随机事件与概率

1、关于随机事件和概率第一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月题型一 随机事件的关系和运算随机试验：对随机现象所做的观测，特点：重复性；所有基本结果是明确的；结果的随机性。2. 样本空间：每个基本结果称为一个样本点，记为所有样本点构成的集合称为样本空间，记为3. 事件：（1）试验结果所发生的现象 （2）样本空间的一个子集，即分为第二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月 ,不一定有 不一定有4. 事件的关系和运算（6个）：互不相容（互斥）注：集合的所有运算律完全适用于事件，常用的有：结合律，分配律，德.摩根律等第三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月作用：如何把一个复杂事件分解，用

2、一些简单事件来表示，一定要会表示“恰好”、“至少”、“最多”第四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题1：掷一枚硬币3次，设事件Di表示“第i次出现正面”，i=1,2,3，（1）Ai表示“恰好出现i次正面”， i=0,1,2,3 (2) Bi表示“至少出现i次正面”， i=0,1,2,3 第五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月(3) Ci表示“最多出现i次正面”， i=0,1,2,3第六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题2：设事件A与B满足则= . 解 （A）若A与B互不相容，B与C互不相容，则A与C互不相容 例题3：设A,B,C为随机事件，则下列结论正确的是（ ）

3、（B）若A与B独立，若B与C独立，则A与C独立 (C) 若A包含B，B包含C，则A包含C(D) 若A与B对立，若B与C对立，则A与C对立解（B）中令; (D)中答案：C第七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月 例题4：（1） 那么A,B相互独立吗？ 解 不相互独立 （3）那么A,B相互独立吗？A,B互不相容吗？，且设A与B互不相容，且A,B相互独立那么A,B相不相容吗？ A,B相容注（1） 条件下，互不相容和相互独立之间没有任何联系。验证独立性相对要容易一些。第八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题5：A,B为任意两个不相容的事件，且，则必有( ) （A）不相容 （B）相容 (

4、C) (D) A,B相互独立 解 （B）若答案：CA,B相互独立,但A,B不一定互不相容第九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月题型二 随机事件的概率1. 概率的定义：刻划事件A发生的可能性大小的数值，记为统计定义：大量试验中，频率总在一个常数p附近来回摆动，把p值称为概率此定义说明了频率和概率之间的近似关系，概率频率公理化定义：，称为集合函数，且满足(1)非负性：(2)规范性：第十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月(3)可列可加性：设事件，则有 注：面积+规范性=概率，所以我们可以把概率形象地看成面积2. 性质： （1）有界性：(2) 单调性： (3) 有限可加性：设事件，则有

5、特别地，第十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月3. 条件概率：在B 发生的条件下，再考虑A发生的概率，称为条件概率，记为理解：已经知道试验结果的部分信息下，再求A的概率。 因为不发生，只需要在B的范围内考察A，此时的样本空间为B, 显然样本空间缩小了。转化为无条件概率：也是一种概率，因为满足公理化定义的三个条件。 第十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月4. 古典概率：（1）有限集 （2）等可能性任何事件A, 5. 几何概率：(1) 是一个可度量有限区域（一维、二维、三维），为的容积。第十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月 （2）等可能性：中任何一点都等可能地被取到

6、 事件为有限区域，为A的容积, 则有6. 加法公式： 第十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月7. 乘法公式： 第十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例1：解：第十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题2： 设A,B是两个随机事件，且则解：第十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题3：（96考研题）已知且 则下列选项成立的是（ ） 第十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月解：答案：B第十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题4：设A,B为任意的两个事件，且 则一定有( ) 答案：B第二十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题5（9

7、6年考研题）考虑一元二次方程 其中B,C分别是将一枚骰子连续掷两次先后出现的点数。求该方程有实根的概率和有重根的概率。解：A1=“方程有实根”A2=“方程有重根”第二十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第二十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月补充： 球随机投入盒子例4 n个小球随机的投入N个盒子， 假设每个盒子能容纳小球的个数不限，求下列事件的概率。123Nn小球盒子（1）每个盒子至多有1个球；将这n 个小球一个一个往盒子里放（样本空间的角度）第二十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月（2）有1个盒子有2个球，其余的盒子至多1个球；23Nn-2小球N-1盒子（3）三

