专题04 二次函数与平行四边形存在性问题-2018中考数学二次函数压轴试题分类精析

1、专题4二次函数中平行四边形的存在性问题一、解决此类题目的基本步骤与思路先分类，（按照边和对角线进行分类）画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质）二、针对于计算的方法选择全等三角形抓住对应边对应角的相等在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式平行四边形的对应边相等列相关的等式利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系XA+XC=XB+XDYa+YC=Yb+YD（利用P是中点，以及中点坐标公式）xl+x2yl+y2A（X,y）、B（x2，y2）,那么AB中点坐标就是（,2）注意事项：1简单的直角三角形可以直接利用底乘

2、高进行面积的表示2复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。二次函数中平行四边形的存在性问题（一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸-再藍+&与x轴、y轴的交点分别为A、B,将ZOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【解析】（1

3、）点A的坐标是纵坐标为0得横坐标为8,所以点A的坐标为（8,0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是ZABO的角平分线，所以OC=CH,BH=OB=6。.AB=10,AH=4，设OC=x，则AC=8-x,由勾股定理得：x=3,：点C的坐标为（3,0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；解答：（1）点C的坐标为（3,0）.（1分）点A、B的坐标分别为A（8,0）,B（0,6）,可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-

4、8）.将x=0,y=6代入抛物线的解析式，得且=寺.过A、B、C三点的抛物线的解析式为产片/一普m+6（2）可得抛物线的对称轴为直线弓，顶点D的坐标为（号，-彳!）设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y=-2x+6.设点P的坐标为（x,-2x+6）.解法一：如图，作OPAD交直线BC于点P,连接AP,作PM丄x轴于点M.7op#ad，azpom=zgad，tanZPOM=tanZGAD.AS=，即-2x+6解得经检验是原方程的解此时点P的坐标为（学，但此时0M斗，GA=|,OMVGA.T0P二rsIpom，怔二ZPOM=ZGAD,AOP|+6二1尹晋，点P不在直线BC上.直线B

5、C上不存在符合条件的点P.【试题精炼】如图，已知抛物线y=-X2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.抛物线及直线AC的函数关系式；若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；21【解析】：本题主要考查二次函数的应用。利用待定系数法，以及点A(-1,O),C(2,3)即可求得二次函数解析式、一次函数解析式。根据题意进行分类讨论：当点E在线段AC上时，点F在点的E上方，则F(x,x+3),根据题意可求得E的坐标

6、；点E在线段AC(或)延长线上时，点F在点E的下方，则点F的坐标为(x,x-l),然后利用二次函数图象上点的坐标特征可求得点E的坐标。解答：(1)由题意可知，点A,C坐标分别代入抛物线解析式解得b=2，c=3.又因为A,C在直线上，设y=kx+b，解得k=1，n=1所以直线解析式为y=x+1(2)由(1)、(2)得点D的坐标为(1,4),点B的横坐标与点D的横坐标相同，且点B在直线AC上，将其代入y=x+1，可得y=2。故点B的坐标为(1,2),因为点E在直线AC上，设点E的坐标为(x,x+1)。如图2所示，当点E在线段AC上时，点F在点E的上方，则点F的坐标为(x,x+3),因为点F在抛物线

7、上，所以x+3=-x2+2x+3,解得x=0或x=1(舍去)，所以点E的坐标为(0,1)当点E在线段AC延长线上时，则点F的坐标为(x,x-1),点F在点E的下方，因为F在抛物线上，所以TOC o 1-5 h z1-171+17x-1=-x2+2x+3,解得x=或x=2, HYPERLINK l bookmark22 1-173-171+/173+17所以综上所述，点的坐标点E的坐标为(0,1)或者(2,2),(22)【中考链接】如图，已知与x轴交于点A(l,0)和B(5,0)的抛物线l的顶点为C(3,4),抛物线l与l关于x轴121对称，顶点为C.求抛物线l的函数关系式；2已知原点O,定点D

8、(0,4),l上的点P与l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D,O,P,P为顶点的四边形是平行四边形?【解析】(“利用直线1的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出鼻的值：过点M作ME丄y轴于点E,交怔于点D,所以AABM的面积为yDN-OB,设M的坐标为(叫-m2+2m+3),用含m的式子表示DM；然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最犬值，其中m的取值范围是0m3j解答：(1)由题意知点c的坐标为(3,-4).设l的函数关系式为y=a(x-3)2-42又.点A(l,0)在抛物线y=a(x-3)2-4上，.(I3)2a-4=0，解得a=1抛物线1的函

9、数关系式为y=(x3)2-4(或y=x2-6x+5).2(2)P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行.设点P的横坐标为m,则其纵坐标为m26m+5,OD=4，:2m26m+5=4，即m26m+5=2.当m2-6m+5=2时，解得m=3.当m2-6m+5=-2时，解得m=3J2.当点P运动到(3-、：62)或(3+、；62)或(3-、2,-2)或(3+.2-2)时，PP丝OD，以点D,O,P,P为顶点的四边形是平行四边形.【巩固练习】.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，

10、翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC,BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;点P为曲线M或曲线N上的一个动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标.【解析】：本题主要考查二次函数的应用、和平行四边形。由已知抛物线可求得顶点坐标，进而求得曲线N所在抛物线顶点坐标，进而再利用顶点式可求得曲线N的解析式。过点C作直线lx轴，交曲线M或N于点P,所以l：y=3,考虑两种情况：点P位于曲线M上和点P位于曲线N上，分别联立曲线M和直线l的方程或曲线N和直线l的方程，求出点P的坐标，再根据平行四边形的性质，即可求出点Q的坐标。解答：因为可化为尸(k-1)所以抛物线的顶点坐标为(1,-4),H口向上，所以.曲线N所在抛物线顶点坐标为1,4,幵口向下，故曲线N所在抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)即y=-K2+2K+3o(2)过点C作直线lx轴，交曲线M或N于点P,所以l：y=3o当点P位于曲线M上时，由x2-2x-3=3,解得xJ+i，x2=-JJ1,所以CP=/+1，或CP-1因为以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，所以CPBQ且CP=BQ,所以Q(4+,0),Q(4-,0),Q(2+。,0),Q(4*,0)