第35届全国中学生物理竞赛复赛试题

1、word.zl-word.zl-2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日一，40分假设地球是一个质量分布各向同性的球体。从地球上空离地面高度为h的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。地球半径为R,质量为M,引力常量为G。地球自转及地球大气的影响可忽略。1假设该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？2假设该物体的初速度大小为V0,且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向即速度与其水平分量之间的夹角，以及它从开场发射直至落地所需的时间。对于c0,2b4ac0有xdx.abxcx2b2cxb3arcs

2、inC，式中C为积分常数。abxcxc2(c)2J40分如图，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球，弹簧水平水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O；小球课在水平地面上滑动，它与地面之间的摩擦因数为。初始时小球速度为0,将此时弹簧相对于其原长的伸长记为-A0A00但是它并不是量。重力加速度大小为g,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力1如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A0应满足的条件；2如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A0应满足的条件;3如果小球只能完成n次往返运动向右经过原点，然后向左经过原点

3、，算1次往返4如果小球只能完成n次往返运动，求小球从开场运动直至最终静止的过程中运动的总路程。三、40分如图，一质量为M、长为丨的匀质细杆AB自由悬挂于通过坐标原点O点的水平光滑转轴上此时，杆的上端A未在图中标出，可视为与O点重合，杆可绕通过O点的轴在竖直平面即x-y平面，x轴正方向水平向右内转动；O点相对于地面足够高，初始时杆自然下垂；一质量为m的弹丸以大小为V0的水平速度撞击杆的打击中心打击过程中轴对杆的水平作用力为零并很快嵌入杆中。在杆转半圈至竖直状态时立即撤除转轴。重力加速度大小为g。1求杆的打击中心到O点的距离；2求撤除转轴前，杆被撞击后转过0丨角时转轴对杆的作用力3以撤除转轴的瞬间

4、为计时零点，求撤除转轴后直至杆着地前，杆端B的位置随时间t变化的表达式XB（t）和yB（t）；4求在撤除转轴后，杆再转半圈时0、B两点的高度差。四、40分Ioffe-Pritchard磁阱可用来束缚原子的运动，其主要局部如下图。四根均通有恒定电流I的长直导线1、2、3、4都垂直于x-y平面，它们与x-y平面的交点是边长为2a、中心在原点0的正方形的顶点，导线1、2所在平面与x轴平行，各导线中电流方向已在图中标岀。整个装置置于匀强磁场BoBgkk为z轴正方向单位矢量中。真空磁导率为0。2电流在原点附近产生的总磁场的近似表达式，保存至线性项;Btot3将某原子放入磁阱中，该原子在磁阱中所受磁作用的

5、束缚势能正比于其所在位置的总磁感应强度的大小，即磁作用束缚势能VBtoJ，为正的常量。求该原子在原点O附近所受磁场的作用力;4在磁阱中运动的原子最容易从x-y平面上什么位置逸出？求刚好能够逸出磁阱的原子的动能43五、40分塞曼发现了钠光D线在磁场中分裂成三条，洛仑兹根据经典电磁理论对此做岀了解释，他们因此荣获1902年诺贝尔物理学奖。假定原子中的价电子质量为m,电荷量为e，e0丨受到一指向原子中心的等效线性回复力m2rr为价电子相对于原子中心的位矢作用，做固有圆频率为0的简谐振动，发岀圆频率为0的光。现将该原子置于沿z轴正方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B为方便起见，将B参数化为Ble1选一

6、绕磁场方向匀角速转动的参考系，使价电子在该参考系中做简谐振动，导出该电子运动的动力学方程在直角坐标系中的分量形式并求岀其解2将1问中解在直角坐标系中的分量形式变换至实验室参考系的直角坐标系；3证明在实验室参考系中原子发岀的圆频率为0的谱线在磁场中一分为三；并对弱磁场即l煤：0情形，求岀三条谱线的频率间隔。:在转动角速度为的转动参考系中，运动电子受到的惯性力除惯性离心力外还受到科里奥利力作用，当电子相对于转动参考系运动速度为v时，作用于电子的科里奥利力为fc2mv。六、40分如图，太空中有一由同心的内球和球壳构成的实验装置，内球和球壳内外表之间为真空。内球半径为r=0.200m,温度保持恒定，比

7、辐射率为e=0.800;球壳的导热系数为21111.0010JmsK，、外半径分别为Ri=0.900m、R2=1.00m，外外表可视为黑体；该实验装置已处于热稳定状态，此时球壳内外表比辐射率为E=0.80Q斯特藩常量为s5.67108Wm2K4,宇宙微波背景辐射温度为T=2.73K。假设单位时间内由球壳内外表传递到球壳外外表的热量为Q=44.0W,求1球壳外外表温度T2；2球壳内外表温度；3内球温度T0o:物体外表单位面积上的辐射功率与同温度下的黑体在该外表单位面积上的辐射功率之比称为比辐射率。当辐射照射到物体外表时，物体外表单位面积吸收的辐射功率与照射到物体单位面积上的辐射功率之比称为吸收比

