2022年新高考全国Ⅰ卷数学试题及答案解析

1、 2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）若集合M=x|x4，N=x|3x1，则MN=()A. x|0 x2B. x|13x2C. x|3x16D. x|13x0)的最小正周期为T.若23T，且y=f(x)的图像关于点(32,2)中心对称，则f(2)=()A. 1B. 32C. 52D. 3设a=0.1e0.1，b=19，c=ln0.9，则()A. abcB. cbaC. cabD. ac0)上，过点B(0,1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=1B. 直线AB与C相切C. |OP|OQ|OA|2D. |BP|BQ|BA|

2、2已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x).若f(322x)，g(2+x)均为偶函数，则()A. f(0)=0B. g(12)=0C. f(1)=f(4)D. g(1)=g(2)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）(1yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为_(用数字作答)写出与圆x2+y2=1和(x3)2+(y4)2=16都相切的一条直线的方程_若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，

3、|DE|=6，则ADE的周长是_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1，Snan是公差为13的等差数列(1)求an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若tanPAQ=22，求PAQ的面积已知函数f(x)=exax和g(x)=axlnx有相同的最小值(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列答案解析1.【答案】D【解析】解：由x4，得0 x16，M=x|x4=x|0

4、 x16，由3x1，得x13，N=x|3x1=x|x13，MN=x|0 x16x|x13=x|13x0)的最小正周期为T，则T=2，由23T，得232，20，则f(x)=1x1x2，x0，当f(x)=0时，x=1，0 x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在x=1处取最小值f(1)=1，lnx11x，ln0.9110.9=19，ln0.919，c1910=110，109e0.1，0.1e0.119，a0.11.1=0.11，而1n0.9=ln10912(109910)=19180c，ca0，利用导数性质求出lnx11x，由此能求出结果本题考查三个数的大小的判断，考查构造法

5、、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】C【解析】解：如图所示，正四棱锥PABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为，在RtPAE中，PA2=AE2+PE2，即l2=(2a2)2+2=12a2+2，球O的体积为36，球O的半径R=3，在RtOAE中，OA2=OE2+AE2，即R2=(3)2+(2a2)2，12a2+26=0，12a2+2=6，l2=6，又3l33，3292，该正四棱锥体积V()=13a2=13(1222)=233+42，V()=22+8=2(4)，当320，V()单调递增；当

6、492时，V()0，V()单调递减，V()max=V(4)=643，又V(32)=274，V(92)=814，且2740，解得x33，令f(x)0，解得33x0,f(33)=92390，f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f(x)+f(x)=x3x+1x3+x+1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C正确；假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b)，则3a21=22a=b，解得a=1b=2或a=1b=2，显然(1,2)和(1,2)均不在曲线y=f(x)上，故选项D错误故选：AC对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由

7、f(x)+f(x)=2，可判断选项C；假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a，b的值，验证点(a,b)是否在曲线y=f(x)上即可本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题11.【答案】BCD【解析】解：点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p0)上，2p=1，解得p=12，抛物线C的方程为x2=y，准线方程为y=14，选项A错误；由于A(1,1)，B(0,1)，则kAB=1(1)10=2，直线AB的方程为y=2x1，联立y=2x1x2=y，可得x22x+1=0，解得x=1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据

8、对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y=kx1(k2)，与抛物线在第一象限交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立y=kx1y=x2，消去y并整理可得x2kx+1=0，则x1+x2=k，x1x2=1，y1y2=(kx11)(kx21)=k2x1x2k(x1+x2)+1=1，|OP|OQ|=x12+y12x22+y222x1y12x2y2=2x1x2y1y2=2=|OA|2，由于等号在x1=x2=y1=y2=1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；|BP|BQ|=x12+(y1+1)2x2+(y2+1)2x12+4y1x22+4y2=5x125x22=5(x1x2)2=5=|BA|

