2022年北京市新高考数学试题及答案解析

1、 2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集，集合，则（ ）A B C D2若复数z满足，则（ ）A1 B5 C7 D253若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A B C1 D4已知函数，则对任意实数x，有（ ）A B C D5已知函数，则（ ）A在上单调递减 B在上单调递增C在上单调递减 D在上单调递增6设是公差不为0的无穷等差数

2、列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是下列结论中正确的是（ ）A当，时，二氧化碳处于液态B当，时，二氧化碳处于气态C当，时，二氧化碳处于超临界状态D当，时，二氧化碳处于超临界状态8若，则（ ）A40 B41 C D9已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合设集合，则T表示的区域的面积为（ ）

3、A B C D10在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11函数的定义域是_12已知双曲线的渐近线方程为，则_13若函数的一个零点为，则_；_14设函数若存在最小值，则a的一个取值为_；a的最大值为_15已知数列的各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3； 为等比数列；为递减数列； 中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（本小题13分）在中，（I）求；（II）若，且的面积为，求的周长17（本小题14分

4、）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点（I）求证：平面；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32

5、，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为（I）求椭圆E的方程；（II）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值20（本小题15分）已知函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，讨论函数在上的单调性；

6、（III）证明：对任意的，有21（本小题15分）已知为有穷整数数列给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列（I）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（II）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；（III）若为连续可表数列，且，求证：2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析1.【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的补集运算，属于基础题【解答】 解：易得 CUA=(3,2(1 ， 3) 2.【答案】B【解析】【分析】 本题考查复数的基本运算，属于基础题【解答】 解：由条件可知 z=34ii=43i ，所以 |z|=5 3.【答案】

7、A【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题【解答】 解：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 (a,0) ，所以由 2a+01=0 解得 a=12 4.【答案】C【解析】【分析】 本题考查了指数的运算 求出 f(x) ，通过运算，判断选项即可 【解答】 解：由 f(x)=11+2x ，可得 f(x)=11+2x=2x2x+1 ，所以得 f(x)+f(x)=2x+12x+1=1 5.【答案】C【解析】【分析】 本题考查判断余弦型函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题【解答】 解： f(x)=cos2xsin2x=cos2x ， 选项 A 中： 2x(,3) ，此时 f(

8、x) 单调递增， 选项 B 中： 2x(2,6) ，此时 f(x) 先递增后递减， 选项 C 中： 2x(0,23) ，此时 f(x) 单调递减， 选项 D 中： 2x(2,76) ，此时 f(x) 先递减后递增 6.【答案】C【解析】【分析】 本题主要考查充分必要条件的判断，属于中档题【解答】 解： 充分性证明： 若 an 为递增数列，则有对 nN ， an+1an ，公差 d=an+1an0 ， 故数列中从某项开始后均为正数且数列递增，则存在正整数 N0 ，当 nN0 时， an0 ， 充分性成立； 必要性证明： 若存在正整数 N0 ，当 nN0 时， an0 ， an=a1+(n1)d

9、，若 dN0 时， an0 ，又 d0 ， 若 d0 ，此时 an 为递增数列，则存在正整数 N0 ，当 nN0 时， an0 ，可满足条件， 所以“ an 为递增数列”是“存在正整数 N0 ，当 nN0 时， an0 ”的充要条件7.【答案】D【解析】【分析】 本题考查对数运算的实际应用，函数图象的应用，属于中档题 【解答】 解： A 选项： 4lgP=lg10263 ， T=220 ，由图易知处于固态 ; B 选项： 3lgP=lg1282 ， T=270 ，由图易知处于液态 ; C 选项： lgP=lg99873.999 ， T=300 ，由图易知处于固态 ; D 选项： 3lgP=lg

10、7292 ， T=360 ，由图易知处于超临界状态 ;8.【答案】B【解析】【分析】 本题考查二项式，取 1 和 1 代入即可，属于基础题【解答】 解：当 x=1 时， 1=a4+a3+a2+a1+a0; 当 x=1 时， 81=a4a3+a2a1+a0; + ，可得 a0+a2+a4=41 9.【答案】B【解析】【分析】 本题考查投影的相关知识，属于基础题【解答】 解：过点 P 作底面射影点 O ，则由题意， CO=23 ， PC=6; PO=26 ，当 CO 上存在一点 Q 使得 PQ=5 ，此时 QO=1 ，则动点 Q 在以 QO 为半径， O 为圆心的圆里， 所以面积为 10.【答案】

11、D【解析】【分析】 解：法一：建立如图所示坐标系， 由题易知，设 C(0,0) ， A(3,0) ， B(0,4) ， PC=1 ， 设 P(cos,sin) ， 0,2) PAPB=(3cos,sin)(cos,4sin)=3cos4sin+cos2+sin2 =15sin(+)(sin=35,cos=45)4 ， 6 法二：注意： =|2| ，且 CACB=0 PAPB =(PC+CA)(PC+CB) =PC2+PCCA+PCCB+CACB =PC2CPCACPCB+CACB =13cos4cos+0 =13cos4sin =15sin+ 其中， (0,2) ， tan=34 4PAPB6

