空间解析几何教案

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 空间解析几何教案 解析几何教案 第一章 向量与坐标 本章教学目的：通过本章学习，使学生掌管向量及其运算的概念，纯熟掌管线性运算和非线性运算的根本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下根基. 本章教学重点： （1）向量的根本概念和向量间关系的各种刻划。（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示. 本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的识别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用. 本章教学内容： 1.1 向量的根

2、本概念 一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等. 二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小； 向量的大小又叫向量的模（长度）. 始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做. 注：为便当起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c标记向量，而用希腊字母、标记数量. 三、两种特殊向量：1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之. 注：零向量是唯一方向不定的向量. 2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.更加地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作. 四、向量间的几种特殊关

3、系：1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作ab，规定：零向量平行于任何向量. 2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b. 注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量. 3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，鲜明， ，零向量的反向量还是其自身. 4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，那么三向量确定共面，零向量与任何共面向量组共面. 留神：应把向量与数量严格识别开

4、来：向量不能对比大小，如没有意义；向量没有运算，如类似的式子没有意义. 1.2 向量的加法 一 向量的加法：定义1 设、，以与为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称为与之和，并记作 （图1-1） 这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法那么. 假设向量与向量在同一向线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：若与的指向一致时，和向量的方向与原来两向量一致，其模等于两向量的模之和. 若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的十足值，其方向与模值大的向量方向一致. 由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：定义2 作，以的

5、终点为起点作，联接（图1-2）得 （1-2） 该方法称作向量加法的三角形法那么. （图1-2） 向量加法的三角形法那么的实质是： 将两向量的首尾相联，那么一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量. 据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有以下运算规律： 定理1 向量的加法得志下面的运算律：1、交换律 , （1.2-2） 2、结合律 . （1.2-3） 证 交换律的证明从向量的加法定义即可得证. 下证结合律 .自空间任一点O开头依次作那么有 ， 所以 . 由定理1知，对三向量相加，不管其先后依次和结合依次如何，结果总是一致的，可以简朴的写作. 二 向量的减法 定义3 若，那么我们把叫做与

6、的差，记为 鲜明， , 更加地， . 由三角形法那么可看出：要从减去，只要把与长度一致而方向相反的向量加到向量上去.由平行四边形法可如下作出向量.设、，以与为邻边作一平行四边形，那么对角线向量. 例1 设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量. 证 必要性 设三向量、可以构成三角形（图1-3）， （图1-3） ， 那么, 即 . 充分性 设，作那么，所以，从而，所以、可以构成三角形. 例2 用向量法证明：对角线彼此平分的四边形是平行四边形. 证 设四边形的对角线、交于点且彼此平分（图1-4） 因此从图可看出：， 所以，且，即四边形为平行

7、四边形. （图1-4） 1.3 数量乘向量 定义1.3.1 设是一个数量，向量与的乘积是一向量，记作，其模等于的倍，即；且方向规定如下：当时，向量的方向与的方向一致；当时，向量是零向量，当时，向量的方向与的方向相反. 更加地，取，那么向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知：. 据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合以下运算规律：定理1.3.1. 数量与向量的乘法得志下面的运算律：1) 1= 2)结合律 ,(1.3-1) 3)调配律 , (1.3-2) 4) . (1.3-3) 证 1)据定义鲜明成立. 2)鲜明，向量、的方向是一致， 且 = = . 3）调配律 假设或中至少有

8、一个为0，等式鲜明成立； 反之 )若, 鲜明同向，且 所以 ）若不妨设 若那么有由)可得， 所以 对的情形可类似证明. 一个常用的结论：定理3. 若( 为数量 )，那么向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行且，那么( 是数量). 设是非零向量，用表示与同方向的单位向量. 由于与同方向，从而与亦同方向，而且, 即 . 我们规定：若， . 于是 . 这说明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量. 请留神：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式 . 特别鲜明，这种错误是受实数运算法那么的“惯性作用”所造成. 例1 设AM是三角形ABC的中线，求证 . （图1-5

