高中数学选修2-2配人教A版-课后习题word-第一章　导数及其应用习题课-导数运算及几何意义的综合问题

1、习题课导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升1.曲线y=x+3x在下列哪个点处的切线的倾斜角最大()A.2,72B.(3,23)C.(3,4)D.(-1,-4)解析由题意知,y=1-3x2,当x=2,3,3,-1时,导数y的值分别为14,0,23,-2,因此由导数的几何意义,只有点(-1,-4)处的切线的斜率小于0,故其倾斜角最大.答案D2.已知函数f(x)=x+sin x+1,其导函数记为f(x),则f(2 021)+f(2 021)+f(-2 021)-f(-2 021)=()A.2 021B.2C.1D.0解析因为f(x)=1+cos x,所以f(x)为偶函数,所以f(2 021)-

2、f(-2 021)=f(2 021)-f(2 021)=0,所以原式等价于f(2 021)+f(-2 021)=2 021+sin 2 021+1+(-2 021-sin 2 021+1)=2.故选B.答案B3.函数y=e2x-4在点x=2处的切线方程为()A.2x-y-3=0B.2x+y-3=0C.ex-y-2e+1=0D.ex+y+2e-1=0解析因为y=e2x-4,求导得y=2e2x-4,则当x=2时,y=2e0=2,所以切线的斜率为2.又当x=2时,y=e2x-4=e0=1,所以切点为(2,1).所以切线方程为2x-y-3=0.故选A.答案A4.曲线y=2xln x在x=e处的切线与坐

3、标轴围成的三角形的面积为()A.e24B.e22C.e2D.2e2解析y=2xln x,y=2ln x+2x1x=2ln x+2,所以y|x=e=2+2=4,当x=e时,y=2e,所以切线方程为y-2e=4(x-e),即y=4x-2e,此直线与x轴、y轴交点坐标分别为e2,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三角形面积是S=12e22e=e22.故选B.答案B5.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a的值为()A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或7解析设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x03),则

4、切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,代入以上方程得x0=0或x0=32.当x0=0时,直线方程为y=0.由y=0与y=ax2+154x-9相切可得a=-2564.当x0=32时,直线方程为y=274x-274.由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切可得a=-1.答案A6.已知函数f(x)=13x3-4x,x0,-1x-lnx,0 x1,若f(a)=12,则实数a的值等于.解析由已知得f(x)=x2-4,x0,1-xx2,0 x1,所以a0,a2-4=12或0abc),试证明方程f(x)=0必有两个实数根.证明f(x)=(

5、x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)(x-b)(x-c),f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b).令g(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c),abc,g(a)=(a-b)(a-c)0,g(b)=(b-a)(b-c)0,根据函数零点的性质知,函数g(x)在区间(b,a)和(c,b)内各有一个零点,故原方程有两个实数根,且一个大于b,另一个小于b.9.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.解y=x2+1,y=2x.设切点为(t,t2+1),则切线斜率为y|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t).将(1,a)代入切线方程,得a-(t2+1)=2t(1-t),即