上海市黄浦区2018学年度高届高三年级第一学期(1月)期末调研测试数学试题(解析版)

1、黄浦区2018学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；.本试卷共21道试题.一、填空题（本大题共有12题，才f分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在 答题卷的相应位置直接填写结果.1.不等式y 。，b0,若a + b = 4,则J b?的最小值为【答案】【解析】【分析】22利用基本不等式()2,可求.22【详解】0, b0, a+b= 4,则a2+b28,即最小值为 8.当且

2、仅当a=b=2时取得，故答案为：8.a十h r 日之十h?【点睛】本题主要考查了利用基本不等式(?三,求解最值的应用，属于中档题.227.已知三阶行列式,元素目的余子式的值与代数余子式的值之和为【答案】0【解析】【分析】元素8的余子式为：i = 一 6,元素8的代数余子式为：（-1）5/6 = 6,由此能求出元素 8的余子式的值与 4 64 6代数余子式的值之和.1 7 3【详解】.三阶行列式 4 5 6, 7 8 9元素8的余子式为：=- 6,元素8的代数余子式为：（-1）5“： g| = 6,元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为：-6+6=0.故答案为：0.【点睛】本题考查行列式的余子

3、式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.设aER,若卜1m（1卜X），展开式中/的系数为10,则3=.【答案】【解析】【分析】把（1+x） 5按照二项式定理展开，可得x2的系数，再根据x2的系数为10,求得实数a的值.【详解】:（ 2 + 号）（1+x） 5= （2 + -） （1+5x+10 x2+10 x3+5x4+x5）, XX故 x2 的系数为 20+10a=10, a= - 1,故答案为：-1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分

4、别由 6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种.（用数字作答）.【答案】96【解析】排列组合应用问题，弄清题意。从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类，甲为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有乙为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有则有2GA： = 96.，由此能求出2 1IF，又+ （叼一力）+ （%+通）+（曰物十%，1）=1+|；）*+|；/+|；）却3 0-=1 +=1 +13I -4（日），.已知数列7（nWN）,若电=1, %埒+ % =针,则巴吟广 【解析】 【分析】2111由已知

5、推导出%=y-y,电.产若（L-）,从而%=/处 【详解】二.数列4与满足：丐=1, %十4 %(电卜1) + (% 1 %)+(%、J a2n)=；+；r+ TOC o 1-5 h z -=-.3 H 2 J1221皿吆=lim(-;)=-, 心 11no a . 23 32故答案为：-【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题.在边长为I的正六边形向BCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为力，% % % ,若;片与白的夹角记为，其中且则吗j的最大值为（).【解析】 【分析】 由向量的投影的几何意义有：lajcos。u的几何意

6、义为向量 安在向量力方向上的投影，由图可知：在直角三角形 AED中，向量，虹）在向量ae方向上的投影最大，即可得解.【详解】由向量的投影的几何意义有:| ajcos 0 ij的几何意义为向量 电在向量4方向上的投影,由图可知： S在向量 品方向上的投影最大，此时三角形 AEE直角三角形，其中 AD与AE垂直，又正六边形边长为 1,所以AD=2,AE=S,所以R在向量方向上的投影为AE布,故答案为：币.【点睛】本题考查了向量的投影的几何意义，属于中档题.如图，鼠）是过点W夹角为的两条直线，且与圆心为 。，半径长为的圆分别相切，设圆周上一点 离分别为4、4，那么2d1卜打的最小值为（）.【答案】,

7、 【解析】【分析】P(cos 0 ,根据题意，分析可得IOM = 2,建立坐标系，分析可得11、12的关于y轴对称，据此设出直线11与12的方程, sin。），由此表示2di+d2,结合三角函数的性质分析可得答案.【详解】根据题意，11、12是过点M夹角为，的两条直线，且与圆心为O,半径r = 1的圆分别相切，则 | OM = 2r = 2,如图建立坐标系，以圆心 O为坐标原点，0皿y轴建立坐标系，M （0,2）,又由11、12是过点M夹角为3的两条直线，则11、12的关于y轴对称，易得11、12的倾斜角为、和可，贝U设11的方程为y=j3x+2, 12的方程为y=-*x+2,P是圆周上的一个