9、） 证 如图1-5， 由于 ， 所以 但 因而 ， 即 . 例2 用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 设ABC两边AB,AC中点分别为M，N，那么 所以，且. 1.4 向量的线性关系与向量的分解 定义1.4.1 由向量与数量所组成的向量叫做向量的线性组合,或称可以用向量线性表示,或称可以分解成向量的线性组合. 定理1.4.1 假设向量，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数使得， (1.4-1) 并且系数被，唯一确定. 证 若成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，假设向量与向量共线，那么确定存在实数使得（见1.3节中1.3

10、.5的证明）. 再证的唯一性：假设，那么，而 ，所以，. 定理1.4.2 假设向量不共线，那么向量与共面的充要条件是可用向量线性表示，即 ， (1.4-2) 并且系数被，唯一确定. 证： （图1-6） 因与不共线，由定义1.1.4知.设与中之一共线，那么由定理1.4.1有，其中中有一个为零； 假设与都不共线， 把它们归结共同的始点，并设，那么经过的终点分 别作的平行线依次交直线于（图1-6），因，由定理1.4.1，可设，所以由平行四边形法那么得，即. 反之，设，假设中有一个为零，如，那么与共线，因此与共面.假设，那么，从向量加法的平行四边形法那么知与都共面，因此与共面. 结果证的唯一性.由于=

11、， 那么 ， 假设，那么，将有，这与假设冲突，所以.同理 ，这就证领略唯一性. 定理1.4.3 假设向量不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实数使得 ， (1.4-3) 并且系数x,y,z被，唯一确定. 证明方法与定理1.4.2类似. 定义1.4.2 对于个向量，若存在不全为零的实数，使得 ， (1.4-4) 那么称向量线性相关. 不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性无关：. 定理1.4.4 在时，向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 证 设向量线性相关，那么存在不全为零的实数使得 ，且中至少有一个不等于0，不妨设，那么 ； 反过来，设向量中

12、有一个向量，不妨设为，它是其余向量的线性组合，即 ， 即 . 由于数，-1不全为0，所以向量线性相关. 定理1.4.5 假设一组向量中的片面向量线性相关，那么这一组向量就线性相关. 证 设中有一片面，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数，使得.那么有，由于不全为零，所以线性相关. 推论假设一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关 类似地可证明下面的定理：定理1.4.6 两向量与共线线性相关. 定理1.4.7 三向量与共面线性相关. 定理1.4.8 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的. 例1 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，使得，且，其中是任意取定的一点.

13、证（先证必要性）设在线段上，那么与同向，且， 所以 ，. 任取一点所以， 所以，. 取，那么，. （充分性）若对任一点有非负实数，使得，且 那么 ， 所以与共线，即在直线上.又， 所以在线段上. 例2设为两不共线向量，证明，共线的充要条件是. 证 共线,线性相关， 即存在不全为0的实数，使， (1.4-5) 即 . 又由于不共线 即线性无关，故方程有非零解. 1.5 标架与坐标 一 空间点的直角坐标: 平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究. 为了沟通空间图形与数的研究， 我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现. 1

14、、空间直角坐标系 过空间确定点，作三条彼此垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有一致的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴. 通常把轴，轴配置在水平面上，而轴那么是铅垂线，它们的正方向要符合右手规矩： (图1-7) 右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴正向. 三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点叫做坐标原点. 注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把轴与轴间的夹角画成左右.当然，它们的实际夹角还是. 2、坐标面与卦限 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面. 由轴与轴所抉择的坐

15、标面称为面，另外还有面与面. 三个坐标面把空间分成了八个片面，这八个片面称为卦限. (图1-8) 3、空间点的直角坐标 取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系. 设为空间的一已知点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为，这三点在轴、轴、轴的坐标依次为，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组，这组数叫点的坐标. 依次称，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为. 反过来，若已知一有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过、分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点. 这样

16、，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系. 定义1 我们把上面有序数组叫点在此坐标系下的坐标，记为. 二 空间两点间的距离公式 定理1 设、为空间的两点，那么两点间的距离为 (1.5-1) 证 过、各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如下图 (图1-9) 是直角三角形， 故， 由于是直角三角形， 故， 从而 ； 而 ， ， ， 故 . 更加地，点与坐标原点的距离为 . 三 空间向量的坐标 定义2 设是与坐标轴，同向的单位向量，对空间任意向量都存在唯一的一组实数，使得，那么我们把这组有序的实数，叫做向量在此坐标系下的坐标，记为或. 定