9、2，选项D正确故选：BCD对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y=kx1(k2)，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题12.【答案】BC【解析】解：f(322x)为偶函数，可得f(322x)=f(32+2x)，f(x)关于x=32对称，令x=54，可得f(32254)=f(32+254)，即

10、f(1)=f(4)，故C正确；g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2x)，g(x)关于x=2对称，故D不正确；f(x)关于x=32对称，x=32是函数f(x)的一个极值点，g(32)=f(32)=0，又g(x)关于x=2对称，g(52)=g(32)=0，x=52是函数f(x)的一个极值点，f(x)关于x=32对称，x=12是函数f(x)的一个极值点，g(12)=f(12)=0，故B正确；f(x)图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误故选：BC由f(322x)为偶函数，可得f(x)关于x=32对称，可判断C；g(2+x)为偶函数，可得g(2+x)=g(2x)

11、，g(x)关于x=2对称，可判断D；由g(32)=0，g(x)关于x=2对称，可得g(52)=0，得到x=52是f(x)的极值点，x=12也是极值点，从而判断B；f(x)图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题13.【答案】28【解析】解：(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8ryr，当r=6时，T7=C86x2y6，当r=5时，T6=C85x3y5，(1yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86C85=8!6!2!8!5!3!=2856=28故答案为：28由题意依次求出(x+y)8中x2y6，

12、x3y5项的系数，求和即可本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】x=1(填3x+4y5=0，7x24y25=0都正确)【解析】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r1=1，圆(x3)2+(y4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r2=4，如图： |OC|=r1+r2，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条kOC=43，l1的斜率为34，设直线l1：y=34x+b，即3x+4y4b=0，由|4b|5=1，解得b=54(负值舍去)，则l1：3x+4y5=0；由图可知，l2：x=1；l2与l3关于直线y=43x对称，联立x=1y=43x，解得l2与

13、l3的一个交点为(1,43)，在l2上取一点(1,0)，该点关于y=43x的对称点为(x0,y0)，则y02=43x012y0 x0+1=34，解得对称点为(725,2425). kl3=2425+43725+1=724，则l3：y=724(x+1)43，即7x24y25=0与圆x2+y2=1和(x3)2+(y4)2=16都相切的一条直线的方程为：x=1(填3x+4y5=0，7x24y25=0都正确)故答案为：x=1(填3x+4y5=0，7x24y25=0都正确)由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条分别求出三条切线方程，则答案可求本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与

14、圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题15.【答案】(,4)(0,+)【解析】解：y=ex+(x+a)ex，设切点坐标为(x0,(x0+a)ex0)，切线的斜率k=ex0+(x0+a)ex0，切线方程为y(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(xx0)，又切线过原点，(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(x0)，整理得：x02+ax0a=0，切线存在两条，方程有两个不等实根，=a2+4a0，解得a0，即a的取值范围是(,4)(0,+)，故答案为：(,4)(0,+)设切点坐标为(x0,(x0+a)ex0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得

15、x02+ax0a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由0即可求出a的取值范围本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题16.【答案】13【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，AF1F2为等边三角形，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，kDE=tan30=33，由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，设直线DE方程为y=33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8

16、cx32c2=0，由韦达定理可得，x1+x2=8c13，x1x2=32c213，|DE|=k2+1|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=13+1(8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由椭圆的定义可得，ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8138=13故答案为：13根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题17.【答案】解：(1)已知a1=1，Snan是公差为13的等差数列，所以Snan=1+13(n1

17、)=13n+23，整理得Sn=13nan+23an，故当n2时，Sn1=13(n1)an1+23an1，得：13an=13nan13nan113an1，故(n1)an=(n+1)an1，化简得：anan1=n+1n1，an1an2=nn2，a3a2=42，a2a1=31；所以ana1=n(n+1)2，故an=n(n+1)2(首项符合通项)所以an=n(n+1)2证明：(2)由于an=n(n+1)2，所以1an=2n(n+1)=2(1n1n+1)，所以1a1+1a2+.+1an=2(112+1213+.+1n1n+1)=2(11n+1)2【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项

