大类资产配置报告系列之三：风险无处不在资产波动率模型构建与预测

1、索引内容目录 HYPERLINK l _TOC_250025 引言 4 HYPERLINK l _TOC_250024 实际波动率：波动率划分与数据来源 5 HYPERLINK l _TOC_250023 波动率的划分 6 HYPERLINK l _TOC_250022 实际波动率 7 HYPERLINK l _TOC_250021 研究标的选取与数据处理 7 HYPERLINK l _TOC_250020 全球大类资产梳理 7 HYPERLINK l _TOC_250019 国内大类资产梳理 8 HYPERLINK l _TOC_250018 资产的风险特征 10 HYPERLINK l _

2、TOC_250017 全球大类资产波动率特征 10 HYPERLINK l _TOC_250016 国内资产的波动率特征 12 HYPERLINK l _TOC_250015 基于波动率预测风险模型构建 13 HYPERLINK l _TOC_250014 基于 RV 的自回归模型 13 HYPERLINK l _TOC_250013 中心化优化模型：使用长期波动率因子 14 HYPERLINK l _TOC_250012 跨期波动率预测模型：直接法 14 HYPERLINK l _TOC_250011 HAR 模型 15 HYPERLINK l _TOC_250010 MIDAS 模型 15

3、 HYPERLINK l _TOC_250009 异构指数模型（HExp） 15 HYPERLINK l _TOC_250008 风险预测模型的检验 17 HYPERLINK l _TOC_250007 样本内预测结果分析 17 HYPERLINK l _TOC_250006 样本外预测结果分析 18 HYPERLINK l _TOC_250005 风险预测模型的实际运用 19 HYPERLINK l _TOC_250004 目标风险预期效用验证 19 HYPERLINK l _TOC_250003 不同风险模型实际效用对比分析 20 HYPERLINK l _TOC_250002 后续优化思

4、路 22 HYPERLINK l _TOC_250001 风险提示 22 HYPERLINK l _TOC_250000 参考文献 23图表目录图 1：SIR 模型疫情峰值预测 a=8.47%;b=2.2% 4图 2：SIR 模型疫情峰值预测 a=9.48%;b=2.2% 4图 3：SIR 模型疫情峰值预测 a=9.48%;b=1.3% 4图 4：SIR 模型疫情峰值预测 a=8.47%;b=1.3% 4图 5：波动率预测方法发展过程 6图 6：AQR 全球大类资产数据源梳理 8图 7：标普 500 月实际波动率（年化）变动情况 10图 8：美 10 年国债月实际波动率（年化）变动情况 10图

5、 9：布油月实际波动率（年化）变动情况 11图 10：欧元兑美元月实际波动率（年化）变动情况 11图 11：四类代表性资产核心平滑密度估计图 11图 12：均值标准化处理后四类资产核心平滑密度估计图 12图 13：日度实际波动率自相关情况 12图 14：除以均值标准化之后国内资产核心平滑密度估计图 13图 15：更严格标准化处理后国内资产核心平滑密度估计图 13图 16：样本内数据预测 17图 17：样本外数据预测 18图 18：各风险模型实际效用对比 21表 1：肺炎疫情冲击之后大类资产表现（2020-01-31 至 2020-02-07） 5表 2：国内大类资产投资标的梳理 9表 3：针对

6、国内资产的 HExpC 模型样本外预测结果 R2（综合面板回归法） 18引言2020 年资本市场开局最大的冲击非“新冠肺炎疫情”莫属。从武汉市卫健委曾通报病例最早发病时间 2019 年 12 月 12 日起，新冠肺炎疫情超乎大多人预期，快速发展，影响至全国乃至全球。截至目前仍未出现拐点，根据我们在 2 月 3 日发布的专题报告中使用传染病动力学模型（SIR）进行的测算，我们认为疫情的峰值将在 2020 年二月中下旬左右患者人数将达到峰值，随后疫情得到控制，不再扩散。根据最新持续公布的数据来看，我们依旧维持此观点。同时我们认为本次疫情病毒虽然相比 SARS 具有更强的传染性，但同 SARS 一样

7、仍为暂时性冲击，在没有显著政策性刺激的情况下，主要对一季度的基本面形成冲击，不改变经济企稳的长期趋势。图 1：SIR 模型疫情峰值预测a=8.47%;b=2.2%图 2：SIR 模型疫情峰值预测a=9.48%;b=2.2%比例比例患者人数疑似病例人数治愈者患者人数疑似病例人数治愈者10.90.80.70.60.50.40.30.20.102019/12/122020/2/122020/4/122020/6/12天数10.90.80.70.60.50.40.30.20.102019/12/122020/2/122020/4/122020/6/12天数资料来源：西部证券研发中心资料来源：西部证券研

8、发中心图 3：SIR 模型疫情峰值预测a=9.48%;b=1.3%图 4：SIR 模型疫情峰值预测a=8.47%;b=1.3%比例比例患者人数疑似病例人数治愈者患者人数疑似病例人数治愈者10.90.80.70.60.50.40.30.20.102019/12/122020/2/122020/4/122020/6/12天数10.90.80.70.60.50.40.30.20.102019/12/122020/2/122020/4/122020/6/12天数资料来源：西部证券研发中心资料来源：西部证券研发中心注：a 表示传染率、b 表示治愈率（移出率）当然疫情对社会的影响的方方面面的，本次肺炎疫情

