方程与不等式文本解读

1、方程、不等式文本解读主讲人：柯宗友七上第5章一元一次方程七下第4章二元一次方程组 第7章分式7.4分式方程八上第5章一元一次不等式八下第2章一元二次方程方程、不等式章节安排：（1）对代数预备知识遵循“突出重点、分散安排”的原则 （2）螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断深化对它们的认识。 （3）联系实际，体现知识的形成和应用过程，突出建立数学模型的思想。 “数与代数”章节安排有以下特点： （一）本套教科书的编写根据学生的认知规律和各部分知识的内在联系按排章节，使“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三方面知识各自相对集中，保持适当的系统性和灵活性，同时又注重这些知识的联系。教科书的体例：教科

2、书的体例：（二）章的编写结构1.每章开头由以下部分组成：（1）章前图（2）引言（3）节目录2.章结尾由以下部分组成：（1）小结（2）目标与评定3.编入以“数学趣闻”“数学发现”“数学史”为主要题材的阅读材料。4.编入少量的选学内容（以阅读材料的形式出现）教科书的体例：（三）节的编写结构1.每节编入节前图，绝大部分节前图附有和课文有内在联系的简短说明。2.本套教科书按内容编节，对内容较多的节划分课时，节的编写有以下四个主要环节：问题情境数学活动（包括观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等）概括（包括建立模型）巩固、应用和拓展。正文表述中设置以下栏目：（1）“合作学习”。（2）“做一做”。（3

3、）“想一想”。（4）“课内练习”。（5）“探究活动”。3.每节后编入“作业题”作业题分三组：4.在某些节设置“设计题”（不同的设计题分布在不同的节中）。第一学段（13年级） 在本学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。 在教学中，要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体 会数用来表示和交流的作用，初步建立数感；应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述算理。 新课程标准各学段要求：数的认识（2）认识符号，的含义，能

4、够用符号和词语来描述万以内数的大小。参 见例1案例例1 对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些 、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用或表示它们的大小关系。 第二学段（46年级） 在本学段中，学生将进一步学习整数、分数、小数和百分数及其有关运算，进一步发展数感 ；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；获得解决现实生活中简单问题的能力。 教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进学生对运算意义的理解；应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问 题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免

5、将运算与应用割裂开 来，避免对应用题进行机械的程式化训练。 具体目标3式与方程 （1）在具体情境中会用字母表示数。 （2）会用方程表示简单情境中的等量关系。 （3）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程(如 3x+25， 第三学段（79年级） （1）方程与方程组。 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。能根据具体问题的实际意义，检

6、验结果是否合理。 （2）不等式与不等式组。能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。 第三学段（79年级） 1.能根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程或方程组，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 2.能用观察、画图或计算器等手段估计方程的解。3.会解一元一次方程。4.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）5.理解配方法。本部分内容在20

7、11年中考说明中的要求：6.会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。7.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。8.了解二元一次方程、二元一次方程组的有关概念。9.会解简单的二元一次方程组。本部分内容在2011年中考说明中的要求：10.根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。11.探索并掌握不等式的基本性质。12.会解一元一次不等式并在数轴上表示出解集。13.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并用数轴确定解集。本部分内容在2011年中考说明中的要求：一元一次方程 本章的内容是一元一次方程的概念、解法及应用。在小学阶段，学生已学习过方程及其解的概念，学习过等式的

8、性质，并会利用等式的性质解几类简单的方程，但没有学过方程中关于元的概念、次的概念。并且由于没有学过整式的加减运算，学生能解的方程非常有限。一元一次方程的概念、解法及其应用是进一步学习其他方程的必需的基础，许多方程最终都归为一元一次方程来解。一元一次方程在人们的日常生活和生产实践中有着许多直接的应用。所以，在小学阶段的基础上进一步学习一元一次方程是十分需要的。内容安排： 二元一次方程组 本章的主要内容有二元一次方程、二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法和应用。二元一次方程组在解决生活和生产实际问题有较多的应用，通过消元化归为一元的思想方法能使学生获得解决多元问题的经验，对学生进一步学习函数

