《数学分析》课件 8-1平面图形的面积

1、3 平面曲线的弧长4 旋转曲面的面积1平面图形的面积5 定积分在物理中的应用2 由平行截面面积求体积小结与习题 第八章 定 积 分的应用6 定积分的近似计算一、直角坐标系情形二、参数方程1平面图形的面积三、极坐标系情形复习: 定积分的几何意义曲边梯形的面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？A-AA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图结论：几何意义abxyy=f(x)0应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxy

2、xyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0 xy=x22yy0 xy=f(x) y=g(x)ab讲授新课:直角坐标系曲边梯形的面积一、直角坐标系情形曲边梯形的

3、面积讨论： 由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、 y=d所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdx=y(y)x=j(y)答案：下页 由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线Sx=a、x=b所围成的图形的面积为abxyOS1则椭圆的面积为下页 由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线Sx=a、x=b所围成的图形的面积为 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，x1O-1 1 y 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S =2 下页 例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积。8 y-2 2 x2O444(8

4、, 4)(2, -2) 解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。 首页=18。参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积二 参数方程椭圆的参数方程解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积三、极坐标系情形曲边扇形的面积面积元素解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知例7解：x y o 两边同时对 求导积分得所以所求曲线为回顾曲边梯形求面积的问题补充:定积分的元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3） 求和，得A的近似值（4） 求极限，得A的精确值abxyo提示面积元素元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。平面图形的面积如何用元素法分析？平面图形的面积如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。 平面图形的面积如何用元素法分析？平面图形的面积如何用元素法分析？平面图形的面积第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？选 为积分变量解两曲线的交点面积元素微元法求平面图形的面积举例选 为积分变量解两曲线的交点于是所求