勾股定理经典例题

1、关于勾股定理经典例题第一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月a2+b2=c2cba勾 股 定 理2第二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月知识要点：1. 勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有2.勾股定理逆定理：直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2a2+b2=c2cba第三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月ABC蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的边长为1厘米）练习1:第四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 .勾股数

2、能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2 中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25;等用含字母的代数式表示组勾股数： （n为正整数）； （n为正整数）； （n为正整数）；练习2:第五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月题型一：直接考查勾股定理例一. 在中，已知，求已知，求分析：直接应用勾股定理的长的长利用对角对边，分清直角边，斜边练习3:第六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解： 代王中学教学课件第七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例题

3、2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？题型二：利用勾股定理测量长度分析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！解：根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152, 所以AC2=144 ,所以AC=12练习4:第八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例题3 如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到

4、达小树和伙伴在一起？第九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月A小汽车小汽车BC观测点例题4“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过24km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？第十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例题5 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 练习5:第十一张，PPT共四十二页，创作于2022

5、年6月解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.代王中学教学课件第十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例题6 、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x29

6、6 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。第十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例题7、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 练习6:代王中学教学课件第十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H 解：OC1米 (大门宽度一半)， OD0.8米 （卡车宽度一半） 在RtOCD中，由勾股定理得： CD.米， C.（米）.（米

7、） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门=第十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例题8 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。类型三：勾股定理的实际应用练习7:第十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 解析：（1）过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可

8、得： 所以 （2）在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向代王中学教学课件第十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月（二）用勾股定理求最短问题 例题9如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 练习8:第十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 解： 如图，在Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm 代王中学教学课件第十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6

9、月利用勾股定理作长为 的线段练习9:第二十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 例、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题 练习10:第二十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)2

10、0, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 代王中学教学课件第二十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月【变式】在数轴上表示的点。看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。解析：可以把练习11:第二十三张，P

11、PT共四十二页，创作于2022年6月四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。练习12:第二十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月【答案】：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） 第二十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN

12、上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 练习13:第二十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 第二十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中

13、，ABP90，APB30， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。

14、第二十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 练习14:第二十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解：连接AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为AD为ABC的中线， 所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA

15、=CDF 所以AEDCFD（ASA） 所以AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在RtAEF中，根据勾股定理得： ，所以EF=13。 第三十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。练习15:第三十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为_ A 6cm2 B 8cm2C 10cm2 D 12cm2ABEFDC练习16:第三十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6

16、月17、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ） （B） （C） （D）（A）c练习18:第三十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解：设两直角边长为X和Y 因斜边上的中位线为d 则斜边长为2d 则X+Y（2d）4d 因三角形的面积为S 则XY/2S XY2S 则（X+Y）X+Y+2XY4d+4S4（d+S） X+Y2（d+S） 则三角形的周长X+Y+2d2（d+S）+2d 代王中学教学课件第三十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月ABCDA=600, B=D=900,AB=4,CD=2, 求S四边形ABCD.练习19:第三十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月ABCDE第三十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月（小方格的边长为1厘米