12、【解答】 本题考查平面向量的数量积计算 法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解 法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解11.【答案】(,0)(0,1【解析】【分析】 本题考查求函数的定义域，属于基础题【解答】 解：依题意 x0,1x0, 解得 x(,0)U(0,1 12.【答案】3【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题【解答】 解：双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=xm ，故 m=3 13.【答案】12【解析】【分析】 本题考查辅助角公式，函数零点的概念，属于基础题【解答】 解：由题意知： f(3)=Asin33cos3=32A32=0

13、，解得 A=1 f(x)=sinx3cosx=2sin(x3) ， f(12)=2sin(123)=2sin(4)=2 14.【答案】0(答案不唯一)1【解析】【分析】 本题考查分段函数的取值问题，题目较难【解答】 解：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以 0 ， 2 为分界点研究函数的性质， 当 a0 时， f(x)=ax+1 ， xa ，该段的值域为 (,a2+1) ，故整个函数没有最小值 ; 当 a=0 时， f(x)=ax+1 ， xa 该段的值域为 1 ，而 f(x)=x22 ， xa 的值域为 0,+) ，故此时 f(x) 的值域为 0,+) ，即存在最小值为 0 ，故第

14、一个空可填写 0; 当 0a2 时， f(x)=ax+1 ， xa ，该段的值域为 (a2+1,+) ，而 f(x)=(x2)2 ， xa 的值域为 0,+) ，若存在最小值，则需满足 a2+10 ， 于是可得 02 时， f(x)=ax+1 ， xa ，该段的值域为 a2+1,+. 而 f(x)=(x2)2 ， xa 的值域为 a22,+) ，若存在最小值，则需满足 a2+1(a2)2 ，此不等式无解。 综上， a 的取值范围是 0,1 ，故 a 的最大值为 1 15.【答案】【解析】【分析】 本题考查数列的性质，属于中档题【解答】 解： n=1 ，可得 a12=9 ，又各项均为正，可得 a

15、1=3 ，令 n=2 可得 a2(3+a2)=9 ，可解得 a2=3(51)23 ，故 正确 ; 当 n2 时，由 Sn=9an 得 Sn1=9an1 ，于是可得 an=9an9an1 ，即 anan1=9an29 ，若 an 为等比数列，则 n2 时 an+1=an ，即从第二项起为常数，可检验 n=3 则不成立，固 错误 ; anSn=9(n=1,2). 可得 anSn=an+1Sn+1 ，于是 an+1an=SnSn+11 ，所以 an+190000 ，则 an1100 ， Sn900 ，于是 anSn9 ， 与已知矛盾， 所以 正确。 16.【答案】解：(1)sin2C=3sinC，2

16、sinCcosC=3sinC，cosC=32，0C0可得(16k2+8k)24(1+4k2)(16k2+16k)0，解得k0故(x)在0,+)上递增，故(x)(0)=10，因此g(x)0对任意x0,+)恒成立，故g(x)在0,+)上单调递增;(3)设m(s)=f(s+t)f(s)f(t)=es+tln(1+s+t)esln(1+s)etln(1+t)，则m(s)=es+t(ln(1+s+t)+11+s+t)es(ln(1+s)+11+s)=g(s+t)g(s)，由(2)，g(x)在0,+)上单调递增，故s0，t0时，m(s)=g(s+t)g(s)g(t)g(0)g(0)g(0)=0，因此，m(

17、s)在(0,+)上递增，故m(s)m(0)=f(0+t)f(0)ft=f(0)=0，因此，对任意的s，t(0,+)，有f(s+t)f(s)+f(t)【解析】本题将指对函数以乘法的方式联系到一起，构思新颖。第()问判断导函数符号可以求二阶导，也可以直接放缩处理;第()问借助()的结论可以快速得到结果21.【答案】解：(1)由于2+1=3，1+4=5，故Q为5连续可表数列.而Q数列无法找到连续的若干个数和为6，故Q不是6连续可表数列(2)当k3时，至多可以表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3这6个数，不符题意.当k=4时，取数列Q:3，1，4，2满足题意.故k的最小值为4

18、(3)先证k6.若k5，则至多可以表示15个数，不符题意当k=6时，由于a1+a2+ak20，故数列中存在为负的项，且仅有一个为负的项，不妨设该项为ai(i1,2,3,4,5,6)，因此数列中一定存在若干项正数的和为20.由于对称性，我们只需考察i=1，2，3的情况(i)当i=2时，由于a1+a2+a6a1，矛盾.若a3+a4+a5+a6为连续若干个数中的最大的数，同理可得矛盾(ii)当i=3时，与i=2同理，不符合题意(iii)当i=1时，则连续若干个数的和中最大的数为a2+a3+a6=20，那么有：19a1+a2+a6,a2+a3+a4+a5,a3+a4+a5+a6.由前文分析可知a1+a20，因此19a1+a2+a6,a2+a3+a4+a5.若a1+a2+a6=19，则a1=1.如果a2+a3+a4+a5=18，那么a6=2，并且此时a3+a4+a5+a6=17，有a2=3，则a6=a1+a2，矛盾如果a3+a4+a5+a6=18，那么a2=2，并且此时a2+a3+a4+a5=17，有a6=3.下面我们考察