9、、方程等代数知识有较大的帮助。内容安排： 一元一次不等式 本章的主要内容有不等式的概念及其基本性质，一元二次不等式和一元一次不等式组，以及列一元一次不等式（组）解应用题。本章是中学阶段代数不等式的起始内容，是今后进一步学习不等式的证明和解不等式的重要基础。客观世界中不仅存在着大量的相等关系，也存在着许许多多的不等关系。不等关系用不等式来表示，和方程一样，不等式也是刻画现实世界的一种重要的数学模型，它在生活和生产实际中有着广泛的应用。内容安排： 一元二次方程 本章的主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是一类重要的整式方程。分式方程、根式方程。以及高次方程等都是通过转化为一元一次

10、方程或一元二次来求解，因此，一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础。一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系，在日常生活和生产实践中有着许多应用内容安排： 任何一个一元一次方程都可以化成kx+b=0(k,b,为常数,k0)的形式,其解恰好就是一次函数y=kx+b(k,b,为常数,k0)当y=0时,自变量x的取值,反映在图象上,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标. 1. 根据一元一次方程与一次函数图象之间的关系,可利用图象法求一元一次方程的解.如利用图象法解方程3x-6=0可以分为以下几步:(1)根据方程3x-5=0,写出相应的函数关系式y=3x-6;(2)建

11、立直角坐标系,画出y=3x-6的图象;(3)确定图象与x轴交点的横坐标,写出方程的解.一元一次方程与一次函数的图象的关系2.根据一元一次方程与一次函数图象之间的关系,也可以通过解一元一次方程的方法求到图象与x轴的交点坐标.如求y= x-1.5与x轴交点横坐标,只要解方程 x-1.5=0,求到方程的解即可. 任何一个二元一次方程都可以转化一次函数的形式,任何一个一次函数关系式都可看作一个二元一次方程,函数图象上点的坐标就是二元一次方程的解. 二元一次方程组中的两个二元一次方程,都可以转化为一次函数的形式,也就对应着两条直线,两条直线的交点坐标也就是二元一次方程组的解. 根据函数图象可以求二元一次

12、方程组的解.其步骤(1)将方程组中的两个二元一次方程转化为函数关系式的形式(2)建立直角坐标系,根据两点法分别画出两个函数的图象 (3)确定两函数图象的交点坐标, 二元一次方程(组)与一次函数图象的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0的解集，在x轴下方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx+b0的解集。用此法解不等式，关键是作图，求出与x轴的交点坐标一元一次不等式与一次函数图象的关系中国古代数学著作九章算术第八卷的卷名为“方程”，这是“方程”一词的最早出处。“筹算” “算” ,上面是“竹”字，下面是“具”字 “算” 就是“竹制的计算工具” “方程”一词的由来 古代数学

13、家刘徽注释九章算术说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”。这里所谓“如物数程之”是指有几个未知数就必须列出几个等式，一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。 九章算术第八卷的卷名为“方程”， 第一题导致一个线性方程组，现代写法如下：中国古人在解题时把数据排成如图 现代意义上的列方程和解方程在我国古代称为“天元术”，这个方法大约在十三世纪出现在我国北方的数学界。李冶的侧圆海镜，益古演段，朱世杰（1300前后）算学启蒙、四元玉鉴都是十三、十四世纪的著作，他们用“天元术”来解决列方程的问题。 什么是天元术？首先根据题意“立天元一为某某”，与

14、现代数学中“设为某某”意义相同。其次再根据问题所设条件列出两个相等的多项式，两者相减，就得出一个一端为零的方程。 多项式的天元术记法相当于现代所谓的分离系数法：多项式按其各项幂的次数高低，自上而下直行书写，用中国数码字只记其相应系数，在一次项右边写一元字，常数项右边写一太字。例如，多项式：的写法记为： 九章算术是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。 后世的数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上

15、最早的印刷本数学书。九章算术简介九章算术简介 九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。九章算术简介九章算术的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。 第一章“方田” 第二章“粟米” 第三章“衰（sui）分” 第四章“少广” 第五章“商功” 第六章“均输” 第七章“盈不足” 第八章“方程” 第九章“勾股” 九章算术内容一、教科书内容和课程学习目标

