三余弦定理与三正弦定理讲解

1、三余弦定理与三正弦定理L诳4为面上一点，4A的宣统9。在葡上的射影为鼻日，K为面上的一条 直爱，那区NQAC,/BAC,/CA3三角的余弦关系为:cosZOAC=cosZBACX cosZOAB （cosZBACfil cosZOAB 只 靠是锐角）通俗点说就是T箱线与平面内一条直线夹角9的金强值三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）=斜线与平面所或危仇的余弦值M射影与平面内直触来角的定理证明：如上图，自点。传比_L杷于点孔 过B作BC_LRC于匚 连CC 刘易知ABC、ACC、ZiaE。均为直角三角 ABAC 八 ACtv cos（?, =. cas 9k =tcos f?=OA AS QA

2、COS0 = COSd x COS0h辅助记忆1逡三个角中，角。是最大的，其余弦值最小.等于另外两个角的余弦值之 积.斜我与平面所成角3、是符数与平面内所有直栽所成的场中最小对角.2,设二直角YAB N的度数为。，在平面M上有条射线某，宣和棱AB所成角为产，和平面用成的角力，则sin/=sin（z sin户（如图）三正弦定理定理证明：如上国，过C作CO_L平面丫于直。，过Of乍直线OB_L二面角北建 于点B,连OA, CB,则易知CAO, ACBO, ABC均为直角三角形.一日 .CO . CO . BC于星，J-IZF ; 52ZF - smBAC BCAC sin y-sina. * si

3、nct如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合颍, 你会发现出平意料地简单，甚至不用作任何辅助线！如国.已知A1B1C1ABC是正三棱柱.D是AC中点.若ABl_BCI. 求以BC1为棱.DBC1与CBC1为面的二面角a的度数.（1994年全 国高考理科数学23题）解:取BC中点E,连BE, AE,则BiE为ABi在平面B】BDQ 上的射影由ABiJ.BG可推知BiEJ_GB。设垂足为H.BC = 2a.易知 itABE 中EH-3HE /.EH=BE2 = EH EBi 即苏=BE a 3又 cwN DBC = co$30。= v从而cosNHBE =坐0由三余弦公式得

4、cos/DBC】 = cqsNDBC cosNHBE=W -半=坐/.ZDBCl = 45 .又由三正弦公式知s加NDBC = s血NDBCi sia.s-NDBC $加30J2jmZDBCr = 2 a=45，例2己知RtAABC的两百角边AC=2, BC=3. P为斜边AB上一点.现沿CP将此育角三 角形折成直二面角A-CP-B (如下图)，当AB=V时，求二面角P-AC-B大小.(上海 市1986年高考试题，革度系数0.28)解 在图 4 的川(：中，AB=S, AC=2, BC=3.cojNaCB=4+9-7_j2X3X2-2AZACB=60Q又AC在平面PBC上的射影是CP, BC与

5、平面ACP所成角 为NPCB.，由三余弦公式得：ccsNACB=阴/ACP “sNPCB(1)曲三正弦公式得：jmZDCB= 5/nZACB sina(2)代人有关已知值，由(2)解得即所求二面角P-AC-B的大小为例3.已知菱形ABCD的边长为1, ZDAD-60c,现沿对角线BD将此菱形折成直二面用ABDC(如图6). (1)求异面直线AC与BD所成的角 (2)求二面角ACD-B的大小.例3题图解 设二面角A-CD-B的大小为a易知AO_L平面BDC,且AOC为等腰直角三角形,*.NACO=45 ,又知/DCO=3(T ,因此W?NACO=5历仪 si/iNACD.xos Z ACD=cos ZACO * cos ZDCOj 加45 = sina s/wZACD. :cos Z