8、。在热平衡状态下，物体的吸收比恒等于该物体在同温度下的比辐射率。当物体内某处在z方向热流方向每单位距离温度的增量为dT时，物体内该处单位时间在z方向每单位面积流过的热量为dz七、40分用波长为633nm的激光水平照射竖直圆珠笔中的小弹簧，在距离弹簧4.2m的光屏与激光水平照射方向垂直上形成衍射图像，如图a所示。其右图与1952年拍摄的首张DNA分子双螺旋构造X射线衍射图像图b十分相似。利用图a右图中给岀的尺寸信息，通过测量估算弹簧钢丝的直径d1、弹簧圈的半径R和弹簧的螺距p；图b是用波长为0.15nm的平行X射线照射DNA分子样品后，在距离样品9.0cm的照相底片上拍摄的。假设DNA分子与底片

9、平行，且均与X射线照射方向垂直。根据图b中给出的尺寸信息，试估算DNA螺旋构造的半径R和螺距po说明：由光学原理可知，弹簧上两段互成角度的细铁丝的衍射、干预图像与两条成同样角度、一样宽度的狭缝的衍射、干预图像一致。嘤杯尺J94cnb加色衷吊XIt峰此较區中4WftftfWJa1憬底饭刖舒HLMttm4爼兜St因DNA谕心丿阚的关廉“覺眯门八、40分1958年穆斯堡尔发现的原子核无反冲共振吸收效应即穆斯堡尔效应可用于测量光子频率极微小的变化，穆斯堡尔因此荣获1961年诺贝尔物理学奖。类似于原子的能级构造，原子核也具有分立的能级，并能通过吸收或放岀光子在能级间跃迁。原子核在吸收和放岀光子时会有反冲

10、，局部能量转化为原子核的动能即反冲能。此外，原子核的激发态相对于其基态的能量差并不是一个确定值，而是在以Eo为中心、宽度为2的范围内取值的。对于57Fe从第一激发态到基态的跃迁，E。2.311015J，3.21013Eo。质量mFe9.51026kg，普朗克常量h6.61034Js，真空中的光速c=3.0 x108m/s。1忽略激发态的能级宽度，求反冲能，以及在考虑核反冲和不考虑核反冲的情形下，5乍e从第一激发态跃迁到基态发岀的光子的频率之差；2忽略激发态的能级宽度，求反冲能，以及在考虑核反冲和不考虑核反冲的情形下，57Fe从基态跃迁到激发态吸收的光子的频率之差；3考虑激发态的能级宽度，处于第

11、一激发态的静止原子核57Fe*跃迁到基态时发出的光子能否被另一个静止的基态原子核57Fe吸收而跃迁到第一激发态57Fe*如发生那么称为共振吸收？并说明理由。4现将57Fe原子核置于晶体中，该原子核在跃迁过程中不发生反冲。现有两块这样的晶体，其中一块静止晶体中处于第一激发态的原子核57Fe*发射光子，另一块以速度V运动的晶体中处于基态的原子核57Fe吸收光子。当速度V的大小处于什么范围时，会发生共振吸收？如果由于某种原因，到达吸收晶体处的光子频率发生了微小变化，其相对变化为10-10，试设想如何测量这个变化给出原理和相关计算？第3SJS全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2QL5年9片盈日40

12、分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体.地球自转及地球犬气的影响可超略从地球上空离地面高度为月的空间站发射一牛小物体.该物体相对于地球H某一初連度运动,初速.度方向与其到地心的连线垂葭“己知地球半径为蜃量为引力常量为G*tn若该物体能绕地球做周期运动*其初速度的大小应满足什么条件?C2）若该物体的初速度丈小为叫，且能落到地面*求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分垦之间的夹甬人以及它从开始发射直至落地所需的时间口已知：对于c0T有；xdxjJa+bx+arb.2cxb小t=-T7Tarcsin+CJ口2（y严Ji式中匚豹积井常数雷考解答=解法（T假设小物体初始速度大小为巩在地球引力场中

13、其能量为2必HE=mu-G尺+丹式中皿是小物体的质量-小物体相对于地球中心的甬动量为谡物体能绕地球做周朋运动*其能量应0由此疑件以及E的表达式得a2GA/aN物体能绕地球做持续的周期运动.不能坠曙到地球表面:当物体初昭速度降低到某个值嗨甸时物体运动的椭圆軌道将与地球我面相切.设这种情况下物体在与地球叢面相切时的运动速度为2,由角动量守恒定悻/?+/1啊讪（尺*可弄血讯即u=n0mlfi由能量常恒定律方I2介KimI2”Mm-mu爲-G=flrtr-GRih2R将式代入式得2GA/R码1-J（R+fr）（27?+/r）当物体初速度兔低于晞丽时，其轨道都将与地球表面相交，因此会坠落到地面上所以物休