8、号盒子有2个球，其余的盒子至多1个球；第二十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例6：设有n个人，每个人都被等可能地分配到N(nN)个房间中去住 ，求下列事件的概率。（1）指定的n个房间，其中各住一人；（2）恰有n个房间，其中各住一人； (3) 某指定的一个房间中恰有m个人住。第二十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月解：（1） A=“指定的n个房间各有一个人住”（2）A=“恰好有n个房间，其中各有一人住”（3）A=“某指定的一个房间中恰有m个人住”第二十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题7：一条公交线路沿途一共有10个下车站，已知起始站上有20个乘客上车，假设每

9、位乘客在各下车站下车是等可能的，则在第一站有4位乘客下车的概率解：A=“在第一站有4位乘客下车”1231020小球盒子第二十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题：一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.123106小球盒子解（1）第二十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 10 种可能结果，再从

10、六人中选二人在该层离开，有 种离开方式. 其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有 种可能结果；4人同时离开，有 9 种可能结果；4个人都不在同一层离开，有 种可能结果，故第二十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题8：铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区E1, E2和E3的各2节、3节和4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率。解：车皮的编号为1,2,9，A=“发往同一地区的车皮恰好相邻”样本总数为 9！，首先把车皮分为三组，有3！种各组再全排列，有2！3！4！第三十张，PPT共七十八页，

11、创作于2022年6月例题9：巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求: (1) 他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？(2) 第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？解 (1) 不妨设甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是1/2, 一共取(2n-r+1)次，其中 前面的（2n-r)次中有n次从甲盒中取，最后第（2n-r+1)次从甲盒取，否则不知其为空，其概率为同理，若甲盒有r根而乙盒为空，其概率为第三十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月所求的概率为另解：可

12、以看成（2n-r+1)球随机放到2个盒子里，前（2n-r)个球中有n个球放入一盒，剩下r球全放入另一盒, 最后一个球放入装有n个球的盒子里。第三十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月(2) 不妨设甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是1/2, 一共取(2n-r)次，其中 前面的（2n-r-1)次中有（n-1）次从甲盒中取，最后第（2n-r)次从甲盒取。其概率为同理，若甲盒有r根而乙盒为空，其概率为第三十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题10：包括 a 和 b 二人在内共 n 个人排队，问a,b 间恰有r 个人的概率？解：事件A=“a,b 间恰有r 个人”,先考虑

13、a,b的位置，若 a在前面b 在后面，则a 有n-(r+1)个站法，同理，若 b在前面a在后面，则b 有n-(r+1)个站法，剩下的位置有（n-2)!站法总的样本点为n!第三十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题: n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.解：（1）先不排乙，n-1人围绕圆桌而坐。（2）圆环排列：n个不同的元素圆环排列，共有(n-1)!不同排法第三十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题： 将一枚均匀硬币掷

14、2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 解 掷2n次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数，B=正面次数少于反面次数，C=正面次数等于反面次数，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为第三十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题：掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 解 设A=出现正面次数多于反面次数，B=出现反面次数多于正面次数，由对称性知P（A）=P（B）（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等. 由P（A）+P（B）=1，得P（A）=P（B）=0.5(2) 当n为偶数时，由上

15、题知或第三十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题11：将编号为1,2,3的三本书随意地排到书架上，则至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同的概率为多少？解：设Ai=“第i本书排到第i个位置上”，i=1,2,3B=“至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同”第三十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第三十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题：一列火车共有n节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率解 “每一节车厢内至少有一个旅客” ，其对立事件为“至少有一节车厢是空的”。设Ai=第i节车厢是空的，（i=1,n）,

16、则第四十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月所求的概率为：第四十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题12：已知40件产品中有3件次品，现从中随意取出两件产品，求：(1) 第一次取到次品的概率p1; 第二次取到次品的概率p2; 第二次才取到次品的概率p3 ;(2) 取出两件产品至少有件是次品的概率p4; (3) 取出两件产品中至少有一件是次品，那么另一件也是次品的概率p5; (4) 已知取出的两件产品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率p6;第四十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月解：Ai=“第 i 次取到次品” ，i=1,2第四十三张，PPT共七十八页，创作于2

