新沪教版九年级上册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形和比例线段（提高） 知识讲解 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点

2、二、相似多边形【：图形的相似 二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比要点三、比例线段【：图形的相似 预备知识】1 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段2比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）合比性质：如果 如果（3）等比性质：如果（4）比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中

3、项要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。要点四、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(APPB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例，这两个四边形不一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之

4、比都是3，但它们形状并不一样，因而也不相似.【总结升华】多边形的相似要满足两个条件：（1）对应角相等，（2）对应边的比相等.举一反三：【变式】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）【答案】A类型二、相似多边形2. 已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长.【答案与解析】四边形与四边形相似，且. 又四边形的周长为26 即四边形的四边长为：.【总结升华】多边形相似周长比等于相似比.举一反三：【变式】等腰梯形与等腰梯形相似，求出的长及梯形各角的度数.【答案】等腰梯

5、形与等腰梯形相似3. 某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米， 将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为， 很明显，所以做不到.【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.因为.类型三、比例线段4.（2016春上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值 【思路点拨】（1）令=k，则x=2k，

6、y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=yz，求出k的值即可【答案与解析】解：（1）=，令=k，则x=2k，y=3k，z=4k，=1；（2）x=2k，y=3k，z=4k， =yz，x+3=（yz）2，即2k+3=（3k4k）2，解得k=1或k=3（舍去），x=2【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键举一反三：【：图形的相似 预备知识 练习2】【变式】如果，那么的值是（）A. B. C. D. 【答案】B；提示：， = 故选B5. 宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个

7、正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】四边形ABEF是正方形，AB=DC=AF, 又,， 即点F是AD的黄金分割点， ,即 ，即， 矩形CDEF是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形和比例线段（提高） 巩固练习【巩固练习】一选择题1. 在比例尺为11 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为()A3 kmB30 kmC300 kmD3 000 km2. （2015兰州一模）若3a=2b，则的值为（）A. B. C. D. 3. 已知ABC的三边长分别为6cm

8、、7.5cm、9cm，DEF的一边长为4cm，当DEF的另两边的长是列哪一组时，这两个三角形相似()A2cm，3cm B4cm，5cm C5cm，6cm D6cm，7cm4.ABC与A1B1C1相似且相似比为，A1B1C1与A2B2C2相似且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为 ()ABC或D5.下列两个图形： 两个等腰三角形； 两个直角三角形； 两个正方形； 两个矩形； 两个菱形； 两个正五边形.其中一定相似的有（ ）A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组6. （2016山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感

9、我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GHAD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A矩形ABFEB矩形EFCDC矩形EFGHD矩形DCGH二. 填空题7. 在一张比例尺为1：5 000 000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为_.8. ABC的三条边长分别为、2、，ABC的两边长分别为1和，且ABC与ABC相似，那么ABC的第三边长为_9. （2016奉贤区一模）线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为 cm10.已知若若5x

10、-4y=0,则x:y=_. 11.如图：AB:BC=_,AB:CD=_,BC:DE=_,AC:CD=_,CD:DE=_. 12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论放大后的B是原来B的10倍；两个四边形的对应边相等；两个四边形的对应角相等，则正确的有_.三综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

11、15.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比. 【答案与解析】一选择题1. 【答案】B【解析】图上距离实际距离=1：1 000 000.2【答案】A【解析】3a=2b， =，设a=2k，则b=3k，则=故选A3【答案】C 【解析】 设DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，因为ABC与DEF相似，所以有下列几种情况：当时，解得；当时，解得；当时，解得；所以选C.4【答案】A 【解析】 相似比ABA1B1=，A1B1A2B2=，计算出ABA2B2.5【答案】A【解析】只有两个正方形和正五边形相似.6.【答案】D.【解析】设正方形的边长为2，则CD=

12、2，CF=1在直角三角形DCF中，DF=FG=CG=1=矩形DCGH为黄金矩形二、填空题7.【答案】350千米.【解析】设甲、乙两地的实际距离为xmm，1：5000000=70：x，解得x=350000000350000000mm=350千米. 即甲乙两地的实际距离为350千米8【答案】【解析】提示：ABC已知两边之比为1：，在ABC中找出两边、，它们长度之比也为1，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.9.【答案】55【解析】设AP=x，则BP=10 x，=，=，x1=55，x2=55（不合题意，舍去），AP的长为（55）cm故答案为：5510.【答案】11.【答案】1:3;1:2;1

