2022届安徽省合肥一六八中学高三下学期5月最后一卷数学（文）试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 17 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 页2022届安徽省合肥一六八中学高三下学期5月最后一卷数学（文）试题一、单选题1若全集，则（）ABCD【答案】B【分析】根据子集的定义，结合补集的定义逐一判断即可.【详解】全集，故A错误； ，故，故选：B.2设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出的代数形式，由此确定【详解】所以在复平面内对应的点的坐标为，该点在

2、第二象限，故选：B.3据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男子伯，侯公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）ABCD【答案】A【解析】根据古典概型的概率公式计算即可【详解】由题知，基本事件的总数有种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，故所求事件的概率为.故选：A.【点睛】本题考查数学史及古典概型的概率计算，属于较易题4方程的解是（）A1B2CeD3【答案】D【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.【详解】，.故选：D.5已知正四棱锥的底面边长为2，高为，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面

3、的距离都等于，则（）A1BCD【答案】C【分析】根据题意画出图形，则可得，再由结合已知可求得答案【详解】如图，正四棱锥，为底面中心，则平面，设为的中点，连接，令，则由题意可得，且，解得.故选：C.6已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A该图象对应的函数解析式为B函数的图象关于直线对称C函数的图象关于点对称D函数在区间上单调递减【答案】C【分析】先依据图像求得函数的解析式，结合正弦函数的性质判断各选项的对错.【详解】由图象可知，即，又，所以，又，可得，又因为所以，所以，故A错误；当时，.故B错误；当时，故C正确；当时，则，函数不单调递减.故D错误故选：C7若为奇函数，且是的一个零点

4、，则一定是下列哪个函数的零点（）ABCD【答案】B【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案.【详解】是奇函数，且是的一个零点，所以，把分别代入下面四个选项，对于A，不一定为0，故A错误；对于B，所以是函数的零点，故B正确；对于C，故C不正确；对于D，故D不正确；故选：B.8已知数列的各项互异，且，则（）ABC2D4【答案】C【分析】由题意得可得，代入化简可得答案.【详解】由题意，得，则，即，所以.故选：C.9在平面直角坐标系中，圆C与圆外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】由圆与圆的位置关系和

5、直线与圆的位置关系，确定圆的半径的最小值，由此可求圆C的面积的最小值.【详解】由题可知，到直线的距离为，又因为圆C与圆外切，所以圆C的直径的最小值为，所以圆C的面积的最小值为.故选：A.10已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】依题意设，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；【详解】解：设，则有，在中，即，解得，又在中，即，；故选：D.11已知函数为定义在上的增函数，且对，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由题意将不等式转化为对恒成立，再由其在上的增函数，可得，构造函数，然后利用

6、导数求出其最大值即可【详解】，不等式对恒成立，对恒成立，函数为定义在上的增函数，化为：，令，则，时，此时函数单调递增；时，此时函数单调递减.时，函数取得极大值.则实数a的取值范围是.故选：D.12已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点E在线段上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）ABCD【答案】C【分析】如图，O1是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出O1E=1，当截面垂直于OE时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，由勾股定理得棱锥的高，

7、设球O的半径为R，则，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，当截面垂直于时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：C.二、填空题13若x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】13【分析】先根据不等式组画出可行域，再由，得，向上平移过点时，取得最大值，求出点的坐标，代入目标函数中可求得结果【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，向上平移过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：1314已知向量，向量，且，则向量的夹角为_.【答案】【分析】由两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量的夹角【详解】因为，所以因为，所以，又，所以，所以，向量的夹角为,则所以

8、，则.故答案为：.15若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_.【答案】1或【分析】根据导数的几何意义，由条件列方程求.【详解】设与和的切点分别为；由导数的几何意义可得，即，当时，当时，或.故答案为：1或.16设数列的前n项和为，已知，则_.【答案】960【分析】根据递推式可以得出数列奇数项和偶数项的特征，分别求奇数项和偶数项的和即可得结果.【详解】由，当n为奇数时，有；当n为偶数时，数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，则，故答案为：960.三、解答题17一场马拉松，不仅是一次身体的长途跋涉，更是对城市文化的寻找与认同.在某市举行的马拉松“半马精英赛”的赛事中，25名参赛选手的成

9、绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：(1)已知选手甲的成绩为85分钟，若从成绩不超过85分钟的选手中随机抽取3人接受电视台采访，求甲被选中的概率；(2)若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7，则称选取的样本具有集中代表性，试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本，并求该样本的方差.【答案】(1)(2)样本为：88、90、93、94、95；方差为，答案不唯一.【分析】（1）根据古典概率的求法，求出总事件数，求出目标事件数即可；（2）先计算平均数，然后选择一个符合要求的样本，再求方差.【详解】(1)成绩不超过85分的参赛选手共5

10、人，设为甲，乙，丙，丁，戊，随机选取3人的基本事件有：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，总数有10种，甲在其中有6种，记被选中的概率为.(2)因为25名参赛选手的成绩的总分为2300，所以总体的平均数为.具有集中代表性且样本容量为5的一个样本为：88、90、93、94、95，该样本的方差为.答案不唯一，符合题意即可.18如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，.(1)证明：平面平面；(2)点M在平面内，直线平面，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；(2)

11、先求四棱锥的高，再根据锥体体积公式求解即可.【详解】(1)连接交于点O，底面平面，又，平面，面，平面，平面平面；(2)连接，过A作交于点N，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以重合，因为，所以，又，,所以，所以，点M到底面的距离为，又.19在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.(1)求的值；(2)求边c的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由求导，利用求得，再由两角差的正弦展开式可得答案；（2）利用正弦定理和可得答案.【详解】(1)因为C为钝角，由，则，则， C为钝角可得为锐角，所以，可得.(2)由（1）可知：，则，则，正弦定理：，可得：.20已知函数.(1)若

12、，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，再由点斜式求切线方程；(2)化简不等式，通过讨论的范围分离变量，再利用导数求函数的最值可得a的取值范围.【详解】(1)因为，所以 又，所以切线方程为，即(2)由知，因为所以，当时，当时，当时，构造函数，当时，单调递增，当时，单调递减，故时，因此当，单调递减，当时，单调递增，故时，因此综上：【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.21已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，

13、且离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT|MN|的取值范围【答案】(1)；(2)，3.【分析】（1）由题可得，即求；（2）当直线的斜率不存在或为0，易求，当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，利用直线与圆相切可得，再联立椭圆方程并应用韦达定理求得，然后利用基本不等式即得.【详解】(1)由题可得， = 2 ， = 椭圆 C 的方程为：；(2)当直线 MN 斜率为 0 时，不妨取直线 MN 为 = ，则，此时，则；当直线 MN 斜率不存在，不妨取直线 MN 为x=

14、，则，此时，则；当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，因为直线MN 与圆相切，所以，即，又因为直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点：由，得，则，所以 MN 中点 T 坐标为，则，所以又，当且仅当，即 取等号，|OT|MN|；综上所述：|OT|MN|的取值范围为，3.22在平面直角坐标系中.直线（t为参数，为l的倾斜角.）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆，直线l与圆C交于M.N两点.(1)若直线l的斜率，求弦MN的中点Q的直角坐标与弦长的值；(2)若点.证明：对任意，有为定值.并求出这个定值.【答案】(1)，；(2)证明见解析，定值33【分析】（1）将代入圆C的方程，得.设点M，N，Q对应的参数分别为，由参数t的几何意义和中点坐标求得点和.（2）由（1）根据参数t的几何