17、理2 设向量的始终点坐标分别为、，那么向量的坐标为 . (1.5-2) 证 由点及向量坐标的定义知， 所以 =. 由定义知 . 定理3 两向量和的分量等于两向量对应的分量的和. 证 设，那么 =+ =， 所以 . (1.5-3) 类似地可证下面的两定理：定理4 设，那么. 定理5 设，那么共线的充要条件是 . (1.5-4) 定理6 三非零向量，共面的充要条件是. (1.5-5) 证 由于不共面，所以存在不全为0的实数使得， 由此可得由于不全为0，所以. 1.6 向量在轴上的射影 一、空间点在轴上的投影：设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，那么平面与轴的交点叫做点在轴上的投影. (图1-10)

18、二、向量在轴上的投影：定义1 设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴. (图1-11) 这里，的值是这样的一个数：(1)即， 数的十足值等于向量的模. (2)当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，. 三、空间两向量的夹角：设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所抉择的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作. (图1-12) 若、平行，当它们指向一致时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为.

19、类似地，可规定向量与数轴间的夹角. 将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所抉择的平面内旋转，使向量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角. 四 投影定理：定理1.6.1 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦.即 , (1.6-1) (图1-13) 证 过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有一致的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有 故 由上式可知：向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量. 当非零向量与投影轴成锐角时，向量的投影为正. 定理1.6.2 对于任何向量都有. (1.6-2) 证 取，那么，设分别是在轴上的投

20、影，那么鲜明有 ， 由于 所以 ， 即 . 类似地可证下面的定理：定理1.6.3 对于任何向量与任何实数有 . (1.6-3) 1.7 两向量的数性积 定义1.7.1 对于两个向量a和b, 把它们的模|a|,|b|及它们的夹角q 的余弦的乘积称为向量和的数量积, 记作ab,即 ab=|a|b|cosq . 由此定义和投影的关系可得ab=|b|Prjb a=|a|Prjab . 数量积的性质: (1) aa=|a| 2,记aa=a 2，那么a2=|a| 2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 假设 a b=0, 那么 ab; 反之, 假设ab, 那么a b= 0. 定理1.7.1 假设认为零向

21、量与任何向量都垂直, 那么a b a b= 0. 定理1.7.2 数量积得志下面运算律： (1)交换律: a b= ba; (2)调配律:( a+b)c=ac+bc . ( (3)la) b= a(lb )= l(ab), (la)(mb )=lm(ab), l、m为数. 证 （1）由定义知鲜明. (2)的证明: 由于当c=0时, 上式鲜明成立; 当c0时, 有 (a+b)c=|c|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =ac+bc . （3）可类似地证明. 例1 试用向量证明三角形的余弦定理. 证 设在ABC中, BCA=q,|=a,

22、|=b, |=c, 要证 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 记=a, =b, =c, 那么有 c=a-b, 从而 |c|2=c c=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b), 即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 数量积的坐标表示 : 定理1.7.3 设a=ax, ay, az , b=bx, by, bz , 那么 ab=axbx+ayby+azbz . 证 a b=( ax i+ ay j + az k)(bx i + by j + bz k) =ax bx ii + ax by ij + ax bz i

23、k +ay bx j i + ay by j j + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk = ax bx + ay by + az bz . 定理1.7.4 设a=,那么向量a的模 |a|=. 证 由定理1.7.2知 |a|2=a2=， 所以 |a|=. 向量的方向角和方向余弦：向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦. 定理1.7.5 设a=，那么a的方向余弦为 cos=, cos, cos； 且 ， 其中分别是向量a与x轴，y轴,z轴的夹角. 证 由于 ai=|a|cos且ai=， 所以 |a|cos=， 从而 cos

24、=. 同理可证 cos cos 且鲜明 两向量夹角的余弦的坐标表示: 定理1.7.6 设q=(a, b), 那么当a0、b0时, 有 . 证 由于 ab=|a|b|cosq ，所以 . 例2 已知三点M (1,1 ,1) 、A (2,2 ,1) 和B (2,1 ,2) , 求AMB . 解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 那么AMB 就是向量a与b的夹角 . a=1,1 ,0 , b=1,0 ,1 . 由于 ab=11+10+01=1, , . 所以 . 从而 . 1.8 两向量的向量积 定义1.8.1 两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做ab或,它的模|ab|

