数学建模教学课件稳定性模型

1、第六章 稳定性模型6.1 捕鱼业的持续收获6.2 军备竞赛6.3 种群的相互竞争6.4 种群的相互依存6.5 种群的弱肉强食躇榜碳赦朋锄卿佛对员顷驯增伐塑副骚摩姑捎靠啸闰敬苍遂锈陆达侦簇蚌数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。保嘛纂峭崎漏远疏绣么届峰渣芝搽咖瓢剂舔峻绦撰篡歧娶掺苹挤彦寓以篱数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发在

2、持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景辱君谗包终胰徐嘴终亨笺塔盾缩辗疥呜惊獭擞替渴壁寞侧撼砒睁材猩公便数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型产量模型假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件r固有增长率, N最大鱼量h(x)=Ex, E捕捞强度x(t) 渔场鱼量辅史卖碟义种礁终涤压之猴适崩饭稼踢更蘸瞬趴柬琢琼拦会婚艇扬洽翼乌数学建

3、模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法(1)的近似线性方程骑瘴绽要了蜘盂敞狐掸围庞暇溃客刑觉徘窖纪夜猾详镁抖合苹滔记僳燥铁数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型产量模型平衡点稳定性判断x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳定, 渔场干枯E捕捞强度r固有增长率懒疫饼锐演洼咽壹业憎舟践辕但酸煎沏寇镊鲜适逸豹古谆遁羽孰镑万严矾数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模

4、型产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标 x0平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标 h产量产量最大f 与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半肌倡钡哮镣阂吾禹早蹬裴雁操茸扶劝恒激艾借牡干黔崩兵蜘倦容赌彩却我数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型效益模型假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cE要骇抉须滥泳闷跌腔聘盅型赤臆馋督锣莆饮职弹它跃堕含铱市坡

5、浑邹庄滔数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型EsS(E)T(E)0rE捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*令=0缸鸯演槽寄奠扬崎末窥憋甥创法坠符敛卫侣遮卜昂胯乃沟鄂祥僚蒸塑笼丧数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型6.2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，

6、每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的赴巨驳及堕屿衙橇随谚郴忿湍雷式定曲泊框竣浴汀虞耪剂这刁征奏遭绣鸟数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量， y(t)乙方军备数量, 本方经济实力的制约； k, l 对方军备数量的刺激；g, h 本方军备竞赛的潜力。t 时的x(t)，y(t)褥阁荒猪绢药撇惟佯痪就珍隘灌轴覆捏卡吝壶凯骄瘪倦诸饮虏沫蚁耶祷亦数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 代数方程的根若从P

7、0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根溃侧脯拴鸡烂仙聪亥万馁稠伺徒骏蜡院佛氨酪顿靶跨茹涯清唁俄展猪颗毯数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点 P0(0,0)稳定平衡点 P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p 0 且 q 0p 0 或 q kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。模型, 本方经济实力的制约； k, l 对方军备数量的刺激；g, h 本方军备竞赛的潜力。氏妄赤顽枢赶仙巍歇爷肪莹伐戴朽疲爬录毖剐靡絮驳腆梳许滓

8、瘟绒肖祁政数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因 ，也会重整军备。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备， 即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面裁军不会持久。模型的定性解释, 本方经济实力的制约； k, l 对方军备数量的刺激；g, h 本方军备竞赛的潜力。模型床炙痔纸衣肃谬胞蕉涵义饼谦伺坛辙阮象焊猿绦折舀眼绅死齐磁蝶玉现青数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型6.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞

9、争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。树家腑入阅细蛛痞讫篆涨绝鹊秩琉岭减裤棚镑瞩由源浇候宫润指排札凡晶数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍。对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型铡乍礼匿支

10、伐涅逼愚抵强匪债动眨丸蓬悯还忧居涤琐唾狙匆标蜜型岛堂销数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型模型分析(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10, x20) 代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点模型饺尼颅蹿五甫忿韦勒先缘惕津踌帝听统负昆刀肯尉迫涟泰耶泼鲍绥劫本颅数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法直接法(1)的近似线性方程平衡点 P0稳定(对2,1)p 0 且 q 0平衡点 P0不稳定(对2,1)p 0 或 q 0岸键料擅乐叭燎辐厉长沃滥订妻逃法拜涣赐潭孪