13、:2;2:1;1:3.12.【答案】 解答题13.【解析】则分两种情况：（1），即, (2),即所以当，过点（-1,2）时， 当，过点（-1,2）时，.14.【解析】矩形MFGN与矩形ABCD相似当时，S有最大值，为.15.【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.设原矩形的长为x，宽为y，则剩下矩形的长为y，宽为x-y由题意，得令则，.（又），原矩形的长与宽之比为.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线 知识讲解 【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义

14、和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型（2）常用的比例式：3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二

15、倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一

16、条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理； (3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D作DKAB交EC于K点. 则，即 又AD=BE， .【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在ABC, DGEC,

17、EGBC,求证:【答案】DGEC, EGBC, ,即.2.已知，ABC中，G是三角形的重心， AGGC，AG=3，GC=4，求BG的长. 【答案与解析】延长BG交AC于点D,G是三角形的重心，点D是线段AC的中点，又AGGC，AG=3，GC=4，AC=5，即DG=2.5， BG:GD=2:1.BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM是ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DEBC.【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH BM=M

18、C 四边形BPCH是平行四边形 BHCD，CHBE 在ABH和ACH中， 有，DEBC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在ABC（ABAC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC 的延长线交于点P,求证：.【答案】过点C作CFAB交DP于点F,CFAB，ADE=EFCAD=AE,ADE=AED=FEC EFC=FECCF=CECFAB,即.类型三、平行线分线段成比例定理4. （2016兰州）如图，在ABC中，DEBC，若=，则=（）ABCD【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即

19、可【答案】C【解析】解：DEBC，=，故选C【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大举一反三【变式】（2015舟山）如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（） B. 2 C. D. 【答案】D提示：AG=2，GB=1，AB=AG+BG=3，直线l1l2l3，=，沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线 【巩固练习】一选择题1.（2016杭州）如图，已知直线

20、abc，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）ABCD12. 如图，在ABC中，DEBC，则下列比例式成立的是( )AB CD3. 在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DEBC，则等于( )ABC D4. 如图，ABC中，DEAC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )AB CD5. 如图，在ABC中，如果DEBC，DFAC，则下列比例式中不正确的是( )ABC D 6. 如图，ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) A2 B3 CD二. 填空题7

21、. （2016无锡一模）如图，直线ADBECF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是8. 如图，DEBC,BF:EF=4:3，则AC:AE=_.9已知点G是ABC的重心，AD是BC边上的中线，如果GD=2cm，那么AD=_.10. 如图，PMN,点A,B分别在MP,NP的延长线上，,则_.11. 如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点P,若AP=8，CP=12，BC=15.则AD=_.12.（2015香坊区三模）如图，ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DEFGBC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则EC的长为 .三.综合题13. 如图，已知，ABCDEF，OA=1

22、4，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.14.已知：如图，在ABC中，AB=AC，且，EGCD证明：AE=AF15. 如图，ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】abc，=故选B2【答案】 D.3【答案】 C.【解析】DEBC，,又，,即=.4【答案】D.【解析】DEAC，又AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，BD=4，即DE=.5【答案】C.【解析】提示： DEBC，DFAC，DE=CF, DF=CE.6.【答案】B. 【解析】作GMCD交AB于点M,E是AG中点，

23、MG=2DE,又G是BC中点，CD=2MG=4DE EC=3DG,即EC:DE=3:1.二、填空题7.【答案】2【解析】BC=AC，=，ADBECF，=，DE=4，=2，EF=28.【答案】4:3.【解析】DEBC, BF:EF=4:3，9.【答案】6cm.【解析】点G是重心，AG:GD=2:1，又GD=2，AG=4，即AD=6cm.10.【答案】3:2.【解析】，.11.【答案】10.12.【答案】9.【解析】DEFGBC，=，而AD：DF：FB=3：2：1，=，=，EC=9三、解答题13. 【解析】 ABCDEF，,又OA=14，AC=16，BD=12，OB=. 同理,CE=8，DF=6.