25、=|a|b|sin,它的方向与a和b垂直, 并且按a,b, ab确定这个依次构成右手标架O;a,b,ab. 从定义知向量积有以下性质： (1) aa=0 ; (2) 对于两个非零向量a，b, 假设ab=0, 那么a/b； 反之, 假设a/b, 那么ab = 0. 定理1.8.1 两不共线向量a与b 的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积. 定理1.8.2 两向量a与b共线的充要条件是ab=0. 证 当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a|b| sin(a、b)=0，从而ab=0；反之，当ab=0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或a/b，因零向可看成与

26、任向量都共线，所以总有a/b，即a与b共线. 定理1.8.3 向量积得志下面的运算律: (1) 反交换律 ab=-ba，; (2) 调配律 (a+b)c=ac+bc， (3) 数因子的结合律 (la)b=a(lb)=l(ab) (l为数). 证 （略）. 推论: c (a+b) = c a+ c b 定理1.8.4 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k，那么 ab=(aybz -azby)i+(azbx -axbz)j+（axby -aybx）k. 证 由向量积的运算律可得 ab=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j +

27、bz k) =axbx ii+axby ij +axbz ik +aybx ji+ayby jj+aybz jk+azbx ki+azby k +azbz kk. 由于 ii=jj=kk=0, ij=k, jk=i, ki=j, 所以 ab=(aybz -azby)i+(azbx -axbz)j+（axby -aybx）k. 为了扶助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成 =aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi =(ay bz -az by)i+(az bx -ax bz)j+(ax by -ay bx)k. . 例1 设a=(2, 1, -1), b=(1

28、,-1, 2), 计算ab . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例2 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积. 解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积 . 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k. 于是 . 例3 设刚体以等角速度w 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度. 解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量n表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规矩定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的

29、转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是n的方向. 设点M到旋转轴l的距离为a , 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q 表示n与r的夹角, 那么 a = |r| sinq . 设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为 |v| =| n|a = |n|r| sinq ; v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直于n与r, 又v的指向是使n、r、v符合右手规矩. 因此有 v = nr. 1.9 三向量的混合积 定义1.9.1 给定空间的三个向量，我们把叫做三向量的混合积，记做或. 定理1.9.1 三个不共面向量的混合积的十足值等于以为棱的平行六面体

30、的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时. 证 由于向量不共面，所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体，它的底面是以为边的平行四边形，面积为，它的高为，体积是. 根据数性积的定义， 其中是与的夹角. 当构成右手系时，因而可得 . 当构成左手系时，因而可得 . 定理1.9.2 三向量共面的充要条件是. 证 若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，从而. 反过来，假设，即，那么根据定理1.7.1有，另一方面，有向性积的定义知，所以共面. 定理1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不变更它的值；对调任何俩因子要变更混合积符号，

31、即 . 证 当共面时，定理鲜明成立；当不共面时，混合积的十足值等于以为棱的平行六面体的体积，又因轮换的依次时，不变更左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的依次时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号. 推论: . 定理1.9.4 设，那么 . 证 由向量的向性积的计算知 ， 再根据向量的数性积得 = =. 推论: 三向量共面的充要条件是 . 例1 设三向量得志，证明：共面。 证明：由两边与做数量积，得： ， 且， 所以，即共面。 例2 已知周围体的顶点坐标，求它的体积。 解： ， ， 所以， 1.10三向量的双重外积 定义1.10.1 给定空间三向量，先做其中两个的向量积，再把所得

32、的向量与第三个向量做向量积，那么，结果的结果依旧是一个向量，叫做三个向量的双重向量积。 就是三向量的一个双重向量积。且与都垂直，与 也垂直，所以和共面。 定理1.10.1 （1.10.1） 证 若中有一个是零向量，或共线，或与都垂直，那么（1.10.1）两边都是零向量，定理鲜明成立。 现设都为非零向量，且不共线，为了证明（1.10.1）成立，先证 （1） 由于共面，而不共线，故可设， （2） （2）式两边分别与作数量积可得 ， ， 解得，即（1）式成立。 下证（1.10.1）成立。由于不共面，对任意，可设， 那么有 利用（1）式可得。 例1. 试证: 证明： 三式相加得。 例2 证明： 证明：