16、 本章的主要内容包括：一元一次方程的有关概念和解法，利用一元一次方程解决实际问题，问题解决的基本步骤。 “一元一次方程”简介1教科书内容2本章知识结构图实际问题情境等式方程一元一次方程解法应用等式的性质问题解决的基本步骤（1）经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。（2）通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。（3）了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。3. 课程学习目标（

17、4）能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。（5）通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。3. 课程学习目标1、 突出问题解决的意义、过程和方法。2、 突出数学教学是活动教学的观点。3、 充分体现了教学内容的基础性、应用性、层次性和发展性。本章教科书的编写特点1注意做好与前面学段的衔接，在学生已有的基础上得到发展。2关注方程与实际问题的联系，体验方程的工具作用。3 重视数学思想方法的教学。4. 建立有效的评价机制，发挥

18、积极的评价功能。几个值得关注的问题1从具体的数的运算到数与字母一起参与的运算是学生数学思维的一次大飞跃。 2要掌握一元一次方程的解法，需要一定数量的训练。 3列方程解应用题的过程比较完整地体现了问题解决的四个基本步骤，在教学中要突出关于问题解决的策略、思想和方法的指导。 本章教学中应注意的问题（1） （2）错点1： 15x-5=8x +4 -1, 15x-8x=4-1+5, 7x=8错点2： 解方程错题分析 错点： 2x-2 -x+2=12-3x（3） x 错点1：2x-5（3-2x）x错点2：2x-15-2x10 x（4） 3（x-2）= 2 - 5（x-2） 错点1：3x - 6 = 2

19、- 5x + 2 错点2：3x - 6 = 2 - 5x 10 4、去括号漏乘系数与不变号错题分析错点主要集中在以下几点：1、去分母时，不含分母的项漏乘最小公倍数2、移项该变号的不变，不该变的却变了3、系数化1时，除数和被除数颠倒位置（1）小明用每小时8千米的速度到某地郊游，回来时走比原路长3千米的另一条路线，速度为每小时9千米，这样回去比去时多用 小时，求原路长。分析：去时和回来时的时间谁多谁少经常容易弄错。应用题错题分析解：设原路长X千米错解： = + （2）李小明一年前存入一笔钱，年利率为2.25%，但要缴纳20%的利息税，到期共获得本息和为16288元，求李小明一年前存入银行的本金是多

20、少？解：设李小明一年前存入银行的本金是x元，正解：x + 2.25%x（1-20%）=16288错解：（1+2.25%）x（1-20%）=16288分析：缴税只需交纳利息税，本金不需缴税。若本题未牵涉缴税，则x+2.25%x-16288与（1+2.25%）x=16288均可。（3）汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间。 错解：（只说明列一元一次方程解法的错解）错解1：设原计划行驶的时间为x小时。45（x + 30）= 50（x - 30）错解2：设原计划行驶的时间为x小时。错解3：

21、设甲、乙两地之间的距离为y千米分析：存在上述几种错解，原因为：1、时间单位上未统一；2、时间在延误、提前的关系上未弄清楚。 （4）某中学开展植树活动，让七（1）班单独种植，需要7.5小时完成；让七（2）班单独种植，需要5小时完成。现在让两班先一起种植1小时，再由七（2）班学生单独完成剩余部分，共需多少小时完成?错解：设七（2）班完成剩余部分需要X小时，根据题意， 得 解得 由题意知，x不能为负，此题无解。 分析：方程左边1+x是二班学生完成植树总共需要的时间，右边为全部的工作量，方程两边的意义不同，故以上解答是错误的。（5）有一架飞机，最多能在空中连续飞行4小时，它在飞出和返回时的速度分别为9