24、14.【解析】证明：EGCD，=，且，=，=，即=，AB=AC，AE=AF15.【解析】作DGBE,AD是中线，EG=GC,又AF：FD=1：2，EG=2AE,即EC=4AE, AE:EC=1:4.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定-知识讲解（提高） 1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作.k就是它们的相似比，“”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置

25、要一致，即，则说明点A的对应点是A，点B的对应点是B，点C的对应点是C；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理【： 相似三角形的判定（1） 高清：394497：相似三角形的判定】1判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角

26、形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？【思路点拨】注意

27、相似三角形判定定理的灵活运用.【答案与解析】(1).不一定相似，反例：直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)不一定相似，反例：等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3) 一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.【总结升华】要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.举一反三：【变式】下列说法错误的是（

28、）A有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似B全等的两个三角形一定相似C对应角相等的两个多边形相似 D两条邻边对应成比例的两个矩形相似【答案】C.类型二、相似三角形的判定2. （2016兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得A=D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长【答案与解析】（1）证明：ABCD为

29、正方形，AD=AB=DC=BC，A=D=90，AE=ED，DF=DC，ABEDEF；（2）解：ABCD为正方形，EDBG，又DF=DC，正方形的边长为4，ED=2，CG=6，BG=BC+CG=10【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用举一反三：【变式】（2015大庆模拟）如图，ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截ABC所得的三角形与ABC相似，则DE=【答案】解：D为AB的中点，BD=AB=，DBE=ABC，当D

30、BE=ACB时，BDEBAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当BDE=ACB时，如图2，DE交AC于F，DAF=CAB，ADFACB，BDEBCA，即，解得DE=综上所述，若直线DE截ABC所得的三角形与ABC相似，则DE=2或【高清课程名称： 相似三角形的判定（1） 高清： 394497：练习4】3.如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？ 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）【答案与解析】图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三 角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似 由勾股定理知，图（1）中，三角形的三边长分别为1，

31、图（2）中，三角形的三边长分别为1，图（3）中，三角形的三边长分别为，3图（4）中，三角形的三边长分别为2，由于，故图（2）中的三角形和相似【总结升华】判断三边是否成比例，应先将三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似4. 已知：如图，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】由于两个三角形是直角三角形，所以只要有夹直角两边的比相等，就有两个 三角形相似 ，（1）当时， 此时，即， 即当时，（2）当时， 此时，即， 即当时， 综上所述，当或时，这两个三角形相似【总结升华】本题仍是考虑两个三角形有一个角相等时，夹这两个角

32、两边的比相等时有两种情况举一反三：【变式】如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点（1）求证：（2）若，求的值【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：在中， ， DE=BF=4，DEC=BFC=90. EDC+DCE=90，FCD+DCE=90. EDC=FCD. ,沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习 相似三角形的判定-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知A1B1C1与A2B2C2的相似比为4：3，A2B2C2与A3B3C3的相似比为4：5，则A1B1C1与A3B3C3的相似比为( ).A.16：

33、15 B.15：16 C.3：5 D.16：15或15：162（2016湘潭一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD3.如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) .A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：24.下列各组条件中，一定能推出ABC与DEF相似的是（）AA=E且D=F BA=B且D=F CA=E且AB：AC=EF：ED DA=E且AB：BC=DF：ED5如图，在RtABC中，C90，CDAB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）A4对 B3对 C2

34、对 D1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是( ) .A.APB=EPCB.APE=90 C.P是BC的中点 D.BP：BC=2：3二、填空题7.（2016丹东模拟）如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，图中与ADC相似的三角形为 （填一个即可）8.（2015六合区一模）如图，在RtABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且lAB，P为l上一个动点，若ABC与PAC相似，则PC=9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是_.10.如图，点M在BC上，点N在AM上，

35、CM= , ,则ABMACB,ANCAMB,ANCACM,CMNBCA中正确的有_.11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=_.12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=_时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13.（2015春成武县期末）如图，已知ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使AMN与ABC相似，求MN的长14. 如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BDCE，AD与BE相交于点

36、F（1）试说明ABDBCE；（2）EAF与EBA相似吗？说说你的理由15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：CAOBCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.【答案与解析】一选择题1.【答案】A.2.【答案】B【解析】小正方形的边长均为1ABC三边分别为2，同理：A中各边的长分别为：，3，；B

