判定函数单调性的几种方法(图文)

1、判定函数单调性的几种方法(图文)论文导读：函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。关键词：函数，单调性，判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质，从高中接触函数单调性开始，我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法，本文将判定函数单调性的多种方法给出，由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中，这种题型比拟抽象，综合性较强，对学生的能力要求较高，学生往往难解其意，不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系，本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。判定函数单调性的几种方法1.1利用函数

2、单调性的定义一般地，设函数的定义域为：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有或，那么就说在这个区间上是增或减函数。给出定义后，我们就可利用定义判定函数的单调性。例1 讨论函数的单调性。解：函数的定义域为，任取两个实数故在上是增函数。论文参考。例2 讨论函数的单调性。解：指数函数的定义域为，任取两个实数，=当时， 此时函数为增函数。当时， 此时函数为减函数。1.2利用反函数的单调性我们知道，一个函数假设为严格增或减函数，那么其反函数也为严格增或减函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。例3 讨论反余弦函数的单调性解：因为是余弦函数在的反函数，在上为严格减函数，故在

3、定义域上为严格减函数1.3利用根本初等函数的性质幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种根本初等函数，它们各有增减区间。那么我们就借助根本初等函数的性质来判定函数的单调性。例4 判断函数的增减性解：依据指数函数单调性可知：在上是增函数例5 判断函数在上的单调性解：依据幂函数单调性知：在上是减函数1.4利用复合函数的单调性定理1 设有复合函数，当与同时为增或减函数时，函数为增函数，否那么为减函数。论文参考。例6 讨论函数的单调性。论文参考。解：先求出函数定义域： 解得：或函数的定义域为，令为减函数，在区间上为减函数，故在上为增函数，而在区间上为增函数，故在上为减函数1.5利用的单调性定理2

4、 假设函数为增或减函数,那么函数，当时为增或减函数，当时为减或增函数。例7 讨论函数的单调性解： 而为减函数，由定理2可知，为增函数1.6利用倒函数的单调性定理3 正或负值函数假设为增或减函数，那么其倒函数在其公共定义域内为减或增函数。例8 讨论函数在区间上的单调性解：在区间上是减函数，由定理3知，在区间上为增函数1.7利用函数的单调性判定函数和的单调性定理4 两个具有公共定义域的增或减函数之和仍为增或减函数例9 讨论函数的单调性解：函数定义域为 在此区间内，为增函数，由定理3知，为减函数，由定理2知，为增函数，由定理4知为增函数1.8利用函数的单调性判定函数积的单调性定理5 两个正值增或减函

5、数之积为增或减函数；两个负值增或减函数之积为减或增函数例10 讨论函数的单调性解：函数在区间均为正值增函数，由定理5知在区间上均为增函数1.9利用导数定理6 设在区间上可导，那么在上递增或递减的充要条件是。例11 讨论函数的单调性解：函数的定义域为，由复合函数可导性可知在定义域上可导。令得，它将定义域分为两个区间： ，在区间内 函数在此区间内是增函数，在区间内 函数在此区间内是减函数判定抽象函数单调性的几种方法对于未给出具体函数式的抽象函数，需充分挖掘题目条件所提供的信息，具体方法如下：2.1定义法通过作差或作商，结合条件进行变形分解因式，配方等，再与0或1的比拟来判断其单调性。例1 设函数对

6、任意都有，且时，试讨论函数的单调性解：当时，得，当时有，由知是奇函数，又因时，任取有，所以在上是减函数这类题通常用赋值法取特征值探路;，以便得出一般结论，使问题获得解决例2 在它的定义域内是增函数，证明在其定义域内也是增函数证明：在的定义域内任取两值且，令，那么假设根据在定义域内是增函数，得，这与矛盾。故，即在其定义域内也是增函数。2.2逐层判定法对复合函数先弄清它的复合过程，然后再按从内到外的顺序进行分层判定，直到得出正确结论。例3 定义在上的偶函数的一个单调递增区间是，那么函数的一个单调递减区间是？解：视为的复合函数，令，是由内层函数，中层函数和外层函数复合而成。因是偶函数，所以时，递减，故时，递减。由可得，。因在时递减，在时递减，所以在时递增，又当时递减，因此在时是减函数2.3列表法比照拟复杂的复合函数，除进行分层讨论外，还可通过列表，将参与复合的各个函数的单调性展示出来，然后按复合函数单调性规律同那么增，异那么减;，得出正确结论。例4 是偶函数，且在上是减函数，求是增函数的区间解：令，那么原函数是由和复合而成，当时是增函数，时是减函数。因是偶函数，且时递减，所以函数，当时是增函数，在时是减函数，又即，得或；得，由此，从下表讨论复合函数的单调性 函数 单调性 增 增