14、绕地球作椭圆蚁圆形轨道运动，但不会坠落到地球表面的条件是/2GM57吋解法f二)该物体能绕地球做周期运动，其运动轨迹应冷橢圜圆被视为椭圆的特就情形九设其近或远地点之一与地心的距高和速度大小分别为片和6，另一近或远地点与地心的距离和速度大小分别为q和巧.由博动坛守恒和能量守恒有亓巧=畑旳Mm1,亠Mm=mtK-G叫2峙式中加是小物体的质量.消去耳得=0将斤和眦视为已知，上式是丄满足的一个一元二次方程。石十显黙満足行程因而丄是元二次方程的解*利用韦达定理*另一解足耳片I祕J显勲.斥aR,且有限，故有0耳R由式得，当打给定时，巧必须満足由题意知斤=R+斤可=砂$故有+町/2GM如果I2GA4R珥Y(

15、/?+/t)(2JR+?ij则物体会落到地球上。根据能量守恒.它落到地面时的速度大小卩满足方程丄佔一G血显讽弋如2/?2R+h由式得2GMh设物体落地点相对于地心的矢径与物体初始位雹相对于颱心的矢径之间的夹角为&根据箱动量守恒，物体落到地面时的水平速度旳满足方程尺碣=(R*h)v0上式即Rh物体的速.度方向与水平面的夹角是迪也二邮冷77（RM）%2GMRhR+h丄伴1血丿22丿一畔+一错梅物体的运动用极坐标巩、尸按写，廂动量守恒和能量守恒可分别表为消古罟得dr_f（J?+Zi）a2GM-云7d7=_r产十丁十喏-市物体从开始发射直至落地需要的时间为心严dr(宛*kf甘：2GM*2GMP+r%一

16、尺+弁Jj?rdr2GNtR+hr2+2Gr-R+h取参量Q=（R十h疋，b=2GEA/iu=玩-vo,有十衍A=ft24j3C2GAzfV=(20=4(7?)认利用题给积分公式，完咸积分得R+h(2R+h)h2GM-vl(R+h)+Gil/st,+h)-GM(/?-h)+arcsin七土5才当初始速度大小为临界值珂=鼻护一时.下落时间为+A）（2i?+h）3riR+ftVt=-7=评分标准：本题40分第问15分，解法（-）式各3分；解法（二式&分*式】分，式2分，式各3分.第（2间2,分，O）戎各3分，飲）式角？*武幼各4分二、（40另如图，一劲度系数为k的轻弹賢左端固圭，右端连一质量为卿的

17、小球；弹窝水平.它处于自然状态时0小球位于坐标原点小球可在水平地面上滑动，它与地jawgwX”八面之闾的动摩療園数为戸。初始时中球速度为零，将此时论Ox弹簧相对于其原悅的伸怅记洵-珀（0,怛現井不是己知虽九莹力加速度大小为g,假设最大静摩擁力等于滑动摩擦力。如果小球至爹只能向右运动、求小球最终静止的位置，和此种情形下名应满足的条杵;（2如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至参只能向左运动，求小球最终静止的位置*和此种情形下九应满足的条件：（3）如果4、球只能完成h枚往返运动（向右经过原点.然后向左经过原点.算1次往返人求小球最终静止的位宜，和此种情形下吗应满足的条件（4如果小球只能完成H次

18、往返运动，求小球从开始运动直至嵐终静止的过程中运动的总路程a鑫考解答：C1若或孑小球悌止于其初始位置x：=Aq0若或小球能向右运动。设小球第一次向右运动到趣度为零时弹簧的伸怏量为片（其符号暂乘确定、*很据功能廉理有+堀_右2=jUmgC+x）由此得ATMxo,即詈以警弹簧处于压缩或自由状态，且小球所受向右的弾力F=fc|=2/enj-kA0故小球最终静止于原点左边或原点“竝警益0式中取等号时，式也取等号B当咒0,即弹簧处于伸长狀态，小球所受向左的弹力kx=kAff-2戸Big若壮pmg即小球最终静止于原点右边word.zl-6-word.zl-C2）堺法（-）设在小球完咸第一次向右运动后的瞬间

19、，记弹簷的彳申长为场，按题意，此后小球至多只能向左运动.若小球能向左运动设小球第一次向左运动到速度为零时弹簧的伸长量为加1其符号暂未确定）*根据功能原理有由此得3川吨二想三孙吨弹簣紂于忡换或自由狀态.小球所受向左的弹力kx=4fjmg-kAy屮wig小球最终峥止于原点右边或原点式中取等号时*式也取俸号.当工c0,即弾貧处于压缩状态，且小球所受向右的弹力如果k|x|mgkx=k-4mg即当小球最终静止于解送（二）设在小球完成第一次向右运动后的瞬间，记弹賢的忡长为场。按題意，此后小球至多只能向左坛动将将场视为氐,利用CD的结畏以及鬲的表达式可知，当kk时，小球最终静止于式取等号时，式也取等号。当f