33、设，那么 小 结 学识点回想： 解析几何的根本思想就是用代数的方法来研究几何问题，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是把空间的几何布局有系统地代数化，数量化。因此在本章中主要引入了向量及它的运算，并通过向量了坐标系，从而使得空间中的点都和三元有序数组建立了一一对应的关系，为空间的几何布局代数化打好了根基。 通过本章的学习，应掌管向量及其各种运算的概念，纯熟掌管线性运算和非线性运算的根本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，如利用两向量的数量积为零来判断各种垂直关系，两向量的向量积为零向量来判断各种平行问题，三向量的混合积为零来判断共面问题，以及在

34、空间直角坐标系下，利用向量积的模求面积，混合积来求体积等问题。 1.向量加法的运算规律： （1） , （2） . （3） （4） 2.数乘的运算规律： （1） 1= （2） , （3） （4） . 3. 两向量的数量积 （1）ab=|a|b|cosq . （2）a b a b= 0. （3）在空间直角坐标系下，设a=ax, ay, az , b=bx, by, bz , 那么 ab=axbx+ayby+azbz . 4两向量的向量积 （1）两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做ab或,它的模|ab| =|a|b|sin,它的方向与a和b垂直, 并且按a,b, ab确定这个依次构成右

35、手标架O;a,b,ab （2）两向量a与b共线的充要条件是ab=0. （3）在空间直角坐标系下 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k，那么 ab=(aybz -azby)i+(azbx -axbz)j+（axby -aybx）k. （4）两不共线向量a与b 的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积 5.三向量的混合积 （1）三个不共面向量的混合积的十足值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时. （2）三向量共面的充要条件是. （3）在空间

36、直角坐标系下设，那么 . 典型习题 1. 已知周围体的顶点坐标（，），（，）， （，），。 求（）的面积。 （）周围体的体积。 （）到的距离。 解：（1）， 2分 所以 BCD的面积 （2）周围体ABCD的体积为 （3）设C到BCD平面的距离为h,那么 从而有。 2. 用向量法证明：P是ABC重心的充要条件为 证明：设P为ABC的重心，D为BC边中点，那么， 又由于PD为PBC的中线，所以即 所以有。 设D为BC边中点，那么 又由于，即， 与共线，即P在BC边的中线上， 同理可得P也在AB，AC边的中线上，从而有P为ABC的重心。 3. 证明：周围体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到

37、顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用周围体的顶点坐标把交点坐标表示出来. 证明：设周围体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i1, 2, 3, 4). 在AiGi上取一点Pi，使3, 从而， 设Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，那么 G1, G2, G3, G4, 所以 P1(,) P1(,). 同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍. 4.在周围体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量 的分解式。 解：是的重心。连接并延长与BC交于P 同理 （1） （2） （3） 由（1）（

38、2）（3）得 即 其次章轨迹与方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及表示，熟谙空间中一些特殊曲面、曲线的方程. 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义. 本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面曲线方程的识别； （2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的模范表示. 本章教学内容：2.1平面曲线的方程 在平面上或空间取定了坐标系之后，平面上或空间的点就与有序数组(坐标):或建立了一一对应的关系.曲线、曲面(轨迹)就与 方程或建立一一对应的关系. 1.平面上的曲线: 具有某种特征性质的点的集合(轨迹). 曲

39、线的方程:1 曲线上的点都具有这些性质. 2具有这些性质的点都在曲线上. 2.曲线的方程, 方程的图形 定义2.1.1 当平面上取定了坐标系之后,假设一个方程与一条曲线有着关系:1得志方程的必是曲线上某一点的坐标; 2曲线上任何一点的坐标得志这个方程,那么这个方程叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形. 例1. 求圆心在原点,半径为R的圆的方程. 解: 任意点在圆上. 类似地, 圆心在,半径为R的圆的方程为. 例2. 已知两点和,求得志条件的动点的轨迹方程. 解: 动点在轨迹上 即 平方整理得 再平方整理得 . 为所求轨迹方程. 注: 在求曲线的方程时,化简过程中可能造成范围 的变化

