2022年人教B版数学归纳法名师精编单元测试2

1、 名校名师举荐 精选题专练（ 37）数学归纳法1设 fx 是定义在正整数集上的函数 , 且 fx 满意 : 当 fk k+1 成立时 , 总能推出 fk+1k+2 成立 , 那么以下命题总成立的是 A.如 f12 成立 , 就 f1011 成立B.如 f3 4 成立 , 就当 k1 时, 均有 fkk+1 成立C.如 f22,f8,f163,f32, 观看上述结果 , 可估计出一般结论 A.f2nB.fn2 3 名校名师举荐 C.f2n D. 以上都不对【解析】选C.f2=f21=,f4=f22, f8=f23,f16=f24, f32=f25, 由此可推知f2n . 10用数学归纳法证明 1

2、2 3 n 2n 4 n2,就当 nk 1 时左端应在 nk 的基础上 2加上 Ak 21 2B k1k4k2C. 2D k 2 1 k 2 2 k 23 k1 2【答案】D 11用数学归纳法证明“2 nn 2+1 对于 nn0的正整数 n 都成立” 时 , 第一步证明中的起始值n0 应取 A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】选 C.当 n=1 时,2 1=2=1 2+1, 当 n=2 时,2 2=42 2+1=5, 当 n=3 时,2 3=83 2+1=10, 当 n=4 时,2 4=165 2+1=26, 当 n=6 时,2 6=646 2+1=37, 故起始值 n0 应取 5. 12

3、已知整数对的序列如下：1,1 ,1,2 ,2,1 ,1,3 ,2,2 ,3,1 ,1,4 ,2,3,3,2 ,4,1 ,1,5 ,2,4 , ,就第 60 个数对是【答案】5,7 4 名校名师举荐 【解析】此题规律： 2 11；31221；4132231；514233241； ；一个整数 n 所拥有数对为 n1 对设 123 n1 60,n2n 60,12,n11 时仍多 5 对数,且这5 对数和都为12 111 2103948 57,第 60 个数对为 5,7 13用数学归纳法证明1+ +1 时 , 第一步应验证的不等式是 . 解析】由 nN,n1 知,n 取第一个值n0=2, 当 n=2

4、时, 不等式为 1+2. 答案 :1+2. 14 用数学归纳法证明不等式1 n11 n2 1 n n13 24的过程中,由nk 推导 nk1时,不等式的左边增加的式子是1k,故填【答案】k1k1 2k 11 2k 21 k1k【解析】不等式的左边增加的式子是k1k. , 设 fn=1-a11-a21-a3 1-a n, 运算15 已知数列 a n 满意条件 an=f1,f2,f3,f4,f2=的值 , 由此猜想 fn 的通项公式为 . . 【解析】 f1=,f3=,f4=. 由此可猜想fn=5 名校名师举荐 答案 :fn=216 12 分 设数列 an 满意 a13,an 1a n2nan2,

5、n1,2,3 ,1 求 a2,a3, a4 的值,并猜想数列 an 的通项公式 不需证明 ；2 记 Sn为数列 an 的前 n项和,试求使得 Sn2 n成立的最小正整数 n,并给出证明【解析】1 a25,a3 7,a49,猜想 an2n1. 2 Snn2n n 22n,使得 Snn 22n. n6 时, 2 66 22 6,即 6448 成立；假设 nk k6, kN 时, 2 kk 22k 成立,那么 2 k12 2 k2 k 22k k 22k k 22kk 22k32k k 1 22 k1 ,即 n k1 时,不等式成立；由、可得,对于全部的 n6 nN 都有 2 nn 22n 成立17

6、 在数列 a n 中,a 1=2,a n+1= an+ n+1+2- 2 nn N, 0. 1 求 a2,a3,a4. 2 猜想 a n 的通项公式 , 并加以证明 . 【解析】 1a 2=2 + 2+22- = 2+2 2, a3= 2+2 2+ 3+2- 2 2=2 3+2 3, a4= 2 3+2 3+ 4+2- 2 3=3 4+2 4. 2 由1 可猜想数列通项公式为an=n-1 n+2 n. 下面用数学归纳法证明 : 当 n=1,2,3,4 时 , 等式明显成立 , 假设当 n=kk 4,k N 时等式成立 , 即 ak= k-1k+2 k, 那么当 n=k+1 时, ak+1= a

7、k+ k+1+2- 2 k= k-1 k+ 2 k+ k+1+2 k+1- 2 k=k-1 k+1+ k+1+2 k+1=k+1-1 k+1+2 k+1, 所以当 n=k+1 时,a k+1=k+1-1 k+1+2 k+1, 猜想成立 , 由知数列的通项公式为 an=n-1 n+2 nn N, 0. 18已知 Sn123 n n1,nN ,求证： S2n1n 2 n2,nN 1 16 名校名师举荐 19已知 Sn=1+ +n1,n N, 求证 :1+n 2,n N . 【证明】 1 当 n=2 时,=S4=1+=1+, 即 n=2 时命题成立 ; 2 假设当 n=kk 2,k N 时命题成立 , 即=1+ +1+, 就当 n=k+1 时,=1+ +1+ +1+=1+=1+, 故当 n=k+1 时, 命题成立 . 由1 和2 可知 , 对 n2,n N . 不等式1+都成立 . 20已知数列 an 满意 a12, an12an a n 1 an nN 1 如 1,证明数列 lg an1 为等比数列,并求数列 an 的通项公式；2 如 0,是否存在实数 ,使得 an2 对一切 nN 恒成立？如存在,求出的取值范畴,如不存在,说明理由7 名校名师举荐 2 方法一：由a22a1 1 a14 1 22,得 3,猜想 3 时,对一切 nN ,an2 恒成立当 n 1 时, a12,猜想成