20、S0）.第1次返回至速度走零的位遇为-咼i第朴次向右话动至速度为零的位豐为比(戈0人第抒次返回至速度为零的也置为-応理0人由式并类推有仆恥警，警.心十警.*比宀警由此得fr将现为初始压缩議竝*利用(1)(2的皓果式以及的表达式可却，小球最终静让于40当也廻吗牡加+】仙2(2ji+1)弹ng0当2(2已+】加/ngft-it4(“+咙_坨Ka当(知+3)坤童A4(对+1肿童武中当后式取等号时前式也取等号.(4设小球在由开始运动直至静止整个过程中適过的总路程为a设由功能原理有-k-kx1=式中工的值如式所示.由此得当缶+1炉帼/(4n+3)mgs=+lXA-X当-；鼻w扯弍mskkk评分标淮；本题

21、40分*第(1)问12分.式各1分.式各2分：第(2)问B分，式各2分第(3)问H分，式3分，式各2分：第(4)问日井，式3分，式各2分”三rC40分如图，一质塑为长为2的匀展细杆AB自由是挂于通过坐标原点0点的水平光滑转轴上（此时”杆的上端A未在图中标出.可视为与O点重合）.杆可绕通过口点的轴在竖直平面（:即卫-护平面*h轴正方向水平向右）内转动早O点相对于地面足够商，初始时杆自然下垂*一质量为附的弾丸以大小为的水平速度撞击杆的打击中心打击过程中轴对杆的水乎作用力为寒并腹快嵌入杆申。在杆转半圈至竖宣状态时立即撤除转轴重力加速度大小为窖*1）求杆的打击中心到点的距离】（2）求揃除特轴前.杆被撞

22、击后转过日第时转轴对杆的作用力;（3）以撤除转轴的瞬阿为计时零点，求撤除转轴后直至杆着地前，杆蜩占的位置随时间疋化的表达式如和4）求在權除转轴后.杆再转半圈时B两点的高度弟。参考解答T1）设打击中心位萱距转轴距离为卫.水平外力F作用于打击中心后杆的角加速度为由刚体定轴转动的动力学方程有FL=L曲目式中112是秆绕过其端点赴即o点）的水平轴转动的转动慣量由式得在弹丸撞击杆后的瞬间杆的质心加速度的水平分量为3FL2MI设轴对杆的作用力的水平分量为由质心运动定理有F耳二他将武代入式.水平外力打击到杆的打击中心处.軸对杆的柞用力的水平分量应为零由此得.杆的打由屮心到O点的距离为l=ji2）弹丸与杆的碳

23、攫过程满足动量守恒mva=（M+/H）zi解得电十m设甜瞳后带弹丸的杆的质心位冒与0点的距禺为则r4m+3M.&16（Aif+rt）在碰潼后的瞬间，杆转功的角速度为word.zl-word.zl-vo)aLe(4m+3A/JJ带弹丸的杆的转动懺量为I=Kfl14-m3在杆从垂直位置转过&角的过程中，萦统的机械能守恒*有=ijfy2+(A7+mgL-cosS)薛得廿二环.盘A/+ffpg厶a-Gos)将式以及转动惯星j的表达式代入上式得a?二另-方面.杆由初始位置转过&肃时，由刚休定轴转动的动力学方程有式中#是莹力矩产生的角韧速度。由此得=匹也&空二璧细总J21此时质心加速度的土分虽仏和*分虽為

24、分别为二Lc/frcos&+sin5知=瓦血cos-Ai；/7，sjn其申角速度出由式给出设撤除转轴前.秆被撞击后转过忌角时转轴对杆的作用力的兀分量和，分量分别为叽和叫由质心运动宦理有N=(A/+皿)订k=(M+砒仇0&$8+(y2sin&)=(M十卿Kg十耳:丿=(Al十+厶：(新cas0冷in0)将式代入式得=址jw+沁塩gmTcosF-2sin&)+毁喧一血冷乂4(4rfi+3A/y叫讪51(4：務严*3严24Z1)当杆转到竖直位置即&=兀时.由式得*用速度创为権除转轴后*带弹丸的杆的质心做平拋运动.同时杆绕其质心此角速度占在竖D平面内做顺时针转动.以撤除转轴的瞬间为计时零点.在f时刻的