9、作为一种突发性冲击，对金融市场同样造成了较大影响。在肺炎疫情快速的冲击下，我们以周度为单位，观察春节假期结束后开盘的首周（2020-02-03 至 2020-02-07）市场主要受肺炎疫情冲击的情况，国内市场周初开盘第一天风险资产受显著冲击，虽后有所上涨，大盘、中盘、小盘周度仍下跌；海外方面港股、标普 500 由于交易时间不同，在 A 股春节休市期间下跌，在 A 股开盘后则回弹上涨；黄金由于自身避险属性，则出现相反走势先涨后有所下跌，债券资产波动较小；原油走势出现大幅下跌，波动率指数变动幅度大幅上升。所以我们可以较为明显发现在本次疫情的冲击下，多类资产价格变化较为迅速，并且变动幅度较为明显。表

10、 1：肺炎疫情冲击之后大类资产表现（2020-01-31 至 2020-02-07）资产类别代码近一周涨跌幅近一月涨跌幅近六月涨跌幅近一年涨跌幅近 6 个月近 6 个月（%）（%）（%）（%）年化波动率与上证综指相关系数上证 50000016.SH-2.75-6.713.3014.0817.090.94沪深 300000300.SH-2.60-5.567.2520.0918.170.98中证 500000905.SH-0.94-1.9814.5524.0521.770.94恒生指数HSI.HI4.15-2.915.50-2.0917.070.43标普 500SPX.GI3.172.5115.4

11、721.8211.210.00伦敦富时 100FTSE.GI2.48-1.434.114.0910.560.13德国 DAXGDAXI.GI4.102.9516.8219.3312.050.18中证国债H11006.CSI1.192.083.765.471.910.62中证企业债H11008.CSI0.570.983.035.650.860.60黄金GC.CMX-0.880.336.0419.7411.790.05原油B.IPE-3.74-20.91-7.53-13.0633.030.28美元指数USDX.FX1.372.141.122.373.82-0.17CBOE 波动率VIX.GI-17

12、.8911.70-23.300.59112.860.01REITs135730.MI1.092.756.4613.679.900.12资料来源：wind，西部证券研发中心注：红色填充越深代表向上变化幅度越大，灰色填充越深代表向下变动幅度越大除了疾病之外，包括战争、恐怖袭击等等这类突发性风险事件均会对资本市场形成冲击，造成资产价格大幅偏离，甚至是改变市场风格，影响经济基本面。所以本篇专题的目的在于从波动率的角度探讨，类似突发性冲击发生时，资产之间的波动率会具有怎样的共性特征，以及我们需要采取怎样的配置手段和应对策略。另一方面，针对资产本身的研究可以划分为两大类：一类是聚焦于资产的收益，另一类是资

13、产的波动。资产的波动是金融风险衡量的重要维度，几乎渗透在金融领域的方方面面，例如资产定价、投资组合优化、风险管理等等。在前两篇资产配置专题中我们更多的从资产收益的角度出发去做研究，将宏观与量化相结合，按照自上而下的逻辑，定量的去分析宏观因子的变化趋势以及它们之间的相互影响，进而将宏观因子的驱动力落实到资产层面，最终得到各大类资产预期收益表现。本篇文章当中我们将结合前沿学术研究成果以及优秀外资机构的思路，探索全球尤其是国内市场各大类资产波动率的特征，提炼共性波动率因子，并构建基于实际波动率的风险预测模型，获得预期波动率，最终在投资者效用模型来检验实际效果。实际波动率：波动率划分与数据来源所谓资产

14、价格的波动率，通常是指未来价格偏离其期望值的程度，波动性越大，价格变动的幅度也就越大。一般来说，波动率是用资产标的的标准差来衡量的，而没有使用价格序列的标准差。主要原因在于价格的收益率可以认为是一个具有常数有限无条件均值和方差的平稳随机过程产生的，有限方差即意味着波动性回趋于一个常数均值（均值回复 mean reversion）。而对价格序列来说，由于其不平稳的性质，一般情况下可认为其方差是无限的，即价格的方差会随着时间不断增长。关于波动率的研究由来已久，众多研究结果显示，金融市场的波动率具有明显的集聚性、爆发性、均值回复性质，这表明波动率具有很强的自相关特性，因此对于市场波动率的历史的研究往

15、往能够帮助我们更好地预测市场波动率未来的发展趋势。波动率的划分关于波动率的估计和预测方法，最初主要采用的是移动平均方法，即将过去一段时间的资产收益率的方差作为当日波动率的估计值，常分为简单移动平均法、加权移动平均法，简单移动平均法将每天的收益率看成是等权重的，加权移动平均法则对不同时点赋予不同的权重。而目前波动率预测方法大体上可分为参数法和非参数法两类。在移动平均法之后，波动率预测逐步发展到自回归条件异方差模型（ARCH）及其推广广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型），此外还有随机波动模型（SV）以及其扩展模型、自回归移动平均模型（ARIMA/ARFIMA）等，包括预测隐含波动率，隐含波