37、中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，；只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为3.【答案】A .【解析】如图，做 AB,交ED于点N,M是AC边中点,AEM M,即 =AE,AE=AB，AE:BE=1:3，即 :BE=1:3. AB，D DBE,即CD:BD= :BE=1:3,CD:BC=1:2.4.【答案】C.5.【答案】B.【解析】ABCACD; ABCCBD; CBDACD.6.【答案】C.【解析】当P是BC的中点时，EPC为等腰直角三角形.二. 填空题7.【答案】ABC【解析】ACD+BCD=90BCD+B=90，ACD=B，A=A

38、，ADCACB（AA）.8.【答案】10或6.49【答案】5：1.【解析】如图，连接AE,则AEFCBF, 点F是AB的中点,正方形ABCD,EF:AE=BF:BC=1:2.设EF=K,则AE=2K,AF=K,即BF=K,BC=2K，CF=5K.CF:EF=5:1.10.【答案】.11.【答案】5:3:12.【解析】平行四边形ABCD, M,N为AB的三等分点AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3，即AP=AC,AQ=AC,QP=AC,QC=AC,AP：PQ:QC=AC: AC: AC=5:3:12.12.【答案】.三 综合题13.【解析】解：图1，作MNBC交AC于点

39、N，则AMNABC，有，M为AB中点，AB=，AM=，BC=6，MN=3；图2，作ANM=B，则ANMABC，有，M为AB中点，AB=，AM=，BC=6，AC=，MN=，MN的长为3或14.【解析】（1）ABC是等边三角形，ABBC，ABDBCEBAC， 又BDCE，ABDBCE； （2）相似；ABDBCE，BADCBE， BACBADCBACBE，EAFEBA， 又AEFBEA，EAFEBA15.【解析】（1）利用两边的比相等，夹角相等证相似. 由已知AP=2PB，PB=BO,可推出，,CAOBCO.（2）设, 是的比例中项， 是的比例中项. 即, , 解得. 又COBAOC, . （3），

40、即, 当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的性质及应用-知识讲解（提高） 【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质【高清课程名称： 相似三角形的性质及应用 高清：394500：相似形的性质】1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释

41、：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清：394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图

42、所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. （2016长春）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=

43、BE，EF与CD交于点G（1）求证：BDEF；（2）若=，BE=4，求EC的长【思路点拨】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案【答案】B.【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBCDF=BE，四边形BEFD是平行四边形，BDEF；（2）四边形BEFD是平行四边形，DF=BE=4DFEC，DFGCEG，=，CE=4=6【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质举一反三【变式】在锐角ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC

44、边上的高.【答案】过点B做BFAC,垂足为点F， AD,CE分别为BC,AB边上的高，ADB=CEB=90，又B=B，RtADBRtCEB,且B=B，EBDCBA,又DE=2，AC=6，2.已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积【答案与解析】DABC， ADEBCE SADE:SBCE=AE2:BE2 AEBE=1:2， SADE:SBCE=1:4 SADE=1， SBCE=4 SABC:SBCE=AB:BE=3:2， SABC=6 EFBC， AEFABC AE:AB=1:3， SAEF

45、:SABC=AE2:AB2=1:9 SAEF=【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方举一反三：【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清： 394500：例题分析2】【变式】如图，已知中，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长. 【答案】 (1)， . (2)的周长与四边形的周长相等.=6，. 类型二、相似三角形的应用3.（2015春江津区校级月考）如图，直立在B处的标杆A

46、B=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD【答案与解析】解：过E作EHCD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EFFD，ABFD，CDFD，EHCD，EHAB，四边形EFDH为矩形，EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，AG=ABGB=2.41.5=0.9米，EHCD，EHAB，AGCH，AEGCEH，=，=，解得：CH=3.78米，DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米答：故树高DC为5.2米【总结升华】本题考查了相似

47、三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC. 【答案】作EFDC交AD于F.ADBE，又， ，. ABEF， ADBE，四边形ABEF是平行四边形，EF=AB=1.8m. m.4.（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1AB与直线l的夹角为30，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作

48、正方形A3B3C3B4，依此规律，则A2014A2015= 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出菁优【答案与解析】2（）2014 解：四边形ABCB1是正方形，AB=AB1，ABCB1，ABA1C，CA1A=30，A1B1=，AA1=2，A1B2=A1B1=，A1A2=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，AnAn+1=2（）n，A2014A2015=2（）2014，故答案为：2（）2014【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注

