平稳金融时间序列：AR模型课件

1、金融计量学张成思 第三章 平稳金融时间序列：AR模型3.1 基本概念3.2 一阶自回归模型 AR（1）3.3 二阶自回归模型 AR（2）3.4 p阶自回归模型 AR（p） 3.1 基本概念 3.1.1 随机过程与数据生成过程 随机过程： 从随机概率论的概念出发，随机过程是一系列或一组随机变量的集合，用来描绘随机现象在接连不断地观测过程中的实现结果。对于每一次观测，得到一个观测到的随机变量。 如果使用数学语言来定义随机函数，给定一个时间域T，对于T中每一个参数t，都有一个取值于确定集合W的随机变量 ，其中s属于一个特定的样本区间。所以对于一个给定的t， 是一个随机变量。对于一个确定的样本s， 就

2、是在s上的一组实现值,而集合 就是一个随机过程。 数据生成过程: 利用下面的回归模型来说明，即： 假设模型中所有系数已知或者是已经设立了的，那么给定解释变量 的一组观测值，回归模型就可以生成对应的一组 值，则模型就是一个数据生成过程。 DGP适用于理论上的问题与真实世界的事例之间的比较。 例如:中国国际股票指数和随机游走过程看上去相似吗？股票的收益率序列符合白噪音过程吗？图3.1 数据生成过程（右侧坐标）与现实中的金融随机变量图3.1 数据生成过程（右侧坐标）与现实中的金融随机变量 3.1.2 自协方差与自相关函数 假定 是一个随机变量，自协方差定义的是 与其自身滞后期之间的协方差，即“自身的

3、协方差”。常见的协方差的基本定义是： 其中： 表示期望。从而可以知道， 与其自身滞后j期 之间的协方差定义为： 对于均值保持不变的随机过程来说， 时，即为方差： 随机变量x和y的相关系数模型为： 自相关函数，即 与 的自相关函数定义为： 一般将 相对于滞后期数j绘制出的图示称为自相关图。 3.1.3 弱平稳与严平稳的定义 弱平稳（weakly stationarity）有时也叫协方差平稳（covariance-stationarity） 或二阶平稳（ second-order stationarity)。 弱平稳的定义： 对于随机时间序列 ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t变化而变化

4、，则称 为弱平稳随机变量，即对于所有时间t， 必须满足以下条件： (i) 为不变的常数； (ii) 为不变的常数； (iii) 平稳还暗示着： 对于一个弱平稳过程 ，自相关函数并且： 严平稳的定义： 如果对于任何 ，随机变量的集合 只依赖于不同期之间的间隔距离 而不依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。3.1.4 白噪音过程（white noise process） 一个随机过程如被称为白噪音过程，则组成该过程的所有随机序列彼此互相独立，并且均值为0，方差为恒定不变值。 即对于所有时间t， 如果满足下列条件 (i) (ii) (iii

5、) 则 是白噪音过程。图3.3 白噪音过程的自相关图 对于白噪音过程，总有如下等式成立： 以及 白噪音过程中的观测值彼此之间互相独立，白噪音过程不能由其以前的信息来预测，至少从线性角度看是这样的。 如果一个白噪音过程还满足正态分布的条件，即服从正态分布，这样的过程称为高斯白噪音过程。例如： 就是一个典型的样本为T的白噪音过程。 3.2 一阶自回归模型:AR（1） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质 AR（1）模型可以写成： 3.2.2 AR（1）过程的均值3.2.3 AR（1）过程的方差 平稳序列的观测值表现出一种向其均值水平回复的特征，这种特征在金融时间序列分析中称“均值回复”，对应

6、的英文名词是“mean-reverting”。 图3.4 AR（1）模拟生成的序列图与相关统计量(a) 样本=30 图3.4 AR（1）模拟生成的序列图与相关统计量(b) 样本=1000 随着样本的增大，样本均值和方差与理论上的真实值会越来越接近。通过比较图3.4中不同样本数据对应的样本均值和方差可以看出，只有30个观测值的序列均值和方差分别为1.302和0.2342=0.055，与真实值之间有明显的出入；而对于1000个观测值的序列，其均值和方差分别是3.262和0.972=0.947，与理论真实值已经非常接近了。3.2.4 AR（1）过程的自协方差 与自相关函数 所以， ，而对于 ，其取值

7、越靠近于1，则暗示 序列相邻观测值之间的相关性越强。很明显，平稳AR（1）过程的自相关函数图应该是随着滞后期数的增加而呈现逐渐衰减的态势。 3.2.5 一阶自回归系数 的影响 下面利用实际例子进一步演示自回归系数 取值不同对自相关系数以及 序列动态走势的影响。图3.5 AR（1）过程的自相关函数图 图3.6 AR（1）模型的自相关函数图 图3.7（a)图3.7（b)图3.7（c）图3.7（d）3.3 二阶自回归模型:AR（2） 3.3.1 AR（2）过程的基本定义和性质 3.3.2 AR（2）过程的均值3.3.3 AR(2)的方差、自协方差与自相关函数 因此， 又因为自相关函数具有以下性质 可

8、得自相关函数在前2期的解析表达式 进而可推导出平稳AR（2）模型的方差解析表达式：图3.8 AR(2)模型生成的序列数据(a)图3.8 AR(2)模型生成的序列数据(b)图3.8 AR(2)模型生成的序列数据(c)3.4 p阶自回归模型:AR(p)3.4.1 AR(p)过程的基本定义和性质3.4.2 AR(p)过程的均值3.4.3 AR（2）过程的方差和自协方差故有： （3.77）（1）如果自回归系数 和白噪音的方差 已知，那么它们可以用来解出AR（p）过程的自协方差 。这里， 维列向量由下面 维矩阵的第一个列向量的p个值唯一确定：其中： 表示 维的单位矩阵，F是在第2章中定义的 维矩阵，符号 表示“克罗内克”乘积。3.4.4 AR(p)过程的自相关函数 ACF服从于勒-沃克等式（Yule-Walker equations ） 例子:在AR(2)过程里，实例应用AR（2）过程：其特征根方程为：图3.9图3.10 需要注意，对于AR（2）模型来说，随着滞后期j的增大，自相关函数（绝对值）不一定总是单调递减的！这一点与AR（1）模型不同，因为对于平稳AR（1）模型来说，自相关函数的绝对值一定是单调递减的。 为了说明这一点，现