40、,得到的方程所代表曲线上的点与条件并不 完全相符,务必补上或除去. 3. 曲线的参数方程 变向量: 随的变化而变化的向量. 向量函数=:对每一个都唯一确定的一个. 定义2.1.2 在坐标系上,向量函数=()叫做曲线的向量式参数方程. 曲线的坐标式参数方程: 曲线的普遍方程: . 例3. 一个圆在一向线上无滑动地滚动,求圆周上一点的轨迹. (图2-3) 解:取直角坐标系,设半径为的圆在轴上滚动,开头时点P恰好在原点O(图2-3),经过一段时间的滚动,圆与直线轴的切点移到A点,圆心移到C点,这时有 . 设为到的有向角,那么到的角为,那么 . 又 , , 这即是P点轨迹的向量式参数方程. 其坐标式参

41、数方程为: 取时,消去参数,得其在的一段的普遍方程: 这种曲线叫做旋轮线或称为摆线. 例4. 已知大圆半径为,小圆半径为,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,动圆周上某一点P的轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程. 解: 设运动开头时动点P与大圆周上的A点重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴建立坐标系，经过某一过程后，小圆与大圆的接触点为B，小圆中心为C，那么C确定在OB上，且有 ， 设为到的有向角，为到的有向角， 那么有 又由弧AB等于弧BP可得，从而有到的有向角为， 所以， . 即为P点的向量式参数方程，其坐标式参数方程为 （- 0；当与n0反

42、向时，离差d 0；而对于另一片面的点，那么有AxByCzD 解 先找出这直线上的一点，如：取 代入方程组得 解此二元一次方程组得 ， 于是，得到直线上的一点 . 再找该直线的一个方向向量，由于两平面的交线与两平面的法线向量 都垂直，可取 ， 因此，所给直线的对称式方程为 ； 直线的参数方程为 3分别在以下条件下确定的值：（1）使和表示同一平面； （2）使与表示二平行平面； （3）使与表示二彼此垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，那么： 即： 从而：，。 （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，那么： 所以：，。 （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，那么：所以： 。 4. 试验

43、证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。 解： 直线与平面相交。 又直线的坐标式参数方程为： 设交点处对应的参数为， ， 从而交点为（1，0，-1）。 又设直线与平面的交角为，那么： ， 5. 给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。 解：由于， 公垂线方程为： 即， 亦即 第四章 柱面、锥面、旋转曲面及常见二次曲面 本章教学目的： 使学生掌管柱面、锥面和旋转曲面的定义、方程求法和方程特征； 纯熟掌管五种常见二次曲面的定义、标准方程及几何特征，了解它们的性质，会画它们的草图. 本章教学重点： （1）常见二次曲面的定义、标准方程及图形的特征；（2）坐标面上的曲线绕坐标轴旋转时所产生旋转曲面

44、方程的求法. （3）通过求柱面、锥面和旋转曲面的方程，理解动曲线产生曲面的思想方法. 本章教学难点 ：（1）柱面及锥面方程的求法中消去参数的几何意义的理解；（2）双曲抛物面的几何性质的分析；（3）二次曲面直纹性的证明. 本章教学内容： 4.1 柱面 一 柱面 定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面. 其中定方向叫柱面的方向，定曲呓兄面的准线，平行直线族中的每一条都叫柱面的母线. 注：1一个柱面的准线不惟一（举例）. 2平面和直线也是柱面. 以下建立柱面的方程. 设在给定的坐标系下，柱面S的准线为 (1) 母线的方向数为X，Y，Z. 若M1(x

45、1，y1，z1) 为准线上任一点，那么过M1的母线方程为 (2) 且有 (3) 从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，结果得一个三元方程 F(x，y，z) = 0 就是以（1）为准线，以X，Y，Z为方向的柱面的方程. 这里需要更加强调的是，消去参数的几何意义，就是让点M1遍历准线上的全体位置，就是让动直线（1）“扫”出符合要求的柱面. 例1 已知一个柱面的准线方程为，其母线的方向数是1，0，1，求该柱面的方程. 解 设M1(x1，y1，z1)是准线上的点，过M1(x1，y1，z1)的母线为 (1) 且有 (2) (3) 由(1)得 (4) 将(4)代入(2)和(3)得 (5) (

