抽样理论与方法：分层随机抽样课件

1、分层随机抽样4.1 概述 一、分层抽样（stratified sampling)、分层随机抽样(stratified random sampling)分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总体，子总体的大小分别为N1、 N2、 NL，皆已知，且 则每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样，这样的抽样方法称为分层抽样。分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都是简单随机抽样，则这样的分层抽样称为分层随机抽样。二、分层抽样的适用场合不仅需要估计总体参数，也需要估计各层参数。便于管理，按现成的地理分布或行政划分来分层。希望样本中能包含各个部分，以增加代表性。把一个内部差异很大的总体分成

2、几个内部比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把它们分离出来形成一层。即“层间方差大，层内方差小”。三、进行分层抽样时，应注意的方面层内抽样设计的选择。分层变量的选择。各层样本量的分配，样本总量的确定。层数。层的分界。4.2 简单估计量及其性质对总体均值或总值的估计：例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成两层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入层），980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，得数据（单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人，调查上月收入，得数据（单位：元）220、230、180、320、400、3

3、40、280、360。估计这1000人上月平均收入。解： 对比：一、分层抽样中，例3. 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为层，每层按简单随机抽样抽取户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。样本户奶制品年消费支出解：（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为例3.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户，调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为2972元；农村年平均户收入为9856元

4、，标准差为2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信区间。解：3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计估计的性质（1）（2）(3)(4)4例：在某行业技术人员中，按年龄分层，调查会使用计算机者所占的比例。数据如下： 试估计总体中会计算机者占的比例。解：3.3 各层样本量的分配在分层随机抽样中，假设样本量n固定1.比例分配：指按各层层权（各层单元数占总体单元数的比例）进行分配。例：假设某公司欲估计某类产品的用户的每年平均支出。企划人员拟就整个潜在用户的名单，共8000户。 采用分层随机抽样抽取样本200户，求按比例分配时各层样本量。解：例. 某电视台要在某地区的住户中,调查该台的晚间新

5、闻的收视率。该地区包括3个县,共有67401家住户。假定该电视台采用等比例分层随机抽样分别从三个县抽取住户，样本量为1500。每个县的总户数以及抽样数据列表如下： 求该地区新闻收视率的95%的置信区间。解：分层随机抽样时，收视率P的估计为： 收视率P的置信度为95%的近似置信区间为：即有95%的把握可以认为，该地区的新闻收视率在22.1%26.5%之间。2.最优分配：例.在例3.2中，样本量仍为n=40，则按比例分配和Neyman分配时，各层的样本量为多少？例. 在例3.3中，样本量仍为n=550。 城镇居民23560户，农村居民148420户。 城镇居民与农村居民的年收入的标准差分别为S1=

6、3000元,S2=2500元。 对城镇居民与农村居民抽样平均每户的费用比为1：2。 试求城镇与农村两层比例分配与最优分配的样本量。又若不考虑费用因素，那么最优分配的结果如何？解：例3.：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为层，每层按简单随机抽样抽取户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出解：按比例分配时， 对于Neyman分配，例：在例3.3中，样本量仍为n=550，城镇居民与农村居民年收入的标准差估计分别为3000元和2500元，对城镇居民与农村居民抽样品均每户的费用比为1：2，试求（1）城镇

7、与农村两层比例分配样本量；（2）最优分配的样本量。解：（1）按比例分配时， （2）对于Neyman分配，4.4 样本总量的确定1.在分层随机抽样中，影响样本总量n的因素：（1）只讨论对总体参数的精度要求；（2）样本量的分配形式。2.在估计总体均值时，若精度要求给定，样本总量n的确定公式：证明：*例：某流水线生产了1500件产品，为估计产品的合格率，将产品按早、中、晚班分成三层。各班产量分别为：早班550件，中班500件，晚班450件。根据以往的情况，每班合格率均在95%左右。若要求以95%的把握使估计量的绝对误差不超过2%，分别确定按比例配置和按Neyman配置时总样本量和各层样本量。解：例：

8、（续例3.2）如果要求在置信度95%下，相对误差不超过10%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？解：3.在估计总体均值时，若总费用给定，精度最高时，样本总量n的确定公式：4.5 分层时的若干问题1.抽样效果分析（1）分层随机抽样与简单随机抽样的比较 在相同的样本量下，比较二者的估计量的方差的大小。分层随机抽样以比例分配为代表。 （2）最优分配（以Neyman为例）与比例分配在精度上的比较 理论上讲，最优分配的精度应高于相同样本量的任何其他分配。当然，也高于比例分配的精度。但最优分配在精度上的改进有多大呢？*最优分配对于估计总体比例P的情形较少使用。（除非特别小或特别大）2.

9、层的划分（）层的划分原则一种原则是仅为满足估计部分（即子总体）参数的需要或为了组织实施的便利。另一种原则是尽可能提高抽样精度，减少估计量的方差。需要选择恰当的变量变量作为分层标志。 分层标志的选择：可以是调查指标的前期值可以是与调查指标有较大线性相关的指标。例如交通运输量的调查中，车辆的吨位是与其两个主要指标：运量与周转量密切相关的。（2）层权对估计量的影响 （3）最优分层如何确定各层的分点：下面介绍一种确定层界的快速近似法累积平方根法。它是由Dalenius和Hodges提出的。其做法：将分层变量的分布的累积平方根进行等分来获得最优分层，所以成为累积平方根法。例：某地区电信部门在对利用电话上网的居民家庭安装ADSL意愿进行调查时，以辖区内最近三个月有电话上网支出的居民用户为总体（上网电话费为0.02元/分钟），并准备按上网电话费支出（记为x）进行分层，试确定各层的分点。居民家庭上网电话费支出分布如下页表所示 *计算累积频数时,应注意x的取值区间不是等长的。30元以下，以5元为间距，计算时，按 累积；30-100元，以10元为间距，计算时，按 累积；100元以上，以50元为间距，计算时，按 累积。解：若取层数为4，则应每隔2712.949/4=678.237分一层。 分点应使得累积 最接近678.237， 2* 678.237 =1356.474，3* 678.2