高斯公式高数课件

1、静1还能想起三重积分怎样求么？211.4与11.5 内容回顾1. 定义:3设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用对称性、形心公式(线性函数的积分)2. 计算:第一类曲面积分 的计算4 若则有若则有(前正后负)(右正左负)第二类曲面积分 的计算(上正下负) 若则有53.性质:4.联系:其中对坐标的(3条):线性运算性质; 可加性; 有向性.是有向曲面指定侧的法向量的方向余弦.对面积的(8条)6思考与练习1. P228 题2提示: 设则 取上侧时, 取下侧时,2. P246 题 17提示:求出 的法向量方向余弦,转化成第一P229 题3(3). 类曲面积分来求。8一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲

2、面积分为零的条件(略) 三、通量与散度(简介)11.6 高斯公式 通量与散度 第十一章 9一、高斯公式定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面所的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在 上有连续围成, 的方向取外侧, 则有 (高斯公式)10证明:：XY型区域下面先证 设 左=11：XY型区域则为侧面. 右=12所以若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型故上在辅助面正反两侧面积分正负抵消,区域,类似可证 三式相加, 即得所证 高斯 公式.式仍成立 .13高斯公式两类曲面积分的关系14表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上高斯公式的实质:使用高斯公式时应注意:1.的搭

3、配及对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件；3.是取闭曲面的外侧.的曲面积分之间的关系,常用于计算曲面积分(如上次例的方法2)(内侧时需相应变化)(反用).15例1. 用高斯公式计算其中 为柱面空间闭域 的整个边界曲面的外侧. 及平面 z = 0 , z = 3 所围解: 这里利用高斯公式, 得原式 =16(先二后一)思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? (均比教材上快捷,注意体会!)(结果不变呢！)之二 之一 （利用形心坐标 ）17例1*. 用高斯公式计算其中* 为柱面间曲面的外侧. 介于平面 z = 0 , z = 3 之利用高斯公式,

4、 得作1 ,2如图，解: = *+ 1+ 2原式 所以18例2. 利用高斯公式计算积分其中 为锥面解: 作辅助面取上侧介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为,则 所以19利用高斯公式, 得zDz注意：x、y的积分为零; 先二后一比教材上简单.20例3.设 为曲面取上侧,解: 作辅助面(下侧 ) 求 利用高斯公式, 得21用极坐标22解: 作辅助面(上侧 )例4.计算其中为旋转介于平面(P228例3)2抛物面z= 0及 z = 2 之间部分的下侧.23在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式例5. 设函数其中 是整个 边界面的外侧. 24

5、分析:高斯公式证:令25移项便得证。由高斯公式26定义:设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .三、通量与散度(简介)*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(略)。27在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作28引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度理意义可知, 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 还可表示为场为29若 为某闭曲面的外侧, 当 0 时,说明流入 的流体质量当 0 时

6、,说明流入 的流体质量则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 . 少于流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;多于流出的,30根据高斯公式, 流量也可表为()M 且方向向外的任一闭曲面 , 记设 是包含点为了揭示场内任意点M 处的特性, 在()式两边同除以并令 以任意方式则有所围域为, 的体积 V,缩小至点 M31此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 中值定理32表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A处处有 , 则称 A为无

7、源场. 说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 33内容小结1. 高斯公式及其应用公式:34应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 可推出闭曲面积分为零的充要条件: 与曲面无关的充要条件（只与边界线有关）即(略)。352. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶连续偏导数, 为则向量场通过有向曲面 的通量(流量) G 内任意点处的散度为 36作业P236 习题11-6 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 337例7. 设 是曲面取足够小的正数, 作曲面取下侧 使其包在 内, 为xoy平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧, 计算则解:38第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算,