16、动率 B-S 模型等，这一类方法被称为参数法。所以参数法指的是利用一定的参数模型来度量波动率，波动率变量是内嵌于模型中的，典型的如 ARCH 模型、GARCH 模型和 SV 模型。而理论和实证表明（ABDL(2001)），这类方法往往依赖于较强的假设，不足以精确地度量波动率，还存在较大的误差。其内在的原因可能是样本所包含的信息的不足，因此，国外新近的研究将度量波动率的方法转向了利用高频率数据的非参数方法上。非参数法指的是利用日交易数据按一定的方法直接计算而得，典型的有收益方差、日收益绝对值等。其中颇具代表性的是 Andersen 等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之为实际

17、波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取，则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若样本频率过小，则不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此，最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约进行平衡。图 5：波动率预测方法发展过程简单移动平均加权

18、移动平均移动平均法参数法ARCHGARCHSV实际波动率收益绝对值非参数法资料来源：西部证券研发中心实际波动率从上可知波动率的度量方法诸多，但是哪种方法更为精确，能够得到对于真实波动率较好的度量结果，成为了非常值得探索的问题。随着方法的进步，人们能获取的金融数据越来越丰富。 Merton1( 1980) 指出: 在样本频率充分大的条件下，通过加总高频平方变量的值，一个独立同分布随机变量的方差( 在一个固定期限内) ，可以被估计得充分精确。Merton( 1980) 、 French，Schwert，Stambaugh2( 1987) 等用日收益数据来估计股票的月波动率，实际波动率（Realiz

19、ed Volatility）的想法被正式提出。随后该理论日趋完善，最具代表性的当属 Anderse等人的一系列研究，如 Andersen，Bollerslev3(1998) ，Andersen，Bollerslev，Diebold， Labys47( 1999，2000， 2001，2003，后简称 ABDL) ，Andersen，Bollerslev，Diebold， Ebens8 ( 2001，后简称 ABDE) ，Andersen，Bollerslev，Diebold9(2002) 。其它的研究如: Schwert( 1998) ，Ebens10( 2000) ，Oomen11(2001

20、) ，Bandi12( 2003)等等。也正是得益于这种方法的出现，使得真实波动率成为了可量化的变量，便于我们进行研究。实际波动率的理论背景主要是基于收益分解和二次变动理论（具体过程参见附录），通过这两者可以证明实际波动率是真实波动率的无偏且一致估计量，主要通过高频日内数据的平方收益之和来确定：1/ = log (1+) log(1+(1)2=1其中 p 为标的的收盘价格，当观察日 t 内，随着日内观察采样次数 t 的增加（趋于 0），RV将越接近真实波动率。研究标的选取与数据处理本节中我们首先对全球各大类资产进行分类和梳理，研究实际波动率的特征；然后针对国内机构投资者能配置的大类资产尽可能全

21、面覆盖并做重点筛选，然后进行波动率特性研究。全球大类资产梳理AQR13曾针对全球四大类资产：商品（20）、权益（21）、固定收益（8）、外汇（9），合计58 类细分资产的波动率做了梳理与研究。具体来看，资产领域包括全球股票指数期货（发达市场和新兴市场）、全球固定收益期货、商品期货和现货市场外汇汇率。其对具体资产的选择与否取决于实际投资过程中该资产的流动性以及相应的高频日内时间序列是否可靠。股票、固定收益和大宗商品数据的主要来源是汤森路透（Thomson Reuters）的 TRTH 数据库，部分固定收益和大宗商品，使用了 TickD（TDC）的数据；外汇数据取自 Olsen 数据（OD）。在此

22、我们参照 AQR 的思路，并结合彭博以及 wind 中能获得的数据源进行资产梳理，由于实际波动率在计算时需要使用日内数据，而受限于数据源的可获得性，在全球资产的处理上，我们采用各标的日度数据来进行研究。图 6：AQR 全球大类资产数据源梳理资料来源：AQR，西部证券研发中心国内大类资产梳理鉴于国内资产品种，数据源相比国外成熟金融市场更为有限，我们采取指数投资的思路，使用指数来代替相关资产期货标的。我们把国内可供投资的大类资产也划分商品、权益、固定收益、外汇四大类。权益资产按照不同类型继续做细分，除了投资者接触较多的创业板、上证 50 以及中证 500；从市场风格的维度我们选取了金融、消费、周期

23、、成长和稳定五种风格的标的，标的采用了中信风格指数。固定收益资产我们选取了国债、金融债、信用债三个类别，每个类别当中按照久期、信用等级进行划分，具体标的均选自中债净价指数。商品类资产标的，我们选用 wind 商品品种指数，对于单只商品指数涵盖的样本空间包括该品种全部正在交易的合约，合计有 58 只标的，我们按照近一年（截至 20200120）日均成交量进行排序，同时考虑数据量，筛选基期距今大于 5 年标的，取成交量最大的前 24 个商品资产品种进行研究。表 2：国内大类资产投资标的梳理资产大类资产名称序号标的名称标的代码数据起始日1上证综指000001.SH1990-12-192创业板3990

24、06.SZ2010-05-313上证 50000016.SH2003-12-314中证 500000905.SH2004-12-31权益类5金融风格指数CI005917.WI2004-12-316周期风格指数CI005918.WI2004-12-317消费风格指数CI005919.WI2004-12-318成长风格指数CI005920.WI2004-12-319稳定风格指数CI005921.WI2004-12-3110国债总净价（1-3 年）CBA00622.CS2001-12-31国债11国债总净价（7-10 年）CBA00652.CS2001-12-3112金融债13金融债总净价（1-3