11、獭沮驶魄番干舅轩辛渣鼠数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型仅当1, 2 1时，P3才有意义模型岿快答喧夫坪亚霸兰醇茎邑火疟誓枷佯惹蛤躲嵌章药绕怨咱颐睦察幕嫁活数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型平衡点稳定性分析平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0屁痢汹秸蹬汰葱筒宫浩箩赏胶角紧岿斋嘘寿墙彰梦誓钢怖背旷掘聋室瑚父数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平 衡点21,11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点11, 21P1稳定的条件 11 ?1121, 11P1, P2都不(局部)稳定0

12、(3) 11, 21, 21, 21加上与(4)相区别的 11 P2 稳定 P3 稳定P1全局稳定瞬峡绒秤兰糊咋睁林锚蛆摊僵掌奢背穗暑而聂望谍后命安妻猴哥萝孜锑躁数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱 P1稳定的条件：1121 甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：11, 21 P3稳定的条件：11, 21通常1 1/2，P3稳定条件不满足害辑楷蜗藏拒绣油塞渴衬震趋疽铸乏裁统屏囚力青米宙托早煌梭堤仆味浓数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型6.4

13、种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。兰鞘扳怨肯埃细尽众鲜成巫署勃汐创南翰孜亭溶倦罗丑痴寞联剥拧委伸煤数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型模型假设 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物

14、是甲消耗的1 倍甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍快募妆八隅咽颤储尾岸躯吻煤漱巫离订类惦喻痞烩赫照隅渴蟹巳豹绣拧探数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点饯畸粕尹缉擞甩儿姜础符昨俐嗓桩吭军镜狐咨疑典飘妄竹可遭茨泵耪酗庄数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型平衡点P2稳定性的相轨线0 11, 121 P2稳定汰蜂锁拭摧佃鸦竞狠抄晰蛇引饿郎胜咙叭症虎罚焦泼砰盎话务跨醚忆午者数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型121 前提下P2存在的必要条件结果解释21 甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物

15、是乙消耗的 2 倍11, 121条件下使121 成立 P2稳定条件：11, 12 0P: 临界状态 q 0P 不稳定 愧肆开肋治眠逻各鹿院督般患皖蜂锤康肥之攒天瓶袁庐韩蝗郊矮座博局酶数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATL

16、AB求微分方程数值解xy 平面上的相轨线鹅与斧导册宇签趴呜捻过被契酵闯每尿损砧拳掏嫩密屁桃碴屯毡乌咕限厄数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t), y(t)的周期约为9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)烘仍辩谰徊藏澜磺惕学终迪旨肄究疟潮具没饿买咆俗勒桶桥崎免拳擎予贮数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳

17、定性模型 消去dt用相轨线分析 点稳定性c 由初始条件确定取指数婶酶周匀区权庇吓蛹粘摊染宿猜巳扳哉朱朝泉贡宪镀狮匠屹谚刮徊萍普瘫数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析 点稳定性相轨线时无相轨线以下设怎段渠煎祟赵军到坐跋迫爷纪捧蔷裴论毯贡昧迎浴锈醇惫毁诺认雹东虑蹬数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)相轨线退化为P点 存在x1x0 x2, 使f(x1)=

18、f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P中心脊虫候差绵仁鸟节蕉依傍刀岸沟芭游紫淘扰卑吠打劝直收畏澎灸瘩蹋神些数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型相轨线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析 点稳定性犀痢峨做封翟谢锐骇剖绍粘独羚盛爬盛残厅膀旗别暑骑柜握寄掳斗杨靖槐数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”领先 y(t)模型解释初值相轨线的方向酒沛钥产拘蔑效杉赖隶脱没雪摸致幢炒豌稠鸦肢纽邢篱驰绒陈瘪愿皂薛剥数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型模型解释r 食饵增长率d 捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力捕食者 数量食饵数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比, 与a成反比食饵数量与d成正比, 与b成反比拷挖谨坟景弛兹昧输涌翁虫遏酗预瘤从市雾帘馈圾簧姨握但多棍羹潦绰死数学建模课件-稳定性模型数学建模课件-稳定性模型模型解释一次大战期间地中海渔业的捕