谈多属性效用理论

1、9/10第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)要紧参考文献: 92, 68, 86, 118, 1298.1 优先序 一、二元关系 1.无差异(Indifferent to) 2.(严格)优于(Strict preference to) 3.不劣于(preference of indifference to)能够用定义，： AB AB且BA AB AB且非BA 因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来

2、衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。二、二元关系的种类(用R表示二元关系) 传递性，若xRy, yRz则xRz 自反性reflectivity: xRx 非自反性：(Irreflexivity)非xRx 对称性(Symmetry)若zRy,则yRx 非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx 反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y 连通性(connectivity) completeness, Compar

3、ability 对x, yX xRy 或/和 yRx 任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如， 20.00020.001 20.00120.002 99.999100, 然而20100 连通性在认真验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 然而,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立. 连通性传递性 完全序8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3 X, 是X上的弱序，且 若 ; 若 则 必存在唯一的01使+(1-); 则存在定义在X上的实值函数v，满足 v() v() v() = v()Note: 1. 条件为单调性(Monotonicity), 即支配性

4、(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.2. 条件为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v()=f() f的形式通常十分复杂，即使为线性 v 的形式仍十分复杂.例： , 的价值函数为线性, 即: =k1 =k2 且 k2=1.5k1, 然而 v()()+()因此, 价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数1.定义： 若 v()=, 则称价值函数V()是加性的2.加性价值函数的存在条件定理8.6(P133) (n3)定义在YR上的价值函数 v()=v()对任何 ,”Y ,” iff v()v(”)则属性集满足互相偏好独立条件时当

5、且仅当存在定义在Y, i=1,n 上的实值函数 v使 ”()+ +() (”)+ +(”)3.互相偏好独立的定义：属性集称为互相偏好独立,若的每个非定正常子集偏好独立于其补集(=U)4.属性集的子集偏好独立于其补集的定义(P130定义8.2) 当且仅当：对特定的 若 (,) ( ”,) 则对所有 必有(,) ( ”,) 称属性集的子集偏好独立于其补集.5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)消去条件 对, ,有(,)(,),(,)(,)则必有(,)(,)则称满足消去条件.Thomson条件 将消去条件中的改为.三、其他简单形式 1.拟加性：v()=+ + + () ()条件

6、i=1,2,n弱差独立于其补集 (详见p135,定义8.7)2.乘性(pp136-137)若属性集的每个非室子集弱差独立于其补集, 则v()=+k+ + + () ()8.3多属性效用函数一、二个属性的效用函数后果空间XY，后果(x,y)，设决策人在XY上的偏好满足公理(1)(6)，则可用形如 v(x,y)=(x)+ (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)设决策人关于XY空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了XY上相同的偏好，u(x,y)=(v(x,y). 其中()是保序变换决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 的抽奖能够用期望效用Eu(x

7、,y)= 来衡量其优劣. 二、效用独立(Utility Independence)1.例： : : : : 若效用独立, 则2.定义：若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于Y。效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与Y无关). 更一般的定义见P147，定义8.103.效用独立蕴含偏好独立 (x,)(x,) 对某个 由UI，对任何成立 (x,) (x, )4.引理：X是效用独立于Y的，当且仅当，对固定的 u(x,y)= (y) u(x, ) + (y) (x,y)XY其中(y)0, (y),(y)的确定与有

8、关。同理，Y是效用独立于X的，当且仅当对固定的u(x,y)= (y) u(, y) + (y) (x,y)XY其中(x)0, (x),(x)的确定与有关。5. X、Y相互效用独立定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(,)使u(,)=0 必有 u(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y)即XY相互效用独立且 u(,)=0时，u(x,y)具拟加性. 6.加性条件： 在上述假设下，再附加：对某个,X, ,Y, 且 (,)( ,), (, ) ( ,) 则 u(x,y)= u(x, )+ u(,y)加性独立也能够用另一种方式来表示:属性X、Y是加性独立的，若对所有x,xX,

9、 y,yY 8.定理设u(x,y)是XY上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(,)使u(,)=0 有u(x,y)= u(x, )+ u(,y) 加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件专门难满足。拟加性效用函数的例某人拟度假，他依照两个属性来确定休安排假的优劣 x:每天的日照时数 y:每天的费用在与决策分析人讨论后确定了:a. 他的偏好是相互效用独立的;b. x的边际效用是线性的，日照愈长愈好;c. y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)(8,12) (15,16)(12,8)他面临的度假地有两种选择 A：x=10, y=14 B: y=15 有25%的可能性是x=13, 75%的可能性是x=4他应选择那一地点度假?解: 先选(,).由于需要(,)( ,)在(10,16)(8,12)中，=8, =16 则=10, =12令u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由x边际效用的线性性u(x, 16)=(x-8)/2同样，由y边际效用的线性性以及u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1 可得：u(8,y)=(16-y)/4因此：u(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y) =(x-8)/2 + (16-