49、意从特殊到一般形式的变换规律.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习 相似三角形的性质及应用-巩固练习（提高） 【巩固练习】一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1个 B可以有2个 C有2个以上，但有限 D有无数个2. 若平行四边形ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长为（ ）A1.8 B5 C6或4 D8或23. （2016兰州）已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为（）ABCD4如图G是ABC的重

50、心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( )A1：2 B2：1 C2：3 D3：25.（2015哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A =B=C=D =6如图，在ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF等于( ) A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25二、填空题7.（2015自贡）将

51、一副三角板按图叠放，则AOB与DOC的面积之比等于8.如图，ABC中，点D在边AB上，满足ADC=ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_.9.如图，在PAB中，M、N是AB上两点，且PMN是等边三角形，BPMPAN，则APB的度数是_.10. （2016衡阳）若ABC与DEF相似且面积之比为25：16，则ABC与DEF的周长之比为 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离

52、是_12.如图，锐角ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2，DE=2，则AC边上的高为_.三、解答题13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？14.（2015滕州市校级四模）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）其中ABBC，DCBC，E

53、FBC，EAB=150，AB=AE=1.2m，BC=2.4m（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0t6（1）当t为多少时，DE=2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与BCD相似？若能，请求出所有可能的

54、t的值；若不能，请说明理由【答案与解析】一选择题1.【答案】B.【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】A.3.【答案】A.【解析】ABCDEF，ABC与DEF的相似比为，ABC与DEF对应中线的比为.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】四边形ABCD是平行四边形，ADBF，BEDC，AD=BC，故选C6.【答案】 A.【解析】 ABCD中，ABDC，DEFABF， (DEF与EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.二、填空题7.【答案】1：3.【解析】ABC=90，DCB=90ABCD，OCD=A，D=ABO，AOBCOD；又AB：CD=BC：CD= 1：AOB与D

55、OC的面积之比等于1：38.【答案】3.【解析】 ADC=ACB，DAC=BAC,ACDABC,AB=BD=AB-AD=4-1=3.9. 【答案】120.【解析】 BPMPAN， BPMA， PMN是等边三角形， A+APN60，即APN+BPM60， APBBPM+MPN+APN60+60=12010.【答案】5：4【解析】ABC与DEF相似且面积之比为25：16，ABC与DEF的相似比为5：4；ABC与DEF的周长之比为5：4 11.【答案】30m.12.【答案】 6.【解析】AD,CE分别为BC,AB边上的高,ADB=BEC=90，ABD=EBCRtABDRtCBE，ABCDBE相似三角

56、形面积比为相似比的平方，= 9, =3 ,AC=3DE=32=6h=2SABC/AC=218/6=6即AC边上的高是6 .三、解答题13.【解析】（1）CDEABE， 又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米， AB=1.92米即图1的树高为1.92米 （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h， 竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米， 解得x=1.5（m），树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），解得h=3.44（m）14.【解析】解：（1）如图，作AMEH于点M，交CD于点N，则四边形ABHM和MH 都是矩形，EAB=150，EAM=60，又AB=AE=1.

57、2米，EM=0.60.61.73=1.0381.04（米），EH2.24（米）；（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，下面计算PR是否小于2米；由上述条件可得EK=EHPQ=0.24米，AM=0.6米，PKAM，EPKEAM，=，即=，PK=0.08（米），PR=PK+MN=PK+BCAM=0.08+2.40.6=1.8+0.081.94（米），PR2米，这辆车不能驶入该车库15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，6-t=22t，解得t=，故当t=时，DE=2DF；（2）矩形ABCD的面积为：

58、126=72，SABE=12t=6t，SBCF=6（12-2t）=36-6t，四边形DEBF的面积=矩形的面积-SABE-SBCF=72-6t-36+6t=36，故四边形DEBF的面积为定值.（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与BCD相似，则或，由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=3或t=1.2，故当t=3或1.2时，以点D、E、F为顶点的三角形与BCD相似沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习实数与向量相乘及向量的线性运算（提高） 知识讲解 【学习目标】1理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非

59、零向量，能画出它们相乘所得的向量；3认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.【要点梳理】要点一、实数与向量相乘1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：的长度：；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.

60、实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3. 实数与向量的相乘的运算律：设为实数，则：（1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律）要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么