高中数学选修2-1配北师版-课后习题Word版-模块复习课第2课时　利用空间向量解决空间问题

1、第2课时利用空间向量解决空间问题课后篇巩固提升A组1.若平面,的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则()A.B.C.与斜交D.以上均正确答案C2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是()A.重合B.垂直C.平行D.无法确定答案B3.ABCD是直角梯形,ABC=90,SA垂直于面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则SC与平面ABCD所成角的余弦值为()A.63B.12C.33D.32答案A4.在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平

2、面SCD与平面SAB夹角的余弦值为()A.33B.63C.64D.22答案B5.已知四面体的顶点A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7)和D(-5,-4,8),则顶点D到平面ABC的距离为.答案116.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.(1)证明:PFFD;(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG平面PED.(1)证明PA平面ABCD,BAD=90,AB=1,AD=2,如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).不妨令P

3、(0,0,t),PF=(1,1,-t),DF=(1,-1,0),PFDF=11+1(-1)+(-t)0=0,PFDF,即PFFD.(2)解设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),由nPF=0,nDF=0,得x+y-tz=0,x-y=0,令z=1,解得x=y=t2,n=t2,t2,1.设点G的坐标为(0,0,m),又E12,0,0,则EG=-12,0,m.要使EG平面PFD,只需EGn=0,即-12t2+0t2+m1=0,即m-t4=0,解得m=14t,从而满足AG=14AP的点G即为所求.7.如图,已知DA平面ABC,ACCB,AC=CB=AD=2,E是DC的中点,F是AB的中点.(1)证明

4、:ACEF;(2)求平面ABD与平面BCD夹角的正切值;(3)求点A到平面BCD的距离.(1)证明如图,以A为原点,建立空间直角坐标系(y轴CB),则A(0,0,0),D(0,0,2),B(2,2,0),C(2,0,0),从而E(1,0,1),F(1,1,0).所以AC=(2,0,0),EF=(0,1,-1),所以ACEF=20+01+0(-1)=0,所以ACEF,因此ACEF.(2)解连接AE.因为AC=CB,且F为AB的中点,所以CFAB.因为DA平面ABC,所以ADCF.又ABAD=A,从而CF平面ABD,故FC=(1,-1,0)为平面ABD的法向量.在ADC中,因为AD=AC,E为CD

5、的中点,所以AECD.因为DA平面ABC,所以ADBC.又ACBC,所以BC平面ACD.因为AE平面ACD,所以AEBC.又BCCD=C,所以AE平面BCD,故AE=(1,0,1)为平面BCD的一个法向量.所以cos=AEFC|AE|FC|=122=12.故平面ABD与平面BCD夹角的正切值为3.(3)解因为AE为平面BCD的法向量,且AE=(1,0,1),所以点A到平面BCD的距离d=2.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线A1C1与AB1间的距离.解如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1

6、(0,1,1),AB1=(0,1,1),A1C1=(-1,1,0),设MN是异面直线A1C1与AB1的公垂线段,且AN=AB1=(0,),A1M=A1C1=(-,0),则MN=MA1+A1A+AN=-(-,0)+(0,0,-1)+(0,)=(,-,-1).又由MNA1C1=0,MNAB1=0,即-2=0,2-=1=23,=13,MN=13,13,-13,|MN|=33,异面直线A1C1与AB1间的距离为33.B组1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63答案D2.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=

7、PC=a,则点P到平面ABC的距离为()A.63aB.33aC.a3D.6a答案B3.如图,若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1间的距离为()A.2B.3C.23D.33答案D4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方形BCC1B1内及其边界上运动,并且总保持B1P平面A1BD,则动点P的轨迹的长度是.答案25.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED平面A1FD1;(2)在平面AE上是否存在一点M,使得A1M平面AED?(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的

8、棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).DA=D1A1=(2,0,0),DE=(2,2,1),D1F=(0,1,-2).设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1DA=(x1,y1,z1)(2,0,0)=0,n1DE=(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,得2x1=0,2x1+2y1+z1=0,令y1=1,得n1=(0,1,-2).同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1).n1n2=(0,1,-2)(0,2,1)=0,n1n2,平面AED平面A1FD1.(2)解设存在点M在直

9、线AE上,则可设AM=AE=(0,2,1)=(0,2,),则M(2,2,),A1M=(0,2,-2).要使A1M平面AED,只需A1MAE,即A1MAE=(0,2,-2)(0,2,1)=5-2=0,解得=25.故当AM=25AE时,A1M平面AED.直线 AE上存在一点M,使A1M平面AED.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)求证D1EA1D;(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离;(3)AE等于何值时,平面D1EC与平面DEC夹角为4?(1)证明如图,以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直

10、角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).DA1D1E=(1,0,1)(1,x,-1)=0,DA1D1E,即DA1D1E.(2)解E为AB的中点,则E(1,1,0),D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1).设平面ACD1的法向量为m=(a,b,c),mAC=0,mAD1=0,即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c.取m=(2,1,2),点E到平面AD1C的距离为h=|D1Em|m|=2+1-23=13.(3)设平面D1EC的法向量n=(a,b,c),由(1)知CE=(1,

11、x-2,0),D1C=(0,2,-1),DD1=(0,0,1).由nD1C=0,nCE=0,得2b-c=0,a+b(x-2)=0.令b=1,c=2,a=2-x,n=(2-x,1,2),DD1是平面DEC的一个法向量,cos4=|nDD1|n|DD1|=22,2(x-2)2+5=22.x1=2+3(不合题意,舍去),x2=2-3,AE=2-3时,平面D1EC与平面DEC夹角为4.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,求:(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值;(2)平面CAE与平面FAE夹角的余弦值.解不妨设正方体的棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2).(1)由AE=(-1,0,2),CF=(1,-1,2),得|AE|=5,|CF|=6,AECF=-1+0+4=3,又AECF=|AE|CF|cos=30cos,cos=3010,即所求值为3010.(2)EF=(0,1,0),AEEF=(-1,0,2)(0,1,0)=0,AEEF,过C作CMAE于M,则二面角C-AE-F的平面