的， AE=AB，AF=AC，EAF=BAC，EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC， AC ABeq oac(,在)ACF eq oac(,和)ABE 中， CAF BAE ， ACFABE，AF AEBE=CF.（2）

32、四边形 ACDE 为菱形，AB=AC=1，DE=AE=AC=AB=1，ACDE，AEB=ABE，ABE=BAC=45，AEB=ABE=45，ABE 为等腰直角三角形，BE= 2 AC= 2 ，BD=BEDE= 2 111【解析】（1）OE=OF，理由如下：因为 CE 平分ACB，所以1=2，又因为 MNBC，所以1=3，所以3=2，所以 EO=CO， 同理，FO=CO，所以 OE=OF（2）当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，理由如下：因为 OE=OF，点 O 是 AC 的中点，所以四边形 AECF 是平行四边形，又因为 CF 平分BCA 的外角，所以4=5，又因为1=

33、2，所以1=2，2+4=180=90，即ECF=90，所以平行四边形 AECF 是矩形（3） eq oac(,当)ABC 是直角三角形时，即ACB=90时，四边形 AECF 是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，又因为ACB=90，CE，CN 分别是ACB 与ACB 的外角的平分线，所以1=2=3=4=5=45，所以 ACMN， 所以四边形 AECF 是正方形直通中考1【答案】A【解析】A有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故 B 错误；C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 C 错误；对角线

34、相等且相互平分 的四边形是矩形，则 D 错误；故选 A【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有： 1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相 等的平行四边形是矩形.2【答案】C【解析】菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（2，0），（0，1），AO=2，OB=1，AC BD，由勾股定理知： AB BO2 OA2 12 22 5，四边形 ABCD 为菱形，AB=DC=BC=AD= 5 ，菱形 ABCD 的周长为： 4 5 故选 C【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，

35、得出 AB 的长是解 题关键3【答案】D【解析】如图，过 E 点作关于 AB 的对称点 E EAP=45，EAE=90，又AE=EF=AE=4，则当 E，P，F 三点共线时 PE+PF 取最小值，PE+PF 的最小值为 EF=AF2AE 2 8242 80，满足 PE+PF=9= 81 ，在边 AB 上存在两个 P 点使 PE+PF=9，同理在其余各边上也都存在两个 P 点满足条件，满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 8，故选 D【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运 用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4【答案】A【解析】正方形

36、 ABCD 中，BC=4，BC=CD=AD=4，BCE=CDF=90，AF=DE=1，DF=CE=3，BE=CF=5，BC CD在BCE 和CDF 中， BCE CDFCE DF，BCECDF（SAS），CBE=DCF，CBE+CEB=ECG+CEB=90=CGE，cosCBE=cosECG=BC CGBE CE，4 CG 12 12 13 ，CG= ，GF=CFCG=5 = ，5 3 5 5 5故选 A【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函 数，证明BCECDF 是解本题的关键5【答案】4913【解析】如图，令 AE 与 BF 的交点为 M.在正

37、方形ABCD中，BAD=D=90，AEPD PH=BAM+FAM= 90，在 Rt ADE 中， AE AD2+DE2 1225213，由折叠的性质可得ABF GBF ， AB=BG，FBA=FBG，BF 垂直平分 AG，AM=MG，AMB= 90，BAM+ABM=90，ABM=FAM， ABMEAD ，AM AB AM 12 ， DE AE 5 13，60 120 AM= ，AG= ，13 13GE=13120 4913 13.【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定 和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6【答案】 6 5+10【解析】AEPF

38、，AEP=DPH，又A=A=90，D=D=90，A=D，eq oac(,A)eq oac(, )EPeq oac(,D)eq oac(, )PH，又AB=CD，AB=AP，CD=DP，AP= DP，设 AP=DP=x，eq oac(,S)：S=4：1，AE=2DP=2x，eq oac(,S)AEP1 1AEAP 2 x x x 2 224， x 0 ， x 2，AP=DP=2，AE=2DP=4， EP AE2AP2 42222 5，PH =1 1 EP 5 ， DH D H A2 2P 1， AD AE EP PH DH 4 2 5 5 1 5 3 5 ， AB AP2，S矩形ABCDAB AD 2 (3 5 5) 6 5 10，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7【答案】24【解析】四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=AD，BO=DO，点 E 是 BC 的中点，OE 是BCD 的中位线，CD=2OE=23=6，菱形 ABCD 的