25、年）金融债总净价（7-10 年）CBA01222.CSCBA01252.CS2001-12-312001-12-31固定收益类14高信用企业债（1-3 年）CBA03522.CS2006-12-3115信用债16高信用企业债（7-10 年）高收益企业债（1-3 年）CBA03552.CSCBA03822.CS2006-12-312006-12-3117高收益企业债（7-10 年）CBA03852.CS2006-12-3118螺纹指数RBFI.WI2009-03-2719TA 指数TAFI.WI2006-12-1820铁矿指数IFI.WI2013-10-1821豆粕指数MFI.WI2000-07

26、-1722甲醇指数MAFI.WI2011-10-2823燃油指数FUFI.WI2004-08-2524沪银指数AGFI.WI2012-05-1025棕榈指数PFI.WI2007-10-2926菜粕指数RMFI.WI2012-12-28商品类 27郑糖指数SRFI.WI2006-01-0628沥青指数BUFI.WI2013-10-0929玉米指数CFI.WI2004-09-2230PP 指数PPFI.WI2014-02-2831豆油指数YFI.WI2006-01-0932热卷指数HCFI.WI2014-03-2133沪锌指数ZNFI.WI2007-03-2634郑棉指数CFFI.WI2004-0

27、6-0135塑料指数LFI.WI2007-07-3136沪胶指数RUFI.WI1995-05-1637焦炭指数JFI.WI2011-04-1538沪金指数AUFI.WI2008-01-0939鸡蛋指数JDFI.WI2013-11-0840菜油指数OIFI.WI2012-07-1641沪铜指数CUFI.WI1995-04-1742美元兑人民币(CFETS)USDCNY.IB2009-06-0143欧元兑人民币(CFETS)EURCNY.IB2009-06-0144日元兑人民币(CFETS)JPYCNY.IB2009-06-01外汇类即期品种45港币兑人民币(CFETS)HKDCNY.IB2009

28、-06-0146英镑兑人民币(CFETS)GBPCNY.IB2009-06-0147澳元兑人民币(CFETS)AUDCNY.IB2009-06-0148加元兑人民币(CFETS)CADCNY.IB2009-06-01资料来源：西部证券研发中心资产的风险特征为了更好结合各类资产的波动率特性进行建模，我们希望了解四种资产类别（股票、债券、大宗商品和外汇）中每种资产类别的风险分布特征，以及不同资产类别之间的异同。全球大类资产波动率特征首先从全球范围内的四大类资产中选出具有代表性的四个标的：标普 500，美国 10 年期国债收益率、原油以及欧元/美元。选取从 2010 年 10 月到 2020 年 2

29、 月每个标的日度价格序列，以 20 天为固定单位计算月度实际波动率，并进行年化处理得到以下四幅波动率变化图。我们可以发现四类资产的年化实际波动序列具有明显的共性特征，即波动率聚集效应明显，较大峰值出现的时间近乎一致也对应着相同的重大经济事件，例如 2008 年、2010 年底，2015 年年底以及 2019 年几大时间段市场均出现较大波动。标普500美10年国债收益率标普500美10年国债收益率图 7：标普 500 月实际波动率（年化）变动情况图 8：美 10 年国债月实际波动率（年化）变动情况0.160.140.120.10.080.060.040.0200.180.160.140.120.

30、10.080.060.040.020资料来源：wind，西部证券研发中心资料来源：wind，西部证券研发中心布油价格欧元兑美元汇率布油价格欧元兑美元汇率图 9：布油月实际波动率（年化）变动情况图 10：欧元兑美元月实际波动率（年化）变动情况0.140.120.10.080.060.040.0200.0140.0120.010.0080.0060.0040.0020资料来源：wind，西部证券研发中心资料来源：wind，西部证券研发中心尽管四类资产实际波动率存在较为明显共性特征，不同资产的总体波动率水平仍然不同，下幅图中，我们计算了四种代表性资产实际波动率的核心平滑密度估计，也说明了不同资产波动

31、率分布的区别。从图中可发现在我们研究的这一段时间之中，原油、美国 10 年期国债平均波动性较大，概率密度峰值较高；标普 500、欧元/美元汇率平均实际波动率则较小。图 11：四类代表性资产核心平滑密度估计图资料来源：wind，西部证券研发中心当然，不同资产和资产类别之间波动率的差异固然存在。为了更进一步研究资产之间波动率的共性特征，AQR 曾考虑将各个资产的实际波动率进行标准化处理：使用各资产样本均值为标准的波动性（RVt/Mean(RVt)）作为研究对象，与杠杆头寸风险概念相似，例如当 Mean(RVt)=0.5时，标准化后的波动率类比使用了 2：1 的杠杆。因此经过样本均值来对波动率做标准