25、质心坐标为礼-玖=匕川如一”,建立如图所示的质心坐标系，由于杆同时绕庾心以帝速度在竖直平面内顺时苛转动*在r时刻杆的E端栩对于其质心的坐标为Xg=(/*ie)sinorrjp=(l-在地面塞考系中.r时刻杆的B瑞的坐标为xB(f)=税+对+(-e)sinkfFc-PritchardPt可用来束繪原子的运动，其主要部分如图所示。囚根均通有恒定电流J的圧直导线X2、氛4都垂直于x-y平面.它们与亡V平面的交点是边长为加、中心在原点O的正方形的顶点导线】、2所在平面与工轴平存，各导线中电流方向己在图中标出.整个装誉宣于匀强融场=BQkit为壬轴正方向単位矢量)中n己知童空磁导率为岭。U)求电流在通电

26、导线外产生的恵磁场的空间分布；C2)电渍在原点附近产生的总磁场的近似表达式保带至线性项，(3)将某原子叙入磁駢中、该原子在磁阱中所爱的磁作用東缚势能1E比于其所在位貝的总磁感应强度厶u的大小*即雄作用束缚势能=戸!轉川为正的常量求该原子在原点O附近所受磁场的作用力；C4)在磁阱中运动的原子毘容易从比y平面上什么位岂逸出字求刚好能够逸出磁阱的原子的动能.抄甫解答；1)四根通有宜流电流J的导线在盘y平面内的空间坐标依次是CaX(fl,-a,-a)取忙轴和，轴方向单位矢屋为：和八考虑通电导线外任一点(x,y).导嵯】、2.3、4上的电流在点(曲刃产生的磁场色禺、尽、闰为B土地()_O_初+(工*叨2

27、n(x+oj+fy-er)2f(r-a)2+(j?-fl)2g_地(尸小+仗-砒2n(x-a)2+(y+a)2竝_(尸刖+心+叨*2n(je+dy+ty+d?导线电流在谑电导线外产生的意磁场的空闾分布为好=纠+场+是+耳-如yw_*y+也y+貝2tr|l(x+a/+0af_(X-ofy-ofx-af+(y+ofX+iJ(x+fl32+(y-a/x-ax-ax-a(x-a)2+(y-aY(x-a+(y+(x+a+(y+o)2C2)对于原点O附近的任一点(x,y)t有Ixktiy|a保留至艺、艺的一次顼.甜、场、比、比可近似为aaTOC o 1-5 h zB.-x)i-(d+y)j4%a尽和蛊刚凤

28、衍粕2+1+凶用+|材式中甘如式所示*由系蜕的电流分布可以斷定.在工专平面内磁感线最稱疏的位直应该在兀轴或尸轴上，或者说束缚势垒高度播小的位置应谡在工轴或y轴上.这也是原子在工-尹平面冉最容昜逸出的方向。由武，y=0时*在工轴上束缚势能为F(hj=0)=出由极恒条件也竝=0得dx班3宀40)受到一指向原子中心的需效线性回复力-诚rO为价电子相对于原子中壮的位矢)作用*做固有圆频率为叫的简谐振动，发出圆频率为吗的光，现将该谅子鱼于沿g轴正方向的匀强雄场中，磁感应强度丈小为廿(为方便起见将抒参数化为8=).(1选绕磁场方向匀再谨转动的肆考系使价电子在该参考系中做简谐振动，导出该电子运动的动力学方程

29、在直角坐标系中的分董形式井农出其解；将门问中解在理角坐标系中的分量形式变换至冥验室参考系的直肃坐标系；(3)证明在实验室鑫考系中原子发出的圆频奉为強的谱线在磁场中一分为三，并对弱就场(即情形，求出三条谱线的频率阖隔己知t在转动角速度为擔的转动参考粟中，运动电子受到的惯性力除惯性离心力外还受到科里奥利力件用+弯电子相对于转动畚考系运动邃度为M时.作月亍电子的科里奥利力为ft=-2mav*解法C-)CDCliE离子中心为原点O的实验室裁考靈。耶与以角連度q绕Q轴旋转的参考采口炒女如图所示*工轴和#轴重合沿磁场方向。记阴券考系坐标轴正向单位矢虽分别为i、A*和F、,k旋转系中”检电子除受线性回麵力-

30、朋请和洛伦弦力外，还曼惯性离心力-matx(x(*r)-2m&)xvf或写咸等检的分量形式耳=一咖誇=m=xr)+2m(a-加)x涉式中，fOjJct09=加，卜而eB仇=T2m式也可写成等价的分量形式+(2%-如ct工_2聊(軽一痕)刀；耳=_e确+(2cub-ct)(wyf+2nj(o令F1=-/Wor+mv扎*（%）=_:（濟卜屍）（理+jjf）+磁#Jk这是各向异性的线性回負力.旋转寿中怕电子运动的动力学方程为ma*=F1利用式，式的裁量形式为空=-風+忧卜”方-何十蚯）#z*=-歸#这是三维简谐振动的动力学方程.其解为=4遇（J峪吩+审、）非=舛giii（就+就理）z*-j4jcos

