测量误差与实验数据处理mnust2012春

1、MNUSTSHISHI CHINA测量误差与实验数据处理2011物理课程组1一.测量与误差 测量 直接测量：用仪器直接将待测量与选定的同类单位量进行比较，即直接在仪器上读出待测量的值。 间接测量：由若干直接测得量通过一定的函数关系（公式、定律）进行计算从而求出待测量。 例如，直接测出摆长 l 及周期 T ，通过公式1 测量与误差 测量：将被测量与选定的同类单位量进行比较。求出重力加速度 。 等精度测量：同一条件下，对同一物理量的多次测量 若测量条件发生变化则为不等精度测量。 我们所讨论的测量均为等精度测量。2 测量的误差误差定义：测量值(x)与真值(X)之差，用 表示 又称绝对误差。相对误差：

2、绝对误差与真值的比，用 表示，即 按产生的原因和性质，测量误差分为两类： 系统误差：公式与定律不严格；仪器本身的缺陷；实验者自身的不良习惯等原因引起的有一定规律的误差。 随机(偶然)误差：由许多不稳定的偶然因素产生的。 随机误差服从一定的统计规律，测量次数足够多，其平均测量结果总是在真值附近。 例如，测量环境温度、气压的偶然变化，电流或电压的起伏波动等因素。 3 理论与实践都表明，一组等精度测量数据的随机误差服从一定的统计分布规律，最常见的统计规律是正态(高斯)分布，如图所示。横坐标为x，纵坐标为二. 误差的处理 系统误差的处理 可以通过修正公式或定律，选择或改进仪器，纠正不良习惯等来消除或减

3、小系统误差。 用仪器测量物理量总有误差存在，要使测量更精确，就得设法减少、消除或修正测量误差。 随机误差的统计规律 随机误差的处理误差出现的概率密度 。4 图中阴影部分的面积是测量列的概率，大小约为 68.3%。 中的任一测量值落在区间中 是测量无限次时的标准误差。由于实际测量只能是有限次，而且被测量的真值也不可能准确知道，因此这一标准误差公式只具有理论意义。测量列 的标准误差5 随机误差的实际估算其真值的最优估计值是它们的算术平均值 单次测量值 xi 与算术平均值 之差称为该次测量的偏差（或残差）设一组n次的测量值为 偏差是测量值与有限次等精度测量的算术平均值之间的差值，偏差与误差不同，实际

4、误差估算使用偏差。测量列 标准误差的估计值称为标准偏差贝塞尔公式 测量列中任一测量值的标准偏差。6 算术平均值 的标准偏差 按统计理论，算术平均值 比每一测量值都更接近真值，算术平均值的标准偏差 表示在 范围内包含真值X的概率为68.3%。物理实验中，将用 作为测量结果随机误差的估计值。72-2 测量不确定度简介 测量不但要得到被测量的最佳估计值，而且要对其可靠性作出评价。 不确定度是与测量结果联系在一起的一种参数，用来表示因测量误差的存在而对测量结果不能肯定的程度。 不确定度是指被测物理量的真值以一定的概率落在某一量值范围的综合误差指标。 误差与不确定度的区别： 误差测量值与真值之差。 估算

5、的标准偏差并不能表示测量结果的误差，只是表示测量结果的不确定性。 不确定度是可观测量，误差是不可观测量。8一. 测量不确定度的分类 测量不确定度按评定方法的不同分为两大类1. 不确定度A类分量uA 凡可以通过统计方法计算得出的不确定度称为A类不确定度，用uA表示。 约定：物理实验中，A类不确定度取测量列平均值的标准偏差，即2. 不确定度B类分量uB 凡不能用统计方法计算，只能通过其他方法估算的不确定度称为B类不确定度，用uB表示。约定：B类不确定度是将测量仪器的误差限（可能的最大误差） 折合成等价的标准偏差。即9 例如，0.5级mA表的量程为10mA时，仪器的误差限为 未注明仪器误差限或误差限

6、不清楚，则按如下规定： 能连续读数，取最小分度的一半作为仪器的误差限，如米尺、螺旋测微计、读数显微镜等； 不能连续读数或指针跳跃式移动的仪器，其最小分度为仪器误差限，如机械秒表、数字仪表等。 仪器的误差限一般通过两种方式注明： 仪器上直接标出或用准确度表示。如50分度的游标卡尺的分度值为0.02mm，其 ； 给出仪器的准确度级别，然后算出 。如常用电学指针式仪表所用量程为A，准确度等级为K，则10仪器备注 米尺（最小刻度1mm）0.5mm 游标卡尺（20，50分度）最小分度值（0.05mm;0.02mm） 螺旋测微计（0-50mm）0.004mm物理天平（0.1 g ）0.05g各类数字仪表仪

