智爱高中数学 数列裂项求和(详解)

1、智愛高中數學 数列裂项求和 ：。： ：。 。：。：。因为，求前项的和.解析：，数列中,，求数列前n项和。 数列中,假设 ， 求数列前n项和：= 假设利用组合数性质，那么有=数列的前n项和由上式不难得到类比可求得的前n项和11. 在数列中,求前n项和 解析：因为所以，同理有，所以=+.+=数列的前n项和.解：设 那么 ：=+.+解析：=1+=1+-所以=n+-.：=11！+22！+33！+.+nn！解析：nn！=(n+1)！-n！ =(n+1)！-1:=.+解析：， =1-求和+.+解析：因为=-，所以+.+=-+-+.+-=1-.求和：+.+解析：因为=，所以+.+=+.+=.二裂项求综合题a

2、n：1，求它的前n项和.解 an=2(-) Sn=a1+a2+an =2(1-)+(-)+(-)+(-) =2(1-)=.的前项和 分析：此数列的第项应为注意不是？，裂项求和时注意项数.解析：此数列的第项，数列的前项和正数的等比数列满足，当时，证明：.【证明】设等比数列的公比为，那么.原式成立.数列为等差数列，公差，求。，所以。的前项和求首项和通项；设，证明：.【解析】1时，1-2得：.两边同加上，得，而.数列是首项，且公比的等比数列.那么所求数列的通项公式为：.故即原不等式成立.中 ，假设 设正项数列满足求证：证明：当时不等式显然成立。当时 两式相减得： 那么 原式左边= Sn和Tn分别表示

3、数列an及bn前n项之和，对任意正整数n，an=-2(n+1)，Tn-3Sn=4n. (1)求数列bn的通项公式；(2)在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn且与曲线y=x2有且仅有一个交点，与y轴交于点Dn，记dn=|Dn+1Dn|-(2n+7)，求dn；(3)假设cn= (nN*)，求(c1+c2+cn-n).18.(1)an=-2(n+1)，an是等差数列，a1=-4，Sn=-n2-3n，Tn=3Sn+4n=-3n2-5n，当n=1时，b1=T1=-8;当n2时，bn=Tn-Tn-1=-3n2-5n-3(n-1)2-5(n-1)=-6n-2，而b1符合此式，故bn=-6n-2(nN*)

4、.(2)设ln的方程为y=bnx+m，由消去y得：x2-bnx-m=0，直线ln与曲线只有一个交点，=0，即b+4=0，m=-，那么Dndn=|Dn+1Dn|-(2n+7)=-2n+7=-(2n+7)=6n+5-(2n+7)=4n-2，dn=4n-2(nN*).(3)cn=，c1+c2+c3+c4+cn-n=+-n=1-，(c1+c2+c3+cn-n)=.二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。、求数列的通项公式；、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等根底知识和根本的运算技能，考查分

5、析问题的能力和推理能力。解：设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,那么 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn13n22n6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 由得知，故Tn1.因此，要使1的最小正整数是多少? . 【解析】1, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；2 ； 由得，满足的最小正整数为112.为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公

6、式； 设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【解题思路】利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；求出后，判断的单调性.【解析】，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.那么，. ，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.是数列的前项和，.求的通项；设，求数列的前项和.【解析】，时，整理得，数列是以为公差的等差数列，其首项为，；由知，知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，证明数列lg(1+an)是等比数列；设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和S

7、n，并证明Sn+=1.解：由， ，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.由知*=由*式得 又 又.数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列 1求与； 2证明：33.解：设公差为d，由题意易知d0，且dN*，那么通项=3 +n1d，前n项和。再设公比为q，那么通项由可得 又为公比为64的等比数列， 联立、及d0，且dN*可解得q = 8，d = 2通项= 2n + 1 ，nN*通项，nN*2由1知，nN*，nN*34. 在正项数列中,令.假设是首项为25,公差为2的等差数列,求；假设为正常数对正整数恒成立,求证为等差数列；解：由题意得,所以=证:令,那么=1所以=1,

8、=2,21,得=,化简得34,43得 在3中令,得,从而为等差数列 的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数是常数，2.71828和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. 解：由：对于，总有 成立 n 2 -得均为正数， n 2 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() 证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由 ， 易得 猜测 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 36. 数列的首项，前项和为，且、n 2

9、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，设， 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 设，证明：解：由题意得 n2，又，数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 那么由及得， 那么 37. 函数，为函数的导函数假设数列满足：，求数列的通项；假设数列满足：，.当时，数列是否为等差数列？假设是，请求出数列的通项；假设不是，请说明理由；.当时， 求证：解：， ，即 ， 数列是首项为，公比为的等比数列，即 ， 当时，假设，那么由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为 ， 当时，假设，那么 由数学归纳法，得出数列 又，即 ， HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0

10、* MERGEFORMAT 且任意的 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 、 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 都有 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 1假设数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 2求 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的值.解：1 HYPERLINK :/ 7caiedu

11、 / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 而 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 2由题设，有 HYPERLINK :/ 7caiedu /

12、SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 又 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 得 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 上为奇函数. 由 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 得 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 于是 HYPERLINK :/ 7cai

13、edu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 故 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 ,求数列的通项公式当时,求证:假设函数满足： 求证：解： (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数列.-得: 所以,所求通项为5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, 3证明：又 45.数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，() 求第n个集合中最

14、小数an的表达式； 求第n个集合中各数之和Sn的表达式； 令f(n)= ，求证：2解: () 设第n个集合中最小数an , 那么第个集合中最小数 , 又第个集合中共有个数, 且依次增加2 , ,即 , , 相加得 ,即得 .又 , . 由()得 , 从而得 . 由得 , , , 又当2 时, . . 2 . HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是定义在R上的奇函数，且当x=1时f(x)取最大值1.(1)求出a,b,c的值并写出f(x)的解析式；(2)假设x1(0，1)，xn+1=f(xn)，试比拟xn+1与xn的大小并加以证明；(3)

15、假设 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，求证 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT .解：(1) HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0又f(x)为奇函数，f(x)+f(x)=0 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT b=0 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0，当x0时， HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFO

16、RMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT a=2，b=0，c=1， HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT (2) HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0(nN*)又 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 矛盾，xn+11 SKIPIF 1 xn。(3)0 xk1， SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT SKIPIF 1 0 *

17、MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 满足，其中1证明：对一切，有；2证明：证明 1在关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 2由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以 48.数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的前n

18、项和 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 满足： HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT a为常数，且 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 求 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的通项公式； 设 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，假设数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF

19、 1 0 * MERGEFORMAT 为等比数列，求a的值；在满足条件的情形下，设 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的前n项和为Tn求证： HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 解： HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 当 HYPERLINK :/ 7caiedu

20、 / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 时， HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，即 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是等比数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ； 由知， HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，假设 HYPERLINK

21、:/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 为等比数列， 那么有 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 而 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 故 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，解得 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ， 再将 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMA

22、T 代入得 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 成立， 所以 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT III证明：由知 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，所以 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0

23、* MERGEFORMAT ， 由 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 得 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 所以 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ， 从而 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1

24、0 * MERGEFORMAT 即 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的前n项和为 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，点 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 在曲线 HYPERLINK :/ 7caiedu / SK

25、IPIF 1 0 * MERGEFORMAT 上 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 且 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT . 1求数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的通项公式； 2数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的前n项和为且 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 满足 HYPE

26、RLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，设定 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 的值使得数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是等差数列； 3求证： HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT .解：(1) HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 数列 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是等差数列，首项 HYPERLINK :/ 7caiedu / SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 公差d=4