31、（af0t+钙）武中，常量划、月厂赴和隔、葩、鈣分别是拍逆的振幅和柑位它怕由价电子的初始竝置与初始速度决宦.（2由几何关系.可得两参考系之间的坐标变换关系为jc=xcofior-ysintut、y-j/sinrwr+y*cestui今co畑2礬）+中coMfiV+eJ卜中4（砂+供）牛in（cVS）十字也（如十胡一牛10（必十诉）-j=j4jeos（心（/斗普）榕式代入式.利用积化和差公式*并注意到式.可得实验室参考頁中的解为-学Uflfi（曲+性）sin（cu_t+sin（他（+flp2）式中处二J蚯十咙土叫GOS（04r+理）=&COS（+）新n（耳$+诃）+合客in（oLt斗A；cos（

32、yt+）=A_GOS（他f十磁）Jsin（.t4-）=A.sin（ty_+）23扌艮据同方向同频率简谐振动合成的振幅矢量法.可令合冷（叫+谄）+41号cos（yt卜巒）-sin（v.t+）-而式化为x-A+cosjdf十帆）十虫一C0s（fti_f+?）y=AAsinfrif+（pt-A.sin（毋F十少_）眄）i22Ajco&可见，处于磁场中的原子的价电子参与三个频率的振动，发出三种园频率分别为化、鸣、他的光.对弱磁场（即吒情形.由宾.略去二阶小量潯，园频率可近似为陀知闵J士帆三蘇谱魏的匿盲率间隔芳站+-叫=%-他=%评分參牌，本题40井，第（1问20分，式各2分*式百分，式各2令、式斗分+

33、式2分;第（2问9分，驰式各3分|第（:J）问11分，式2分，式3分，式各2分“解袪U）乎盘一探”十2殴左z=-疏孑对方裡做变换Ix=才沁帧一ySin就y=rJsin&H+ycostwfz=zf对上式关于时间驶导得dx（dxf/（UVCOSO/dtIdi）t+sinfftf=0costwr=0式对于任意时间f时刻成立.应有:p2（!）-既）詈e（妙一瑟2rtYI+2（0?1叫导-（a/-時-2omul）/=0如果选掙word.zl-word.zl-则上式化简为害+（亦诚）齐0窖*（咙+邂）V与F满足的方程合井，得转动番考系中的动力学方程沟等二-（磁十蚯X器=一魔+犹）/护FV问，与解法（一）相

34、同解袪（1场沿g轴方向，价电子受到磁场洛仑掘力在垂直醯场方向的平面上。在该平面上取极坐标（G眄下*价电子的位式、运动速度和加速度可分别表示沏单二pefi+setv=pefi+p&es+zka-p-pHag2p0十品二丄出方）pof式中.耳、片和点分别是锂向单位矢量、角度方向即垂直磁场方向的平面上垂直于p的方向单位矢量和沿向（与璀场方向相同）单位矢量“利用牛顿第二定律可得.价电子运动的动力学方穆为ma=*r-evB=-mwr-2ma/Lp&ep+2ma）Lpe$式中eB动力学方程的分虽形式为选一绕盅场方向匀角速转动的参考系”谶此壽考聚绕r轴转动的棉連度为(血与时间无关人在这旄转參考系中.设在垂直

35、磁场平面上瀚位置坐标为/应有0=+0*将上式代入动力学方程的第二个方程，有如果选择6?=便有这表明旋转系中电子在角度方向上不受力，由上式得dr由于上式对于所有的Q均晏成立，故常量C=0即有所以，在绕磁场方向以.匀角速度曲L转动的參考系中，价电子的动力学方裡为可见”在旋转系中*价电子做简谐振建h方程的解为心&汀磋”齢)z=AtCQS(or+其中名“典、轨、.鶴为侍定常量。(2)将旋转聚中的解武变冋到实验室坐标系由式和式第二式有叫将上式和或代入下式X=pcosy=psinS利用三角函数积化利差关系得2令cg（V+侑十鶉）y=jsin（a）J+2+85（妇+吧,_瞬）曙+轻）+环-嗚）2=甩cos（

36、?6f十偲）式中或由几何关系，可得实验室参老系和艇转系之间的坐标变换关系为x=xcoscuf-yminrwt=/jcosccstjuf-/?sinrsinfijf4y=Twin命十”GQst）f=pco$&winter+Q呂in歹cos/wf=zr将式代入式，和用积化和差公式*并注意到升吋可得实脸室参考系中的解为CO（fitt卡如一牛COS（U_J4-赳）gin（tw_t+）-sin（aj+甲、x=|_cos（呼+i）*y-cosar+*，=序恤（妙+钩H令弘（zJcos（aJc/+玛）stn（ojtr+化式中.常虽尽、凡、挡和的、段、鸭是由价电子的初始位置与初始速度决定的常量，且与无环、%、