32、化，就相当于各个数值均被杠杆化到了同一尺度上来衡量风险。如果通过减去均值再比上标准差的方式（RVt-Mean(RVt)/std(RVt)）来标准化的话，将会减少两个自由度，而上述做法仅减少一个自由度。更重要的是通过标准化处理可以发现这些资产的标准化日实际波动率（年化）的无条件分布在资产和资产类别中都非常相似。下左图可以较明显的看出四种代表性资产的分布非常接近。图 12：均值标准化处理后四类资产核心平滑密度估计图图 13：日度实际波动率自相关情况资料来源：AQR，西部证券研发中心资料来源：AQR，西部证券研发中心资产分布的这种相似性也体现动态依赖项中。在上右图所示的四种资产日度实际波动率的自相关

33、平均值，图形走势以及衰减率都非常相似，尽管短期滞后的情况略有不同。同时为了更好的反映资产类别的总体波动动态，并鉴于以上资产波动率的共性特征，AQR 以他们选出的这样一批因子为基础，定义了全球风险因子（global risk factor），简称 GLRV，即所有资产标准化实际波动率的平均值。国内资产的波动率特征我们进一步对国内资产的实际波动率特性进行研究，探讨国内各类资产是否也具有波动规律共性，并试图提炼适用于国内市场的综合波动率风险综合因子，以便对后续的波动率风险建模及预测提供帮助。我们分别选取上证综指、国债收益率指数（7-10 年）、螺纹钢价格指数以及美元对人民币汇率作为国内四大类资产的代

34、表，按照 AQR 的做法，四支代表性标的各除以该类资产均值进行标准化处理。从图 14 我们可以看出，按 AQR 的方式对国内资产均值标准化处理后，相比与以美国市场为主的全球资产来说，资产波动性的共性特征并不太明显。我们认为主要原因有两方面的原因，一是国内市场相比于美国等海外经济市场成熟度相对较低，资产波动率也更大一些；二是我们缩小了资产范围，所以样本多样性的减弱势必会使得波动率 更为集中。所以在标准化的过程中，我们做了改进，对国内资产采取更严格的约束方式： RVt-Mean(RVt)/std(RVt)。从图 15 的结果来看，该处理方式（RVt-Mean(RVt)/std(RVt)）相比 AQ

35、R 的做法更适用于国内市场的资产。我们按照此标准化方式，定义了国内风险因子（CRV）。图 14：除以均值标准化之后国内资产核心平滑密度估计图资料来源：wind,西部证券研发中心图 15：更严格标准化处理后国内资产核心平滑密度估计图资料来源：wind,西部证券研发中心基于波动率预测风险模型构建本节根据我们观察到的四大类资产自身以及资产之间波动率的共性特征，利用我们得到的共性波动率风险因子，对现有的波动率预测风险模型进行优化，并得到全新的风险模型。构建新模型过程中，我们主要试图解决现有模型的两大类问题：使得模型对波动率的预测相对平滑；具有较好的样本外预测能力。基于RV的自回归模型我们首先使用经典的

36、自回归模型（AR）进行探讨：+1 = 0 + 1 + 21 + + = 0 + () + 即第 t+1 天的实际波动率由其滞后项决定，同时加上常数项以及随机扰动项。不同的风险模型实际上是给滞后多项式不同的约束，使算法逻辑上更有意义，其中 b（L）被参数化为 beta 函数。而 bi 系数通常是基于各资产逐个进行估算的。这忽略了同类资产之间的相似性。因此，可以考虑使用基于面板数据的回归方法，这些方法强制不同资产类别内部和之间的系数相同。为了使构造的风险模型具稳健性，并在统计上具有较好的样本外预测性能，我们对模型进行了改进。中心化优化模型：使用长期波动率因子一般为了利用标准化波动率的动态依赖性和分

37、布的共性特征，会使不同资产之间的动态滞后系数 b(L)相同，但不同资产类别波动率水平不同，意味着假定截距 b0 相同是不合理的。为了解决此问题，用长期波动率因子 RV LR t 代替截距，该因子等于从样本初始点到第 t 天每天 RV 的扩展样本平均值。令所有的 bi 系数总和为 1，包括 RV LR t 系数。这种做法从所有模型中减去长期波动率因子，包括等式左边：121+1 = ( ) + ( ) + + 当以这种方式进行回归时，系数是自由的（不需保证系数之和为 1），但如果我们把 RV LR t 放到等式右边，则 RV LR t 具有 1b1b2=1b(1)的隐含系数，使得所有隐含系数和都为

38、 1。通过消除波动性，这种做法能通过面板回归的方式更好的计算系数。当然，也有文献应用更复杂的贝叶斯收缩型程序，优势在于允许不同资产的动态系数存在差异。然而，我们希望限制同一类别的资产系数或所有资产的系数相同，以便与单资产计算的风险模型进行直接比较。跨期波动率预测模型：直接法前面提到的 AR 模型和中心化优化模型常用于预测未来一个步长（天）方差。较长期的预测，例如每周或每月的预测，可以通过递归地将未来每日 RV 的预测替换到模型的右侧，然后逐步得到 1、2、3 等天的预测结果，从而在所需预测的时间范围内实现多步长 RV 预测来获得跨期结果。而更简单的一种方式就是从开始计算 RV 做改进，即将等式

