2022年二重积分的计算法教案

1、教 案参赛老师 : 职称: 助教所在院系 : 数学与统计学院所授课程 : 高等数学20XX 年 5 月第十章 重积分其次节 二重积分的运算法（第 1 课时）教学目的： 懂得二重积分运算公式导出的方法,懂得公式中符号的意义；娴熟把握X- 型.区域与Y-型区域上的积分公式,并能依据条件挑选恰当的积分次序运算二重积分重点 ：X-型区域上二重积分的积分公式；依据条件挑选恰当的积分次序运算二重积分.难点 ：挑选合适的方法运算二重积分.教学方法： 直观教学,启示式讲授.教学过程：一、利用直角坐标系运算二重积分1积分区域 D 的分类（1）积分区域yD 为 X-型区域xyay2x xy2 xODD1xyy1

2、xOxaxbb图 1 图 2 图 1,图 2 表示的区域都是X- 型区域 . y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. X- 型区域的特点：穿过D 的内部平行于用不等式组表示为D：axb,1x y2x. （2）积分区域D 为 Y-型区域yx1y yx1 yddyDx2 y yDx2 y ccO图 3 xO图 4 x图 3,图 4 表示的都是Y-型区域 . Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个当积分区域为Y-型区域时,即D cyd,1 x2 2二重积分运算公式f x y d（1）积分区域D 为 X-型区域时D的运算公式 . 图 5 , 其面积为当

3、fx,y0时,由二重积分的几何意义Df x y d的值等于以D 为底,以zf x y 为顶的曲顶柱体（图5）的体积V. Vfx ,y d即D.过x轴上x 点作平行于yOz 的平面x , ax 0b . x 截 V 得一以1x 0,2x 0长为底 ,zf x 0, y 为曲边的曲边梯形A x 02x 0f x 0, y dy. 1x 0对xa b,A x 2 f x y dy. yzzfx,y2x yD1x 1 y依据平行截面面积已知的立体求体积的方法,可得Oa0 xbxVbA x dxb12 f x y dy dxEMBED Equation.DSMT4 aa bdx2xf , x y dy.

4、 a1 于是Df x y dbdx2xf , x y dy. ax1f x y d（2）积分区域D 为 Y-型区域时D的运算公式Df x y dd2yf , x y dx dyc1 ddy2yf x y dxc1 说明 ：这是在f x y , 0的条件下得到的运算公式, 但是对于一般的情形这个公式依然成立 . 当f x y 在 D 上变号时,由于就 . f x y , f x y , 2f x y , f x y , - , 2,记f x y , f x y , 2f x y , EMBED Equation.DSMT4 f2 , f x y , 2f x y , ,f x y , ,f2 ,

5、 x y 在 D 上非负,f 1 , ,f2 , x y 在 D 上可以应用上面的公式运算f x y dxdyf x y dxdyf2 , x y dxdy于是DDD. 3例题应用yd2 yx 及直线yx2所围成的闭区域. 例 1. 运算D,其中 D 是抛物线解：把D 看成 Y-型区域（图6）,就yDD:y2xy22x2 yx 4,2 2yyDO,11 x1y21yd2dyy2ydx1y 22y y2y2dy1y3y2y42134942xy45xy图 6 Dxy4 ,42 2另解：把D 看成 X-型区域（图7）,就D 1:xy1xD2:xyx0 x1xxydydydOx1DD 1D2ydyx1

6、dxxydy4dx0 x1x2xyx,11 04y2xxdx14x24 dx1212294 图 7 y 例 2.运算二次积分1dx1sin2 y dyDsin2 y d11o x 0 x解：将所给的积分区域D 用不等式组表示D:0 x1,xy1画出草图（图8）,改写D为：0y1,0 xy图 8 1dx1sin2 y dyDsin2 y d1dyysin2 y dxcos10 x002. 二次积分交换积分次序的步骤：（1）写出积分区域D；（2）画出草图；（3）将 D 改写为另一类型的不等式组,交换积分次序；例题反思 ：化二重积分为二次积分时,为了运算简便,需要挑选恰当的二次积分次序；这时,既要考虑积分区域D 的外形,又要考虑被积函数f x y 的特性；小结 直角坐标系下运算二重积分的步骤：一、画出积分区域 D 二、挑选积分次序（依据：简单积分；分块少）三、定积分限定外限 域边两线夹（是常数）定内限 域中一线穿如 D 为 Y-型区域：如 D 为 X- 型区域：左右夹,从下向上穿上下夹,从左向右穿