37、理八转有关*而耳=J+瞇土吒3）的解法与解法（一）相同评分矗考|与解法相同。解法_2叫y+2x-晞eB中第三牛方程的解为2.COS（%f4-（p）中前两个方程具有下列形式的解sc=Aycas（tu=4sin（血斗込）将式代入方程得心禺不全为牢）这里解为a)LpOrp-2mtaLpef式屮式可写为Q-p=J叫p&pdtZ中第二个方建可写为dt边f?2&=4-C此式对于所有p都成立，任意常数C=Q.故4他，日=（V十嗚将上两式代入中第一式得B-一诚P-沁P即沪=一（砧+蚯8价电子在覚少乎面上的橙向运动即口随时间的变化）超园频率为血；底的简谐振动，其一般解可写成P=Afl皿（J硯+蚯r+Ptf）式中

38、，纬和钙，分别是相应的振幅和相位由上式及中第三式彳寻x=x?cos&=心uos（Jffi+诡y=psin0=Aficos（确+近z=Ascos（flf+輕+叫卜。或+必）+锋卜in（iV+轴）2cos利用三角函数积化和差公式得+G05（他f4做）式中二屁+诚现式可写为x-Acos（u4.r+）+A_cos（ry.t+_）$=十sin（co+t+劭）一/一sin+（p_）Z=GO5（魁f+弼）TOC o 1-5 h z可见，处于磁场中的原子的价电子墨与三个频辜的振动，发出二种园频率分别为购、叫!、0_的光。对弱磁场f即化V叫）情形由式.喘去了二阶小量得园频率可近似为鸣怜土叫三条谱线的园频率间隔为

39、処-珥;二歐-他=吒评分琴耆；本题22分。W式各2分a沁40）如图，太空中有一由同心的内球和球壳构成的实验装買，内球和球壳內表而之伺为頁空，内球半径为r=0200m，溟度保持恒定.比辎射率为e-0.800；球壳的导热采數为LOOTynryKf内、外半径分别R=0.900m.R严LOOm,外表面可视为密体亍该实验装置已处于热稳定状态.此时球壳内壺面比辐射率为F=0.800,斯特藩常量为cr=5.67xlOeWm-2.K-4.宇宙徽波背景輻射温度为=273监若单位时间内由球壳内表面传递到球壳外表面的热量为e=44.0W,求1）球壳外表面齿度珀扌球壳内表面温度门3）内球盂度7；.已知！物体表面单位面

40、积上的辐射功率与同遍度下的黑坏在该表面单&面积上的辐射功率之比称消比縮射率.当矩射照射到物体表面时*物体表面单位面积吸收的辐射功峯与照射到物体单位面积上的辐射功率之比称为吸收比在魁平衡状态下.物体的吸收比恒需于该物体在同温度下的比細射率。当物体內某处在左方向（热流方向）每也位距离温度的増量为空血时物体内该处单位时间在F方向每单位面积流过的热量为姿*此即傅里叶憩传导定律“擔壽解答：（1根据斯特藩定棉（下同人由球壳外表面单位时间向外界辐射的热量为g,=4a（T；-r*）在热穗宦情形下有Q=Qf联立式得将题给数据代入式得r2=88.6K在热稳定扶态下、球壳中不同半経的球面上在单位时间内適过的热量相同

41、*故单位时间球壳中不同半径球面上传导的热屋也为0。曰傅里叶热传导定律得式可写成R2对上式两边积分甕影TA此即由式有4亦尽巴2将题给取据代入式*井利用式得7l=128K(1-町(1-&”吨辱C?披II在单位时间内吸收的鯛量为储一驱护=&(17)(1用“刃;爲如此等等.不断反射、吸收后*械II在单位时闾内吸收的总热量为3严盈斗蠹十=的刃；生1+(1町(1-)+(1-s)2(l-+同理可得由II发射的热量醞=必时弘被1衽单位时间內吸收的总热址为Qb=EeaT；S1+(1-e)(l-E)+d(l-E”匚内球写球壳內表面之间在单位时间內交换的热量为0=2-Qm二Es(瞪$-X爲)+(】7)(1-E)+(

42、l7)(1+完咸武右边的求和得，单位时直内从内球传速给球壳内視面的浄撼量酋咖)由热稳迄条件QQ=；11二)(-%+尺片,1/4和式有4TtEe问分13分，0)式各5分.式3处第(2)问分12分*式各4分；第0问井)5廿，帝式各1分，式2分，式各1分，式2分式1分，式2分七、WO分用滅桧为633.ini的傲光水平瞪射竖直圆珠笔中的小弹竇在距离弹簧*2m的光屏（与徼光水平昵射方向垂宜）上形成衍射图橡，如图盅所示.其右图与19號年拍摄的苜玄DNA分子双螺旋结构X射线衍射圈像b）十分相似（1利用图目右图中鉛出的尺寸信息，通过测量估算弹簧钢雀的直径由，弹簧圈的半径R利弹簧的墀距pi图b杲用波抵为OHnm