39、左边的 RVt+1 变更为具有 h 个预测步长的 RVth，从而通过下式直接得到未来多步长的预测值，也被称为直接法。1= +=1一般采用 20 天作为月度预测的参数，则可将实际波动率计算式改写如下： = + () + + 0其中 h=20。相比于每次预测一个步长再在预测结果上反复迭代的方式，直接法具有更高的准确性，因为反复迭代过程中即便是很小的误差也可能会被放大，从而造成结果不准确性。接下来，我们将讨论基于跨期波动率预测模型的优化方式，也是作为我们进行波动率预测的核心模型。HAR模型HAR 模型最早在 2009 年被提出，并被证明具有较为不错的预测效果，也是目前基于实际波动率（RV）预测模型中

40、最为经典的方式，具体可用下式表示： = + + + + +0式中 RVtw 以及 RVtM 分别表示周度（5 天）和月度（20 天）实际波动率。我们在使用模型估计过程中进行了简化处理，使得D、W 和M 系数相同，但允许不同资产的0 系数不同。而 HAR 模型中最大的缺陷则在于，模型中不同的波动率因子具有阶跃性，当滞后项数据中出现一个异常大/小的 RV 时，模型的预测值可能会发生突变。为了解决突变的问题，下面的模型中，我们将对 b（L）多项式进行替换，来进行“平滑”处理。MIDAS模型HAR 模型可以被定义为具有阶跃函数的 MIDAS 模型的特例情形，然而，与 HAR 模型相比， MIDAS 方

41、法的主要目标之一是指定“平滑”分布滞后多项式来表示动态相关性。此外 MIDAS模型还需要解决的另一些问题：不同频率采样数据的使用，以及回归变量采样频率的选择。参数优化方面，我们使用基于函数的 b（L）滞后多项式的参数化方法，这也是目前该模型较为统一化的处理方式。因此 MIDAS 模型可以用下式进行表示： = + (1)1() + +0 1式中非零滞后多项式 a(L)可以由以下方程定义： 11 21 = ()(1 )(1 + 2)(1)1(2)1 , = 1, , ,上式中()表示伽马函数，通常设定 a(1)=a1+ak，从而确保a(1)-1a(L)滞后多项式的系数之和能统一化，所以1 具有唯一

42、值。当然模型的计算仍需要确定三个参数： k 和两个调谐参数1 和2。一般在处理时，k=50，并设置调谐参数1=1，然后通过网格搜索算法确定2参数，然后将模型的预测 R2 与2 的函数以及0 和1 结合起来，并选择2 的值，使整个样本的可预测性最大，因此，MIDAS 算法并不是真正的样本外算法。异构指数模型（HExp）MIDAS 模型中最值得借鉴的思路，是使用了“平滑”的多项式避免了 HAR 模型在预测中的导致阶跃变化。我们进一步进行优化，探讨最后一种依赖于实际波动率指数加权移动平均（EWMA）的“平滑”模型。一般常用的简单 EWMA 会预先指定中位数，而我们则希望能够综合考虑不同 EWMA 因

43、子的重要性，这些因子根据历史数据的日度 RV 构建：500CoM() = =1 + 2 + + 500+1() =0= 1 =0式中表示权重的衰减率，CoM()表示对应的中位数 29。每个中位数相应的衰减率为=log(1+1/CoM)。以全年 250 个交易日来计算，中位数则对应 125 个交易日，=log(1+1/125)=0.008 来作为年化 ExpRV 的参数。相比多期 HAR 模型，经过指数化处理的实际波动率（RV）来对滞后项进行处理，从而得到更为平滑的效果，我们使用四个指数实际波动率因子 ExpRVtCoM()，其中分别取 1，5，25 以及 125 天。所以在考虑多个实际波动率因

44、子的基础上，中心化优化模型可以进行如下改进： = ( ) + +=1,5,25,125上式是一个异构指数模型(Heterogeneous Exponential Model)，可简称为 HExp。该模型虽然嵌套在中心化优化模型的框架中，但与上述 MIDAS 模型不同，HExp 模型使用预先指定的实际波动率因子来表征波动率变化，且不依赖于任何未知的调整参数，所以该模型最大的优势在于减少了需要估计的参数，所以容易通过标准 OLS 进行估计，或在设定不同类资产系数相同的基础上通过面板回归程序计算。再结合上个章节中，我们对多类资产波动率共性特征探讨后的成果，AQR 的最终风险模型使用全球风险因子对HE

45、xp 模型进行优化，得到 HExpGl 风险模型。即 ExpGlRV5t 被定义为GlRVt全球实际波动率（EWMA 按 5 天进行平滑） = ( ) + (5 ) + +=1,5,25,1255全球风险因子被定义为一种特定资产：既避免 RVt 和 GlRVt-1 之间的任何重叠，并进一步被标准化，具有相同的时间 t 扩展样本均值。因此，相比于将系数限制为相同，在模型中加入 ExpGlRV5t 风险因子，会使模型使用更具通用性。而根据国内资产波动率的特点，我们也借鉴 AQR 的思路，在异构指数模型的基础上加入国内风险因子（CRV），构建更符合国内市场的波动率预测风险模型 HExpC： = (

46、) + (5 ) + +=1,5,25,1255风险预测模型的检验本节中我们主要使用拟合优度（R2）来评价模型预测能力的好坏。以 1 个月（20 交易日）作为预测范围，将所有能获得的可用数据作为样本内数据，利用上节中提出模型，进行样本外预测。同时选取多种模型计算结果作为对照组：静态风险模型（即认为风险是恒定的，以历史 RV 的平均值作为预期 RV）；“21-daily”动态模型（滚动计算 21 天历史 RV 作为预期 RV）；“21-day”动态 RV 模型（基于 21 天滚动计算实际波动率 RV，对应于简单的随机行走类型预测）；以及优化后的动态风险预测模型（HAR，MIDAS，以及 HExp