46、6) 由（5）和（6）得 (7) 将（7）代入（5）（或（6）得所求柱面方程为 即 . 例2 已知圆柱面的轴为，点M1(1，2，1)在此柱面上，求这个圆柱面的方程. 解法一 记所求的圆柱面为S. 因S的母线平行于其轴，母线的方向数为1，2，2，若能求得圆柱面的准线圆，那么用例1的方法即可解题. 空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线，故圆柱面的准线圆可看成以轴上的点. M0(0，1，1)为中心，为半径的球面与过已知点M1(1，2，1) 且垂直于轴的平面的交线，即准线圆G 是 设为G 上的任意点，那么 （1） （2） S的过的母线为 （3） 由（1）、（2）、（3）消去参数x1，y1，z1，得

47、S的方程为 . 将圆柱面看成动点到轴线等距离点的轨迹，这里的距离就是圆柱面的半径，那么例2就有下面的其次种解法. 解法二 因轴的方向向量为v = 1，2，2，轴上的定点为M0(0，1，1)，M1(1，2，1)是S上的定点，点M1到l的距离 . 设M(x，y，z) 是圆柱面上任意一点，那么M到轴l的距离为，即 化简整理就得S的方程为 二、柱面的判定定理 定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。 在空间直角坐标系里，由于这些柱面与 xoy坐标面的交线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，双曲

48、柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. 三、空间曲线的射影柱面 空间曲线L:(15),假设我们从（15）中依次消去一个元，可得，任取其中两个方程组，譬如（16）那么方成这样（16）和（15）是两个等价的方程组，也就是（16）表示的曲线和（15）是同一条，从而曲面 都通过已知曲线(15)； 同理方程表示的曲面也通过已知曲线(15)。有定理4.1.1知，曲面表示一个母线平行于z轴的柱面，在直角坐标系下，起母线垂直于xoy坐标面，我们把曲面叫做空间曲线（15）对xoy坐标面射影的射影柱面，而曲线叫做空间曲线（15）在xoy坐标面上的射影曲线。 同理，与分别叫做曲线（15）对xoz坐标面与yoz坐标面射影的

49、射影柱面，而曲线和叫做空间曲线（15）在xoz坐标面与yoz坐标面上的射影曲线。 4.2 锥面 定义4.2.1 在空间，通过确定点且与一条定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面. 这里定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线，直线族中的每一条都叫锥面的母线. 注：1一个锥面的准线不惟一（举例）. 2平面既是柱面也是锥面. 3一条直线也是锥面. 4若将柱面的母线看成在无穷远处相交的话，那么柱面是一个顶点在无穷远点的锥面. 以下建立锥面的方程. 设锥面S的准线为 (1) 顶点为A(x0，y0，z0). 若M1(x1，y1，z1) 为准线上任一点，那么过M1的锥面的母线方程为 (2) 且有 (3)

50、从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，结果得一个三元方程F(x，y，z) = 0 就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面的方程. 这里消去参数的几何意义与柱面的情形类似，就是让点M1跑遍准线上的全体点，从而让动直线（2）“扫”出符合要求的锥面. 下面的定理给出了锥面方程的特征. 先介绍齐次函数的概念. 设为实数，对于函数，若 此处t的取值应使有确定的意义，那么称为n元次齐次函数，对应的方程= 0为次齐次方程. 例 u = x2y2yz2xyz为三次齐次函数. 定理4.2.1 一个关于x，y，z的齐次方程总表示一个顶点在原点的锥面. 证： 由齐次方程的定义有. 当时有，故曲面S：过原