43、的平行X射线照射DNA分子样品后，在距离样品9,0cm的題相底片上拍摄的假设13NA分子与底片平行，且均与X射线理射方向垂直。根据图b中给出的尺寸信息，试估算DNA螺旋结构的樂径F和螺葩0*说明：由光学原理可縮.弹资上两段互成角度的细铁甦的衍射、干涉图像与两条成同样角度、相同竞度的狭缝的衍射、干涉图像一致实际尺寸9.4cm團b(黑色表示X射线曝光较强s申心、零级亮纹不可见.1级亮纹刚奸可见，趴艮于级较清晰，却级亮纹E1DN直跃爛旋结构的美累“寅踪“了)蠢考解獰(1)平行激売東照射弾费可主、后照到两小段岡斜的细段，沿光束方向看，两段细復呈现交叉、氐根据题给说明，两苦分别产生与单缝衍射相同的条纹。

44、通过图日右图测量可得各组单缝衍射条皱中点逹违之闾的夹角为0=30细丝直轻和两抿相邻的平行细丝间距可通过祈射条纹的细节结构计算得到。可以看到，图右图中的衍射条级有一种长的空间周期和一种短的空间周期，分别对应细堂的衍射条纹和相邻细丝间空隙的衍射条纹。设第M级暗纹在屏上的位曽为忌，由于光屏远离细丝，衍射角克可视为很小的角，即对第M级暗纹近似有TOC o 1-5 h z注sin盘fadgmH今m片兄式中丸是澈允的波长.相邻暗纹间距为d通过图乱右图迸行测量，可得到长的空间周期为=7.9mm由式軒得细丝宜径為戏1=兄二-=034mm通过閤込右関进行测昼，可得到短的空间周期为-24-=1.7mm由式可得相邻

45、平疔细丝的间距为八、C401958年穆斯堡尔发现的原子核无反冲共振吸牧效应C即趨斯堡尔效应】可用于测鱼光子频率极微小的变化。穆斯堡尔因此荣获旧61年诺贝尔物理学奖类似于僚子的能级结构.原子核也具有廿立的能级*井能通过驭收或放出光子在能级间跃迁原子核在吸收和放出光子时会有反冲，部分能量转化为原子核的动能即核反冲能人此外原子核的激发态相对于其基态的能虽差并不是一个碓定值*而是在以；为中心、宽度为2厂的范圉内取值的。对于丹仇从第一澈发态到基态的跃迁.=23lx10LiJ厂諮32111爲。已知质9.5xOkgH普朗克常Sft=6.6K|0Jsf嵐空中的光速c=3.0 xl0mr;.如右閹所示.螺旅线在

46、平而上展开即成为一貞角三角形的斜边两条直角边的丧度份别为螺距戸和圈周长刼E点为斜边中点“由相鄒平行细丝间距坊和两交叉细丝夹角炉可算出礫峪结构的螺距d.ALp-=4V3cosX7co&2t2将己得到的数据(见式代入式得j?=1.6mm由右图中几何关系得2xF?厶=tail&=cotP2将式代入上式得臨能结构俯规圆的半径为R_d._ZL2ssin2x23in-22将己得到的数据吒入式得R=0.96mm(2由图b可测出各细衍射条纹中心的连线之间的夹帮矿为=84测出条纹的空向罔期JT为Xr=4.7mm利用式相邻分子链间距为沖二几务=29nm根据井子链闾距屮(见式1和夹角/见式)，由类似式，可算出蠟距；

47、/兄77，ir=3.9rung止2由类似式.可算出轴观半径卍忽略激发态的能簸宽度*求核反冲能，以及在考虑核反冲和不考堆核反冲的悄形下，iTFe从基态跃迁到激发态吸收的光子的频率之差；心考虑激发态的能级宽度.处于第一徽境态的静比原子核”FJ跃迁到基态时发出的光子能杏被另个静止的基态原子J，Fe吸收而跃迁到第一澈发态如发生则称为共振吸收?并说明理由。现将即F克原子核置于晶体中.该原子核在跌迁过程中不发生反冲。现有两块这样前晶体.其中一块静止晶体中处于第一撤发态的康子核刖F发射光子.另一块以.速度运动的晶体中处于基杏的原子核吸收光子。当速度的大小处于什么范围时.会发生共振吸收？如果由于某种原因，到达吸收晶体处的光子频率发生了锻小变化.其相对变化为10试设想如何测量这个变化（给出原珪和相关计算）?獲考解答=1）设该原子核从静止的第一激发态Fh跃迂到基态仕，