2022届福建省莆田一中（莆田市）高三毕业班三模数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 16 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 页2022届福建省莆田市高三毕业班三模数学试题一、单选题1设集合，则（）ABCD【答案】B【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由题意得，则.故选：B.2若复数，则（）ABCD【答案】C【分析】根据复数的除法运算即可得解.【详解】故选：C3芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬

2、，他在后面追，但他不可能追上乌龟原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟”试问在阿略琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（）A11.111米B11.11米C19.99米D111.1米【答案】A【分析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，利用等比数列

3、的前n项和公式即可求出总距离.【详解】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且所以乌龟的爬行距离(米).故选：A4已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（）A2B4C6D8【答案】B【分析】根据分层抽样的抽取比例计算方法，分别求出抽取人数中的男女职工人数即可求解.【详解】抽取的女职工人数为：人抽取的男职工人数为：人则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差为：人故选：B.5“”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用同角的三角函数的平

4、方关系及二倍角公式可得，再除以可得关于的方程，求解即可判断.【详解】由题，则，即，所以，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：B6已知，则（）ABCD【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】 ， 故选：C.7抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则()AB1CD2【答案】D【分析】根据ABx轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐

5、标，利用B和F求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p【详解】由题知抛物线焦点为，ABx轴，将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，代入抛物线方程消去y得，设方程两根为，则，则，又到BC：的距离为：，由得故选：D8已知函数的最小值是4则（）A3B4C5D6【答案】A【分析】利用导数研究函数的极值和最值即可，这里需要用到的二阶导数【详解】由题，所以单调递增，又，所以，故为最小值点，即，解得，故选：A二、多选题9下列说法正确的是（）

6、A展开式中的常数项为B展开式中的各项系数之和为1C展开式中的系数为40D展开式中的二项式系数之和为32【答案】ACD【分析】根据多项式的乘法可知A正确，利用赋值法判断B，根据二项展开式通项公式判断C，根据二项式系数和判断D.【详解】对于选项A，常数项应为，则A正确；对于选项B，令，得，即展开式中的各项系数之和为-1，则B错误；对于选项C，展开式的通项公式为，令，得，则，即展开式中的系数为40，则C正确；对于选项D，展开式中的二项式系数之和为，故D正确.故选：ACD10将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可能为（

7、）ABCD【答案】AD【分析】根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出对称轴，即可得到的取值情况.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象关于直线对称 又 当时，；当时，；当时，；故选：AD.11已知函数，函数，则下列结论正确的是（）A若有3个不同的零点，则a的取值范围是B若有4个不同的零点，则a的取值范围是C若有4个不同的零点，则D若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】BCD【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案.【详解】解：令得，即所以零点个数为函数与图像交点个数，故，作出函

8、数图像如图，由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确；由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确.故选：BCD12已知正四面体的棱长为点E，F满足，用过A，E，F三点的平面截正四面体的外接球O，当时，截面的面积可能为（）ABCD【答案】CD【分析】作出当时的图象，问题转化为截面AEF从平面ARS转动到平面ACD的过程中截球所截得圆面的面积范围，利用球的截面的性质得出圆面的半径平方的范围即可求解.【详解】如图1,在棱BC上取点R，在棱B

9、D上取点S，使得，取CD的中点G，连接AR，AS，RS，BG，AG，记RSBG=M，连接AM. 过点A作AH平面BCD，垂足为H，则H为BCD的中心，正四面体ABCD外接球的球心在AH上，AO为球的半径.由题中数据可得.设球的半径为R，则，解得.当时，截面AEF从平面ARS转动到平面ACD，要求截面的面积只需考虑球心到截面的距离的取值范围即可.由题意可知CD/RS且CD平面ABG，如图2，过点作，垂足为N，则ON平面ARS.因为，所以，即球心到截面的距离，则截面圆的半径，故所求截面的面积.故选：CD三、填空题13已知向量，若，则_【答案】或或【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解

10、即可.【详解】，解得或.故答案为：或.14在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【分析】异面直线与所成角转化为直线与所成角即可求出答案.【详解】如图连接，取中点为点,连接，且四边形为平行四边形 同理异面直线与所成角即为直线与所成角设正方体的棱长为，则，在中， 故答案为： .15五一期间，某个家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是_【答案】【分析】根据全排列求出7人总的排法种数，再利用插空法求出小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的排法种数，根据古典概型求解.【详解】7个人全排列

11、有种排法，利用插空法，其中小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的排法有种，所以小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率.故答案为：16已知双曲线的右焦点为F圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为_【答案】【分析】根据双曲线的定义及余弦定理可求解.【详解】如下图所示，设双曲线的右焦点为，设直线的倾斜角为，则，由题意可知，则，则双曲线的定义有，从而，所以在中，由余弦定理有.故答案为：四、解答题17在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答设等差数列的前n项和为，且,(1)求的最小值；(2)若数列满足_，求数列的前10项和【答

12、案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）结合等差数列的通项公式和前项和公式求得，利用二次函数的性质即可求解；（2）选，判断，进而求解；选，利用裂项相消法即可求解；选，利用分组求和法即可求解.【详解】(1)由题，所以，则，所以当时，的最小值为.(2)设数列的前项和为，选，由（1），令，即,所以，所以；选，由（1），所以；选，由（1），所以18在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知(1)求B的值；(2)若，且，求的面积【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由两角和的正弦公式化简求出即可得解；（2）由已知求出，再由正弦定理可得，联立已知求出，利用三角形面积公式求

13、解.【详解】(1)，,，又，即，又.(2)因为，且，所以，则.由正弦定理可得，即，化简得，又，联立可解得故ABC的面积为.19如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且E，F分别为棱的中点，(1)证明：平面(2)求平面与平面的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】建立空间直角坐标系，再分别求出相关平面的法向量及，再运用向量的共线及向量的夹角公式可求解.【详解】(1)矩形对角线的交点记为，可知,又因为,可知,同理可得，,且底面，所以底面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而有设平面的法向量为，则有，可取，所以，所以平面.(2)记平面、平面的法向量分别为、.由（1）中的数据，同理可得平面

14、、平面的法向量分别为、，根据法向量的方向，可知平面与平面的夹角的余弦值即为.20点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势某配餐店为扩大品牌能响力，决定对新顾客实行让利促销促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元，15元或者20元代金券一张，中奖率分别为、和，每人限点一餐且100%中奖现有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位员工决定点餐试吃(1)求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率；(2)这五人中抽到15元，20元代金券的人数分别用a，b表示，记，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望为.【分析】(1)设“这5人中恰有i人抽到10元代金券”为事件，由互斥事件的

15、概率求和公式求解“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率即可；(2)由题意可知可取，求得相应的概率值，列出分布列，最后求解数学期望即可.【详解】(1)设“这5人中恰有i人抽到10元代金券”为事件，易知“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率：.(2)由题意可知的可能取值为，故的分布列为：012346故21已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在请说明理由【答案】(1)(2)存在，.【分析】(1)由题意，列出方程可直接求解;(2)先得到切线方

16、程，从而可得点的坐标，再写出圆的方程后代入点的坐标可求解.【详解】(1)由题意得，所以椭圆C的标准方程为.(2)由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：联立，消得，又，则，所以，所以，及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，所以椭圆上切点为的切线方程为.切线方程与联立得，则线段为直径的圆的方程为，设，则，化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意.此时.故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上.22已知函数(1)讨论的单调性(2)若，证明：对任意的，都有【答案】(1)单调性讨论见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据a的符号分类讨论即可；（2）