7、器最小读数分光计最小分度值（ ）磁电仪表（指针式）AK%A-量程，K-等级表2-1 仪器误差限11二. 合成不确定度与相对不确定度 不确定度的合成误差的方法是“方和根”合成法。 若两类不确定度分量uA1, uA2, uAi, uB1, uB2 , uBi彼此独立，则合成不确定度相对不确定度 12三. 直接测量的不确定度1. 单次测量的不确定度A类分量uA 单次测量的合成不确定度即不确定度B类分量2. 多次测量的不确定度 多次等精度测量列平均值的合成不确定度由不确定度A类分量uA和不确定度B类分量uB的方和根给出，即式中13 例2-1（P.13）用螺旋测微计测小球直径，5次测量值为5.499，5

8、.500，5.499，5.498，5.498 (mm) ，求其合成不确定度。解：小球直径测量列的算术平均值A类分量B类分量合成取不确定度结果14三. 间接测量的不确定度 间接被测量的算术平均值与合成不确定度由直接测量结果通过函数式计算给出。设间接被测量的函数式为其中则N的算术平均值 间接被测量N的算术平均值的不确定度 间接被测量N的算术平均值的相对不确定度15 若间接被测量的函数式以和差运算为主，则先计算 若间接被测量的函数式以乘除运算为主，则先计算，后计算 比较方便；，后计算 比较方便。求 可用下列算式：则间接被测量N的算术平均值的不确定度16如：1. 为和差关系 其中解：则17如：2. 为

9、乘除关系解：对 两边取对数，得其中则18 例2-2 (P.14) 用螺旋测微计测圆柱体的体积，其直径的算术平均值 ，其不确定度 ； 高度的算术平均值 ，不确定度 。 求体积的不确定度（单位：cm）。解：函数关系为 ，则有19代入数据得取不确定度结果20函数式不确定度传递公式表2-2 常用函数的不确定度传递公式212-3 有效数字运算及其运算法则 用检测仪器直接测量的数值都会有一定误差，由这些数据通过计算获得的间接测量值也不是准确值。 为正确记录实验测量结果和数值计算结果，反应真实的准确程度，了解误差的传递规律，确定适当的数据记录和计算规则是必要的。 有效数字及其运算规则，给出了测量与计算数据的

10、正确方法，也给出了反应测量与计算结果精确程度的科学表述方法。22一. 有效数字的基本概念 有效数字：物理量值中的全部可靠数字和一位可疑数字组成该量值的有效数字。 按有效数字规则，测量值只保留一位可疑数字。 例如：用米尺（最小刻度为mm）量得粉笔长度“7”和“2”是最小刻度以上的读数，是可靠 (准确) 数字；“5”是最小刻度以下估读的数字，是可疑 (欠准确) 数字。 尽管可疑数字并不准确，但它在一定程度上反映了物理量大小和精确程度，是有意义的，是有效的。 不能估读的仪器，则末位为可疑数字。如秒表、数字仪表、卡尺等。23例如： 例如：50.20cm是4位有效数字。它与50.2cm是不相等的，因为它

11、们有效数字不等，精度不等。 有效数字的位数与小数点及单位换算无关。都是3位有效数字。 50.2cm是用最小刻度为cm的尺测量的。 例如：粉笔的长度 L = 0.0725m（SI单位）。仍是3位有效数字，左边的“0”只起到定位的作用。 量值中间的“0”和右边的“0”是有效数字。 按有效数字规则，量值左边的“0”不是有效数字。24二. 有效数字尾数取舍规则 拟舍去数字的最左一位数字小于5时，法则舍去，即保留的各位数字不变。 例如：4.83499mm 保留3位有效数字时为4.83mm； 拟舍去数字的最左一位数字大于5时；或者是5，而其后跟有并非全0的数字时，则进1，即保留的末位数字加1。 拟舍去数字

12、的最左一位数字为5；而右边无数字或皆为0时，若所保留的末位数为奇数，则进1，为偶数，则舍弃。 例如：6.745001mm保留3位有效数字时为6.75mm。 例如：6.73500mm保留3位有效数字时为6.74mm。 例如：6.70500mm保留3位有效数字时为6.70mm。 不确定度的位数取舍按“进一法”，即非0则进1。25三. 有效数字的运算法则 用实验仪器间接测量的数据存在误差，用这些数据通过计算所得的间接测量数据的误差一定不会变小。 因此，有效数字的运算规则对间接测量数据的精度至关重要。 有效数字运算的结果且保留最后一位可疑数； 可疑数字与可疑数字运算后为可疑数字，但进位数为可靠数； 可