17、022年6月P取出两件产品中有一件是次品，另一件也是次品第四十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第四十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题13：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种报警系统，每种系统单独使用时，甲、乙有效的概率分别为0.92、0.93，在甲系统失灵的条件下，乙系统仍有效的概率为0.85，求发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率(2) 在乙失灵的条件下，甲仍有效的概率解：设事件A,B分别为甲,乙单独使用时有效第四十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题14：在区间 (0,1)上随机地取两个

18、数u,v，则关于x 的一元二次方程有实根的概率。解：第四十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月题型三 全概率公式、贝叶斯公式公式：设B1,B2,Bn为样本空间的一个划分，即（1）互不相容； （2）若，则对任意事件A，有第四十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月2. 全概率公式：先把A分解再由加法公式和乘法公式得到全概率公式.最关键的环节是寻找与A有关的事件B1,B2,Bn（称为导致A发生的原因或条件），一般说来事件A是一个比较简单的事件，但要求A的概率还是比较难，此时就要考虑全概率公式。3.贝叶斯公式：已知结果A发生了，再回过头来寻找原因，是Bi引起的概率是多少，所以这是一个条

19、件概率。 典型例子：医生看病第五十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题1：(05考研题) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2, X中任取一个数，记为Y, 则解：第五十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题2：（98年考研题） 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（1）求先抽取的一份是女生表的概率（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率解：Ai=“第 i 次抽到的报名表是女生”，i=1,2Bi=“第 i 地区的报名表”，i=1,2,3第五

20、十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题3：每箱产品有10件，其中次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%，求(1)检验一箱产品能通过验收的概率(2)检验10箱产品通过率不低于90%的概率解：A=“通过验收”=“检验为正品”B=“产品为正品”C i=“一箱产品中有 i 个次品”，i=0,1,2第五十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月(2)

21、X表示10箱被接收的箱数，XB(10, 0.892)第五十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题4：甲盒内有3个白球和2个黑球，从中任取3个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取2个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取1个球，试求： (1) 从丙盒内取出的球是白球的概率(2) 若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到3个白球的概率解：C=从丙盒中取到白球Bj=从乙盒中取到 j 白球, j=0,1,2Ai=从甲盒中取到 i 白球, i=1,2,3第五十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第五十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第六

22、十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题6：一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为假设产品的优质品率为. 如果各件产品是否为优质品相互独立。(1)计算生产线在两次故障间共生产k件(优质品的概率 (2) 若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。第六十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月解：An=“两次故障间共生产 n 件产品”, n=0,1,2,Bk=“两次故障间共生产 k 件优质品产品”, 第六十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第六十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月

23、例题7：设有一传输信道，若将三字母A,B,C分别输入信道，输出为原字母的概率为 ，输出为其它字母的概率为 ，现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC分别输入信道，输入的概率分别为设信道传输每个字母相互独立，已知输出字母串为ABCA，问输入为AAAA的概率？答案：第六十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题8：用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验也是正品的概率为0.99；若元件是次品，经检验也是次品的概率为0.95。当大批元件送来检验时，检验员只随机地无放回抽取3件，对每件独立检验。若检验3件全是正品，则这批元件就可以出厂。现送来元件100，已知其中有4件次品，求这100

24、件产品能出厂的概率。解：A=“能出厂”Bi=“取出的3个产品有i个正品”，i=0,1,2,3第六十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月第六十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月题型四 事件的独立性与独立重复试验1. 事件的独立：若A与B发生与否互不影响.与任何事件A相互独立。对立，互不相容，独立的事件组第六十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月任意事件的乘积的概率等于这些事件的概率乘积若相互独立，则任何一小部分事件也是相互独立的相互独立与两两独立的区别相互独立与互不相容的区别第六十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月3. n重贝努利试验：一共做了n次试验，满足：（3）每次试验，保持不变（2）每次试验只有两种结果 ；（1）试验之间是相互独立；在n重贝努利试验中，A发生k次的概率为第七十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月例题1：（99