8、动点，设P （ cos。，则di =hjScos日-sin9 + 2|由8sH - sine + 2| - -JicosO -沏日 + 2 | -小s礁-sinB + 2| d2-0B选项，等价于h / 金门或又x|-y=o表示折线y = NI-i的全部，故错误;U -X +y =0C选项，等价于或1十=0，.!表示折线y = |x| -1在双曲线外部（包含有原点）的部分，1 x +y 01.x卜y = 口表示双曲线x-y* = 1 ,符合题中的图象，故 C正确.r |x| - y - 1 = 0（ |x| - v - I 0D选项，等价于L?一，或U - x +y 0 U - x +y =0

9、!表示折线Y =冈T在双曲线外部（包含有原点）的部分，和!广？ 表示双曲线在x轴下方的部分，故错误.1 x +y =0故选C.0时同时需保证另【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于 一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题.12厘米，其母线与轴的夹角为 3#.三、解答题(本大题共有5题，才f分76分)解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤.=X224.当V = 100时，可解得x = 7 6.x即可.屈T(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线 PA,刻上刻度，表示液面到达这个刻度时， 量杯里的液体的体积是多少.液体体积是100立方厘米时，刻度

10、的位置R与顶点P之间的距离是多少厘米(精确到0.1厘米)？【答案】(1) 96汉平方厘米.(2)当V = 10口时，刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.(1)先求得圆锥底面半径及母线，再利用侧面积公式计算即可.(2)设EP=x,用x表示平行于底面的截面半径及顶点到截面的距离，利用体积解得2【详解】(1)由题设，圆锥底面半径r = 12n3(f = 4有，母线1 印ccfi3(y,因此，该量杯的侧面积为 96瓦平方厘米.(2)设EP=x,可得过点B平行于底面的截面半径为顶点P到该截面的距离为因此，刻度的位置E与顶点P之间的距离约为7.白厘米.【点睛】本题考查了圆锥侧面积及体积的求法，考

11、查了运算能力，属于基础题18.已知函数 f(x) = sinTx + 2M- 1, x e 似兀).(1)求函数y = f(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，若= 且A#E,.包=在，求 ABC外接圆半径的长.【答案】(1)否(2) R= I8 8 )【解析】【分析】(1)利用倍角公式降格 再化为 亚 -),4由复合函数的单调性求函数y = f (x)的单调递减区间；AB。卜接圆半径(2)由f (A) =f (B),且AwB,求得A+B = -,得C=上,结合c=AB ；区再由正弦定理求得 44的长.【详解】(1)函数 f(x) = sin2x 2cos2x - 1 = sin2x i-c

12、osSk = J2sin(2x + -).4瓦兀 97r由。Hx7E,得一m2x-i-m . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 44 4乳兀 3兀由正弦函数的单调性可知，当一d y-,2427T况 5洱 /-兀即1*餐时，函数f(x) = V2sin(2x 1递减.m 5明所以，函数y=F(x), xE0/的单调递减区间是 -8 8 .(2)函数氏x)=在sin(2x -).4汽兀 9317c兀 讥在细中，因为心，B航所以丁3TG，/油1r7由/2sin|2A + =志smgl1+,及 一4 B ,得 2A ；=范

13、(2H + ：),a.3乳解得 AT 13 = ,于是(： = -;. 44设三角形的外接圆半径长为 R,因为2R =AB嬴乜所以Rf【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用及单调性，考查了考查三角形的解法，是中档题.a19.已知函数Rk)= + B,其中a、bER.2 - 1(1)当：J = 6, b = 0时，求满足f(|x|) = 2的x的值；(2)若f(xi为奇函数且非偶函数，求a与b的关系式.【答案】(1) %g广(2) a = 2b【解析】【分析】66(1)根据题意，当 a = 6, b=0 时，f (x)=，若 f (|x|) = 2x,则 y= 2x,解可得 2 - 1-1(2)