22、00千米时和850千米时。这架飞机最多飞出多少千米就应返回（精确到1千米)?错解：设飞机飞出X千米就应返回。根据题意，得解方程，得分析：错解是按四舍五人法求解的，而此题的实际意义告诉我们只能采用“去尾法”，否则会出现现重大“事故”。答：这架飞机最多飞出1749千米就应返回。（6）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字的和是这个两位数的 。求这个两位数。 错解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1），根据题意得：解得 答：不存在这样的两位数。因x为正整数，故无解。分析：错解中把这个两位数写错（表达式错误）而造成无解。应当是十位数字乘以10再加上个位数字为这个两位数

23、。四个方面： 1、小学时学生主要用算术解法来解应用题，受此影响，学生不习惯利用代数法来分析和处理问题；关于“列一元一次方程解应用题”的教学与思考2、寻找相等关系的有无从下手之感；3、找到相等关系后，不能顺利地利用代数式的过渡列出方程；4、当问题中含有不只一个未知数时，不知道该选择哪一个未知数来设元较为简单。一、要让学生感觉到代数解法与算术解法相比有明显的优点。二、要让学生学会怎样寻找相等关系。1、代数式法。2、图示法。3、表格法。三、解应用题常用的列方程的方法在概有三种。1、直接设元法2、间接设元法引导学生逐步掌握设元的技巧。一、本章主要内容和课程学习目（一）本章主要内容 本章主要内容有：二元

24、一次方程的概念及其解的不唯一性、二元一次方程组的解法及建立和运用二元一次方程组这种数学模型解决一些简单的实际问题。 41二元一次方程。 42二元一次方程组。 43解二元一次方程组。 44二元一次方程组的应用。 “二元一次方程组” 含有两个未知数的实际问题列方程组解应用题二元一次方程二元一次方程组解二元一次方程组代入法加减法本章知识结构 1以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型课程学习目标 2了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关

25、系 3了解解二元方程组的基本目标（使方程组逐步转化为x=a， 的形式），体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法课程学习目标 4通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见下图），体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力1素材丰富，取材来源于学生的现实生活。 2注重学生参与数学活动。 3重视知识的形成过程，突出数学思想方法。 本章的编写特点（一）注意在对方程已有认识的基础上发展，做好从一元到多元的转化。（二）关注实际问题情景，体现数学建模思想 。（三）重视解多元方程组中的消元思想。（四）加强学习的主动性

26、和探究性。（五）注重对于基础知识的掌握，提高基本能力。（六）关注相关的数学文化。几个值得关注的问题 一、本章主要内容和课程学习目标 （一）教科书内容 本章的主要内容包括：不等式、一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式（组）分析与解决实际问题其中，以不等式（组）为工具分析问题、解决问题是重点，也是教学中的主要难点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；掌握一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能和能力本章重视数学与实际的关系，注意体现列不等式（组）中蕴涵的建模思想和解不等式（组）中蕴涵的化归

27、思想 “不等式与不等式组”简介5.1认识不等式 5.2 不等式的基本性质 5.3 一元一次不等式 5.4一元一次不等式组 全章共包括四节：不等关系不等式不等式的性质一元一次不等式不等式的传递性不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得不等式仍成立不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号改变方向，所得不等式成立应用不等式解决简单实际问题解一元一次不等式解一元二一次不等式组在数轴上表示不等式的角（二）本章知识结构（三）课程学习目标 1了解不等式、一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或

28、不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型2通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法3了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为 的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想5会根据具体问题中数量关系列一元一次不等式、一元一次不等式组解决实际问题，探索一元一次不等式（组）在解决实际问题中的应用（三）课程学习目标 4了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集（一）突出建摸思想，实际问题作为大背

29、景贯穿全章（二）注重知识的前后联系，强调通过比较来认识新事物本章的编写特点（一）注重类比，做好从方程到不等式的迁移（二）突出数学建模思想，反映不等式（组）与实际问题的联系 （三）重视数学思想方法的渗透几个值得关注的问题 一、教科书内容和课程学习目标 （一）教科书内容 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及运用一元二次方程分析和解决实际问题. 其中21节是全章的基础部分，22节是全章的重点内容，23节是知识应用和引申的内容。另外，阅读材料介绍了一元二次方程的发展，让学生了解数学的发展史。“一元二次方程”简介2.1 一元二次方程 22 一元二次方程的解法 2.3