47、 风险模型）。所有模型通过三种方法进行计算：基于单个资产的 OLS 方法，同类资产参数相同的面板回归方法，以及所有资产参数相同的面板回归方法。分别将这些备选估计方案称为“单资产法”、 “普通面板”和“综合面板”。在计算样本外模型结果的拟合优度（R2）时，使用长期样本平均值（RVtLR）作为样本外预测值的对照组。样本内预测结果分析首先考虑样本内的估计结果，计算不同风险模型的拟合优度 R2 衡量其预测未来方差的能力。在此我们借用 AQR 对全球风险资产的研究结论，在其基础上再检验我们模型对于国内资产波动率的预测效果。从下图中 AQR 的结果来看，静态风险模型表现最差。“21-daily”动态模型效

48、果稍好，尤其是对于外汇资产来说。“21-day”动态 RV 模型则表现更有优势，优化后的动态实际波动率预测模型计算结果表现是最好的。同时，复杂动态风险模型之间的差异不大， HExp 模型总体表现最好。从纵向来看三种算法的区别：与基于面板回归的算法模型相比，对单个资产估计的风险模型能得到较大的 R2，然而两者差异很小。而基于面板回归的算法更具有稳健性，所以对于样本外数据的预测结果会有所不同。图 16：样本内数据预测资料来源：AQR，西部证券研发中心样本外预测结果分析对于样本外数据的预测与上节相同的 R2 度量同一组风险模型的样本外数据预测效果。可以看到与样本内数据预测相似的结果：静态风险模型表现

49、最差，“21-daily”风险模型其次，然后是”21-day”RV 模型，优化后的复杂动态 RV 模型表现相对更好。同时，与图 16 中的样本结果相比，基于单个资产和面板数据的预测模型的系统顺序完全相反。综合面板预测法将所有资产的系数限制为相同，该方法通常会有最高的 R2 值，尤其是对于外汇资产，这说明对于样本外的预测模型，基于面板数据回归算法更具稳健性，所以预测结果的 R2 值更高。图 17：样本外数据预测资料来源：AQR，西部证券研发中心所以 AQR 的主要研究成果：优化后的复杂动态模型具有更好的预测结果，尤其是在加上全球风险因子之后；基于面板数据的回归算法能增加模型在样本外预测时的稳健性

50、。我们则在其成果的基础上，直接使用结合“国内风险因子”的复杂动态 HExp 模型进行计算，来检验模型对国内资产波动性预测能力的好坏。从结果来看，HExpC 模型对国内资产的波动性预测也有较好拟合优度值，具有可实用性。表 3：针对国内资产的 HExpC 模型样本外预测结果 R2（综合面板回归法）模型商品权益固收外汇所有资产HExpC47.8%49.1%46.2%52.3%49.5%资料来源：wind,西部证券研发中心当然，波动性风险预测模型的实际应用还面临其他问题，以及与实现模型预测的实际成本和收益相关的权衡。为了说明这些问题，接下来将讨论一个基于效用的框架，该框架用于评估涉及平等风险份额概念的

51、投资策略的收益。为了保持结果的可验证性，我们特意将重点放在风险预测模型上，以预测方差，从而衡量对投资效用的影响。风险预测模型的实际运用本节借助一个基于投资者效用的简单情形来开展实际运用：具有均值-方差偏好的投资者投资于具有时变波动性和恒定夏普比率的资产。我们设定该框架依赖于波动率预测，从而来检验波动率风险模型预测效果，以及对收益提升的作用。目标风险预期效用验证与时间 t 相关的效用函数可以由下式进行表示（去除常数项）： ( () = (1 )+1+1) 2 (+1式中A=-u/u表示投资者的绝对风险厌恶。同时为投资者总体财富中的风险资产回报为 rt+1，系数为 xt，无风险利率为 rtf。所以

52、投资者总财富可以定义为：+1 = (1 + +1 + (1 ) ) = (1 + ) + +1式中 rt+1e=rt+1 -rtf 表示超额收益，所以预期效用函数可以表示为：U( ) = ( ( ) 2( ) = ( ( ) 2 () +1 ) 2 +1 +1 ) 2 +1上式中=AWt 表示投资者相对风险厌恶。为了与波动率模型结合，参照AQR 思路将夏普比定义为一个常量：SR=Et(rt+1e)/(Et(RVt+1)0.5。则可以将预期实际波动率 Et(RVt+1)与效用函数相结合：U( ) = ( (2) ()+12 +1对上式进行求解，投资者效用最大即对应最优投资组合时，风险资产项系数为

53、： =( )= +1(+1) ()+1而因为 xt*组合的条件方差为 Vart(xt*rt+1e)=(SR/)2，所以投资者最优目标波动率是 SR/，而将 xt*带入到效用方程当中，可得到预期效用为：21U( ) = 2 = 2 从上式我们可以看到，预期效用（作为投资者总财富的一部分）仅有最优权重时预期收益的一半，预期收益的另一半则因为风险产生的负效用而损失。我们可以通过实例来说明，令年化夏普比 SR=0.4，风险厌恶系数=2，则投资者最优目标年化波动率为 20%： =20% ()+1这个最优目标投资组合的效用等于：U(xt*)=4%Wt，这意味着投资者要放弃 4%的总财富来获得取到 xt*时