18、公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题18.【答案】解：(1)cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，cos(B+A)=sinB，cosC=sinB，C=23，sinB=12，0B0，cosC0，C(2,)，C为钝角，B，A都为锐角，B=C2sinA=si

19、n(B+C)=sin(2C2)=cos2C，a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=(12sin2C)2+(1sin2C)sin2C=2+4sin4C5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C52245=425，当且仅当sinC=142时取等号a2+b2c2的最小值为425【解析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B(2)利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案

20、】解：(1)由直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，可得VA1ABC=13VA1B1C1ABC=43，设A到平面A1BC的距离为d，由VA1ABC=VAA1BC，13SA1BCd=43，1322d=43，解得d=2(2)由直三棱柱ABCA1B1C1知BB1平面ABC，所以平面ABC平面ABB1A1，又平面A1BC平面ABB1A1，又平面ABC平面A1BC=BC，所以BC平面ABB1A1，BCA1B，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， AA1=AB，BC2AB12=22，又12ABBCAA1=4，解得AB=BC=AA1=2，则B(0,0,0

21、)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，D(1,1,1)，则BA=(0,2,0)，BD=(1,1,1)，BC=(2,0,0)，设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z)，则nBA=2y=0nBD=x+y+z=0，令x=1，则y=0，z=1，平面ABD的一个法向量为n=(1,0,1)，设平面BCD的一个法向量为m=(a,b,c)，mBC=2a=0mBD=a+b+c=0，令b=1，则a=0，c=1，平面BCD的一个法向量为m=(0,1,1)，cos=122=12，二面角ABDC的正弦值为1(12)2=32【解析】(1)利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；(2)以B为坐标原

22、点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角ABDC的正弦值本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题20.【答案】解：(1)补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2=200(40901060)210010050150=246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异(2)(i)证明：R=P(B|A)P(B|A)：P(B|A)P(B|A)=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB

23、)P(A)=P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；()利用调查数据，P(A|B)=40100=25，P(A|B)=10100=110，P(A|B)=1P(A|B)=35，P(A|B)=1P(A|B)=910，所以R=2535910110=6【解析】(1)补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论(2)(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；()利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题21

24、.【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a21a21=1，化简得a44a2+4=0，a2=2，故双曲线方程为x22y2=1，由题显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，设P(x1,y1)Q(x2,y2)，则联立双曲线得：(2k21)x2+4kmx+2m2+2=0，故x1+x2=4km2k21，x1x2=2m2+22k21，kAP+kAQ=y11x12+y21x22=kx1+m1x12+kx2+m1x22=0，化简得：2kx1x2+(m12k)(x1+x2)4(m1)=0，故2k(2m2+2)2k21+(m12k)(4km2k21)4(m1)=0，即(k+1)(m+2k1)=0，而直线l不

25、过A点，故k=1；(2)设直线AP的倾斜角为，由tanPAQ=22，2tanPAQ21tan2PAQ2=22，得tanPAQ2=22，由2+PAQ=，=PAQ2，得kAP=tan=2，即y11x12=2，联立y11x12=2，及x122y12=1得x1=10423,y1=4253，代入直线l得m=53，故x1+x2=203,x1x2=689，而|AP|=3|x12|,|AQ|=3|x22|，由tanPAQ=22，得sinPAQ=223，故SPAQ=12|AP|AQ|sinPAQ=2|x1x22(x1+x2)+4|=1629【解析】(1)将点A代入双曲线方程得x22y2=1，由题显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；(2)设直线AP的倾斜角为，由tanPAQ=22，得tanPAQ2=22，联立y11x12=2，及x122y12=1，根据三角形面积公式即可求解本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题22.【答案】(1)解：f(x)=exax，g(x)=axlnx，f(x)=exa，g(x)=a1x，y=ex在xR上单调