高中数学选修1-1配北师版-课后习题第二章测评

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为()A.3B.23C.5D.25答案B解析由题意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=a2-b2=4-1=3,所以2c=23.故选B.2.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当|PA|-|PB|=|AB|时,点P的

2、轨迹是一条射线,故甲乙,而乙甲,故选B.3.已知椭圆与双曲线x23y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为()A.x220+y225=1B.x225+y220=1C.x225+y25=1D.x25+y225=1答案B解析双曲线x23y22=1中,a12=3,b12=2,则c1=a12+b12=5,故焦点坐标为(-5,0),(5,0),故所求椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的c=5,又椭圆的离心率e=ca=15,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为x225+y220=1.4.已知双曲线C:x2a2y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在双曲线C

3、的渐近线上,则双曲线C的方程为()A.x220y25=1B.x25y220=1C.x280y220=1D.x220y280=1答案A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.x2a2y2b2=1的焦距为10,c=5=a2+b2.又双曲线渐近线方程为y=bax,且P(2,1)在渐近线上,2ba=1,即a=2b.由解得a=25,b=5,故选A.5.双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线与抛物线M:y2=4x的一个交点为P(异于坐标原点O),抛物线M的焦点为F,则OFP的面积为()A.233B.433C.23D.43答案A解析双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线方程为y=3x,与抛物线M:y2=

4、4x的一个交点为P,将y=3x代入抛物线方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=43,所以P43,433,又抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则OFP的面积为S=121433=233.故选A.6.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.x236y2108=1B.x29y227=1C.x2108y236=1D.x227y29=1答案B解析抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中c=6.由双曲线x2a2y2b2=1的一条渐近线方程为y=3x,知ba=3,且c2=a2+b2.由解得a2

5、=9,b2=27.故双曲线的方程为x29y227=1,故选B.7.P是长轴在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2答案D解析由椭圆的几何性质得|PF1|a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值与最小值之差

6、为a2-b2=c2.8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,交抛物线C的准线于点Q,若|QF|2=2|AF|BF|,则直线l斜率的绝对值为()A.2B.3C.2D.33答案C解析由题意得F(2,0),直线l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+8)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=2+8k2,由抛物线定义得|AF|BF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=9+16k2,又因为Q(-2,-3k),所以|QF|2=42+(-3k)2=

7、16+9k2,由|QF|2=2|AF|BF|,得16+9k2=29+16k2,解得|k|=2,此时0,符合题意,所以|k|=2.故选C.9.设双曲线x2a2y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.5答案D解析双曲线x2a2y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax,由方程组y=bax,y=x2+1消去y,得x2-bax+1=0有唯一解,所以=ba2-4=0,所以ba=2,所以e=ca=a2+b2a=1+ba2=5,故选D.10.直线y=k(x-1)与椭圆C:x24+y22=1交于不同的两点M,N,椭圆x24+y22=1的一个顶点

8、为A(2,0),当AMN的面积为103时,则k的值为()A.2B.3C.1D.5答案C解析直线y=k(x-1)与椭圆C联立y=k(x-1),x24+y22=1消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=|k|1+k2,AMN的面积S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2.AMN的面积为103,|k|4+6k21+2k2=103,k=1,故选C.1

9、1.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60方向23 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+3)a万元B.(23+1)a万元C.5a万元D.6a万元答案C解析本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可.B地在A地北偏东60方向23 km处,B到点A的水平距离为3 km,B到直线

10、L的距离为3+2=5(km),那么,修建这两条公路的总费用最低为5a万元,故选C.12.设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A解析由题意,可知当点M为短轴的端点时,AMB最大.当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan 60=3,即3m3,解得03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan 60=3,即m33,解得m9,综上m的取值范围为(0,19,+),故选A.

11、二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案2解析由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.14.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点b2,0分成31的两段,则此椭圆的离心率为.答案22解析由题意,得b2+cc-b2=3,即b2+c=3c-32b,得b=c,因此e=ca=c2a2=c2b2+c2=12=22.15.已知双曲线E:x2a2y2b2=1(a0,b0)与抛物线C:y2=2px(p0)有共同的一个焦点,过双曲线E的左焦点

12、且与抛物线C相切的直线恰与双曲线E的一条渐近线平行,则E的离心率为.答案2解析因为抛物线与双曲线共焦点,所以c=p2,p=2c,抛物线方程为y2=4cx,设双曲线的左焦点为F1,F1(-c,0),过F1与一条渐近线y=bax平行的直线方程为y=ba(x+c),由y2=4cx,y=ba(x+c)得by2-4acy+4bc2=0,所以=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,从而c=a2+b2=2a,离心率为e=ca=2.16.以下四个关于圆锥曲线的命题:设A,B为两个定点,k为非零常数,|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=1

13、2(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;双曲线x225y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点.其中正确命题的序号是.答案解析双曲线的定义是:平面上与两个定点A,B的距离的差的绝对值为常数2a,且02a0,b0),又双曲线过点(0,2),c=5,a=2,b2=c2-a2=25-4=21,双曲线的标准方程是y24x221=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e=ca=52,渐近线方程是y=22121x.18.(本小题满分12分)若已知椭圆x210+y2m=1与双曲线x2-y2b=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P103,y,求

14、椭圆及双曲线的方程.解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得10-m=1+b,即m=9-b,由点P103,y在椭圆、双曲线上,得y2=89m,y2=b9,解由组成的方程组得m=1,b=8,椭圆方程为x210+y2=1,双曲线方程为x2-y28=1.19.(本小题满分12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2 NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=

15、2 NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=0,即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在

16、x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.(1)解设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m),直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m

17、),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.21.(本小题满分12分)已知椭圆C1:x24+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=2OA,求直线AB的方程.解(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2+x24=1(a2),其离心率为32,故a2-4a=32,解得a=4.故椭圆C2的方

18、程为y216+x24=1.(2)设A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以xA2=41+4k2.将y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,所以xB2=164+k2.又由OB=2OA,得xB2=4xA2,即164+k2=161+4k2,解得k=1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,离心率为22,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线通过点0,-12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求A