14、根据题意，由奇函数的定义可得f (-x) +f (x) =0,即(一-+b) + (二一+b)2s- 12x- 1b的关系，即可得答案.6【详解】(1)由题设，=2*,(*一2国.|当x 。时，-2X - 6 = 0 ,解得X = 1冤户；当xv。时，(2 - 1) x 2* = &方程无解.因此，满足f(|x|)=2*的x的值为1加3.(2)当0时，f(x)=b为偶函数，不合题意；当时，Rx) 4 b的定义域为(-gO)U十co).2X- 1由题设，对定义域中的任意 x, f(x)十f(-x) = 0恒成立，a&由+ b十b = 0,整理可得a= 2b.2X- I 2-k- 1因此，a= 2

15、b (a# 0 ).【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题.20.已知椭圆:一十一1 . 9 4(1)若抛物线c的焦点与的焦点重合，求c的标准方程；(2)若的上顶点A、右焦点F及X轴上一点M构成直角三角形，求点 M的坐标；(3)若。为的中心，P为上一点(非的顶点)，过的左顶点B,作BQIIOP, BQ交y轴于点QBN - BQ = 2OT2 .【答案】(1)抛物线C的标准方程为/ = -4占x和/ =%5x.(0,0：或(-于,0).(3)见解析x的值，即可得答案；二0,变形分析可得a、,交于点N,求证:【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出；（2

16、）按哪个角为直角进行分类，结合数量积为0,计算得到M的坐标.（3）由B （-3, 0）, BQ/ OR设直线BQ的方程为x= my- 3,直线OP的方程为x=my分别于椭圆的方程联立, 求出点Q N, P的坐标，再根据向量的运算即可证明.【详解】（1）椭圆的焦点坐标为（-收0）和（於,0）,抛物线C的标准方程为一女服和/=也&.（2）设点%的坐标为（福，I.的上顶点且的坐标为Q2）,右焦点F的坐标为（祗0）.当M为直角顶点时，点 X1的坐标为（0,0）;当口为直角顶点时， 京1 =（飞-2）,疝=（底2）,由Akl，F=O,解得应=点V的坐标为（-竽,0）.因此，点m的坐标为（。或-竽,0）.

17、 设直线OP的方程为y=kx（k0）,直线BQ的方程为y=k（x十3）.y = kx,于是点O, P的坐标（0,0） , （X,yp为方程组X2 y2_的实数解，+I【9 4山 一，/12-27k- 24k 1N的坐标为一-一1 9k3 + 4 9k2 + 4p = k（x 3）,点E, N的坐标（-王，（叼，为方程组 x2 /的实数解，解得点| = 194又点Q的坐标为（0,3k）.-/ 2424k h -i/66k于是 BN= , BQ=0Jk), OP=二限14 4 9k 4 4/l 桃-4 版.-2424k72-i 72kBN BQ = 4 3 % 乂 3k =- 9k -4-4 9k

18、 + 4 9k + 4 -2/6 b / 6k 匕 72 4 72k2QP1 = 2 土 f、- 4 2 士 ,V =-， J9k2+ 4/ l 极2 + 4,1 9k 4 ?gPBN -BQ = 2C）P2,得证.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，向量的运算，考查计算能力，属于中档 题.21.给定整数n(n2 4),设集合A=阿丁明&八 记集合B =眄4呐网E AW】三W n.(1)若n=-工。2 ,求集合B；(2)若力由，、构成以期为首项，d(dO)为公差的等差数列，求证：集合 B中的元素个数为2n-l ;(3)若电构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合 E中元素的个数及所有元素之和.【答案】(1) E=广613工-L。J2,3,4 (2)见解析(3)如+ Dg)2【解析】【分析】(1)由新定义和集合的列举法，可得所求集合；(2)运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数；(3)由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论.【详解】(1)因为B =狙一