13、疑数字与可靠数字运算后为可疑数字； 可靠数字与可靠数字运算后为可靠数字；有效数字运算的约定原则：26例如：1. 加减法 加减时，结果的有效数字按各数中最大可疑数位保留一位可疑数字（式中红色数字，下同）。例如：2. 乘法例如： 两个量乘积的有效数字一般与两因子中有效数字较少的相同。 如果它们的最高位或等于10，积的有效数字比两因子中较少的多取一位。273. 除法 两个量相除，如果被除数的有效数字多于除数，则商的有效数字位数与除数相同。 如果被除数的有效数字不多于除数，且最高位小于除数的最高位，则商的有效数字比被除数少一位。 如果被除数的有效数字不多于除数，但最高位不小于除数的最高位，则商的有效数

14、字与被除数相同。例如：例如：例如：4. 乘方与开方 乘方按乘法规则。开方结果的有效数字位数与底数相同。例如：285. 函数运算 对数 结果中小数点后面的有效数字位数与真数的位数相同。例如： 指数 幂的有效数字的位数与指数小数点后的位数相同。例如：例如： 三角函数 角度精确到1 时，结果保留四位有效数字； 角度精确到1” 时，结果保留五位有效数字。 常数的有效数字的位数一般比测量值多保留一位。6. 常数的有效数字不影响运算结果292-4 实验数据的处理方法 依据物理实验的具体内容，包括实验所遵从的定理、定律或实验规律，实验数据的结构和特点，实验的目的和要求等，选用适当的数据处理方法，是实验的重要

15、一步。 常用的数据处理方法包括：平均值法、逐差法、最小二乘法、列表法和作图法等。一. 列表法 设计适当的表格，把被测量和测量的数据一一对应地排列在表格中，这就是最基本的列表法。 表格中还可以包括数据处理的中间结果等。 用表格整理的数据简洁明了，便于了解物理量之间的对应关系和测量值的变化情况，容易从排列的数据中发现个别错误。30 曲线是依据若干测量数据点描出的平滑曲线，则作图法具有多次测量取其平均效果的作用。二. 作图法 作图法就是把实验数据用自变量和因变量的关系拟合成直线或曲线，反映物理量间的变化规律或函数关系。 作图法的基本作用：能简便地从曲线中求解结果。 作图可有助发现实验中的测量错误，以

16、便剔除。 通过变量代换，将复杂的函数关系用直线表示 。直线斜率截距31 将作图的有关数据列成完整的表格。作图基本规则： 作图必须用坐标纸，根据需要选择坐标纸 。 坐标纸的大小原则是以不损失实验数据的有效数字和能包括全部实验点作为最低要求，即坐标纸的最小分格与实验数据的最后一位准确数字相当。 标出坐标轴的名称和标度，在坐标轴上表明所代表物理量的名称（或符号）和单位。 在坐标纸上用“”或“”标出测量数据点，并使各测量数据坐落在“”或“”的交叉点上。 用直尺或曲线板把数据点连成直线或光滑曲线 ，应使数据点较匀称地分布在曲线两旁。32三. 逐差法 1. 逐差法的适用条件： 逐差法是一种求测量数据算术平

17、均值的方法。 将等间距测量的n(n为偶数)个数据 和分成前后两组2. 应用方法yb0 + b1x + b2xyb0 + b1x + b2x + b3x 两物理量x，y之间的关系可表达为多项式形式。例如： yb0 + b1x 变量 x 必须是等间距变化，且较因变量 y 有更高的测量准确度。33然后对应项相减得出逐差量则逐差量的算术平均值为即 例. 用受力拉伸法测弹簧的劲度系数k。已知弹性限度内伸长量x与拉力F 满足F = kx关系。现等间距的改变拉力 ，测得一组数据如下表：34表2-5 弹簧受力伸长的测量数据次数拉力F(10-3N)伸长x(10-2m)100.0021.5033.0244.505

18、6.0167.5079.00810.5035 验证 与 的线性关系1.51，1.49，1.50，1.50 (10-2m)。可判断出 基本相等， 用逐差法求弹簧的劲度系数k 将实验数据分成前组（x4, x3, x2, x1）和后组（x8, x7, x6, x5）, 对应项相减后求平均值，可得由于每隔1个数据的拉力为 ，则得 按 逐项相减分别得出1.50，1.52，1.48，与 为线性关系。362-5 实验测量结果的表示 物理量的测量结果由三部分组成，即被测量的算术平均值、不确定度和单位。 测量结果的基本表示格式：一. 直接测量结果的表示1. 单次测量结果的表示格式被测量平均值的不确定度。式中：X测量结果，被测量的算术平均值，2. 多次测量结果的表示格式37二. 间接测量结果的表示 设被测量N与直接测量量的函数关系为测量结果的表示格式为则其算术平均值间接测量量平均值的不确定度函数为自变量乘除运算式时，还可用38三. 测量结果中的有效数字 被测量的最后结果只保留一位可疑数字，而不确定度只