54、的最优投资组合，要么就只能简单地全部投资于无风险资产。如果投资者想要获得每年 8%的超额收益，而根据上面的结论，投资者使用最优投资组合，也会因为风险带来的负面效应，只能获得 4%的收益。t进一步我们从单位财富的获得预期效用的角度来研究。使用 E (.)表示源自模型的预期值也是真实未知性风险模型的预期值。当投资者使用风险模型并将权益仓位设为： =20%(+1)则单位财富的效用值可以表示为：UoW =()= 8%+1(+1) 4%+1(+1)在上式基础上，结合上章节提出的样本外风险模型，可以将单位效用改写为下式，也称其为“实际效用”：1 +1+1UoW= (8% 4% ()=1(+1)+1所以相比

55、于 U(xt*)，如果使风险模型能够做到完美预测实际波动率的话，能够提升的实际效用将达 4%（8%-4%），也就是说在进行风险资产仓位调整时，好的风险预测模型能提供 4%的超额收益。不同风险模型实际效用对比分析下表展示了本文中研究的各风险模型实际效用的对比情况。考虑交易成本，选取三种情形分析：无交易成本（“zero”）；交易成本等于每个不同资产的全部差额头寸，在每个交易日结束时头寸完全重新平衡（“full”）；交易成本等于差额头寸，仓位按下文所述逐步调整（“gradual”）。除了文中风险模型的结果外，也列出已知的未来实际波动率（“future RV”）。图 18：各风险模型实际效用对比资料来

56、源：AQR，西部证券研发中心上表中，不同风险模型的相对效用值排序与图 17 中各模型样本外 R2 的排序一致：静态模型的效用最低，“21-daily”风险模型较好，“21-day RV”模型则更优，优化后的复杂动态 RV 模型表现最好，尤其是 HExp 模型。在使用国内资产进行验证的而过程中，我们也得到了相同的结论。所以投资实际效用的提升可以通过改进风险模型来实现。HExp 模型的效用与静态风险模型的 效用之差为 0.46%，即 46 个基点（甚至更高，HExpGl 模型为 48 个基点）。也意味着在投资 组合中对于股票这种波动性最高资产类别，使用更复杂的动态风险模型能获得更大的超额收益。另外

57、 AQR 也考虑交易成本的情况，进一步衡量投资效用的好坏。为了简单起见，假设交易成本与头寸变动的绝对幅度成线性关系。作为基准交易成本估算，我们使用样本最后九个月内每项资产的中价差，这是所谓的“半价差”的两倍，即中间报价和买卖价差。我们使用全价差（而不是半价差），因为由于市场影响，规模较大交易者的交易成本可能会更高。上表中每个部分的第二行（“Full”）为扣除交易成本后的实际效用。所有的效用值都明显低于第一行（静态风险模型例外，因为该平均值在大多数样本中是恒定的）。考虑交易成本后，不同风险模型表现好坏的顺序也有所改变，因为不同模型的换手率不同。虽然使用静态风险模型的交易成本很小，但“21-dai

58、ly”模型的成本最大，效用值也对应最低。在复杂的风险模型中， MIDAS 模型由于换手率低，对应较高的效用值。减轻交易成本影响的一种常用方法是逐步进行交易，允许投资者偏离零成本最优头寸。对于明确包含交易成本的不同风险模型，最优交易策略的形式化发展超出了本文的研究范围。相反，我们依赖于 Pedersen（2016）讨论的策略，即只交易部分理想仓位。14上表中每一部分的第三行（“Gradual”）展示了当交易的“速度”降低时实际效用值，每天仅交易零成本最优交易量的 15%。这种逐步交易的做法，确实相比于第二行（full）直接交易到目标仓位的结果有所提升，HExp和 HExpGl 模型表现也再次优于

59、其他的风险模型。所以，即便考虑交易成本在内，优化后的复杂动态风险模型能够提高波动率预测的准确性，从而给投资者带来相对更高的效用值，提升投资收益。后续优化思路对于基于实际波动率的风险预测模型，高频日内数据源至关重要，本文中由于国内市场的数据源限制，有些标的无法获取较为长期的日内数据。所以后续我们会挖掘更丰富的数据源来对本文中的模型进行进一步校验。本篇报告中，我们更多的是从投资效用的角度从理论上来说明波动性预测的提升，能够提升投资组合中超额收益。在之后的研究中我们会把波动率模型进一步运用到实际的投资策略中，通过投资组合表现好坏的对比，更为直接的展示波动性预测模型的有效性。风险提示本文结果和分析均基

60、于模型测算和历史数据，市场环境发生明显变化时，模型存在失效风险。参考文献1Merton，RC，1980，On Estimating the Expected Return on the Market: An Exploratory Investigation，Journal of Financial Economics，8，323-3612French，KR，GWSchwert and RFStambaugh，1987， Expected Stock Returns and Volatility，Journal of Financial Economics，19，3-293Andersen，T