51、点. 设为S上非原点的任意点，那么得志，即有. 而直线的方程为 代入= 0，得，即直线上的全体点的坐标得志曲面S的方程. 因此直线在曲面S：上，故曲面S：是由这种通过坐标原点的直线组成，因而是以原点为顶点的锥面. 推论 一个关于xx0，yy0，zz0的齐次方程总表示一个顶点在(x0， y0， z0)的锥面. 证 设有xx0，yy0，zz0的齐次方程 F (xx0，yy0，zz0) =0 (*) 作坐标变换，那么(*)化为 (*) (*)为齐次方程，故表示以为顶点的锥面. 从而 表示顶点在点的锥面. 注 在特殊处境下，一个关于的齐次方程可能只表示原点. 例如. 这样的曲面，一般称为有实顶点的虚锥

52、面. 例1 锥面的顶点为原点，准线为，求锥面的方程. 解 设为准线上任意一点，那么过M1的母线为： (4) 且有 (5) (6) 将 (6)代入(4)得 (7) 将(7)代入(3)得 (4.21) 这就是所求的锥面，称为为二次锥面. 二次锥面的方程(4.21)所表示的图形，当a = b时就是我们熟谙的圆锥面. 例2 已知一圆锥面的顶点为A(1，2，3)，轴l垂直于平面，母线与轴l组成30的角，试求该圆锥面的方程. 解 设为所求曲面S的任一母线上的任一点，那么过M的母线的方向向量为 由题，圆锥的轴线的方向向量即为平面p的法向量n = 2，2，1. 根据题意v和n的夹角是30或150，故有 即 化

53、简整理得圆锥面的方程是 这是一个关于x1，y2，z3的二次齐次方程. 此结果也是对定理4.2.1的推论的一个直接验证. 因圆锥面是一种特殊的锥面，上面的解法是一种适合于圆锥面的特殊方法. 我们当然可以先求出圆锥面的准线，再利用顶点与准线求出该圆锥面的方程. 4.3 旋转曲面 1一般的旋转曲面方程 定义4.3.1 在空间，一条曲线G 绕确定直线l旋转一周所产生的曲面S叫做旋转曲面（或回转曲面）. G 叫做S的母线，l称为S的的旋转轴，简称为轴. 设为旋转曲面S的母线G上的任一点，在G 绕轴l旋转时，也绕l旋转而形成一个圆，称其为S的纬圆、纬线或平行圆. 以l为边界的半平面与S的交线称为S的经线.

54、 S的纬圆实际上是过母线G 上的点且垂直于轴l的平面与S的交线. S的全体纬圆构成整个S. S的全体经线的外形一致，且都可以作为S的母线，而母线不确定是经线. 这里由于母线不确定为平面曲线，而经线为平面曲线. 在直角坐标系下，设旋转曲面S的母线为 G： (1) 旋转轴为 l (2) 这里为l上一点，X，Y，Z为l的方向数. 设M1 (x1，y1，z1) 为母线G 上的任意点，过M1的纬圆总可看成过且垂直于轴l的平面与以P0为中心，为半径的球面的交线. 故过M1的纬圆的方程为 (3) (4) 当M1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的全体纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的. 由于M1

55、(x1，y1，z1) 在母线G 上，有 (5) 从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x1，y1，z1得一个方程 F (x，y，z) = 0 即为S的方程. 例1 求直线G ：绕直线旋转所得的旋转曲面S的方程. 解 设M1 (x1，y1，z1) 为母线G 上的任一点，因旋转轴过原点，过M1的纬圆方程为 (7) 因M1在母线上，有 (8) 由（8）得 (9) 将(9)代入(7)得 ， 且 结果得 即S的方程是 . 2坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程 任一旋转曲面总可以看作是由其一条经线绕旋转轴旋转而生成的. 故今后为了便当，总是取旋转曲面的一条经线作为母线. 更进一步，在直角坐标

56、系下导出旋转曲面的方程时，我们常把母线所在的平面取作坐标平面，从而使旋转曲面的方程具有特殊的形式. 设旋转曲面S的母线为yOz平面上的曲线 旋转轴为y轴 设M1(0，y1，z1)为母线上任一点，那么过M1的纬圆为 且有 由以上两个方程组消可得，结果得旋转曲面的方程是 实际上，此旋转曲面的方程也可由前面的图直接得出. 设M1(0，y1，z1)为母线上任一点，M(x，y，z)为过M1的纬圆上的任意一点，那么由上图中的辅佐图可知 y1 = y， z1 = |OM1| =|OM| = (10) 因M1(0，y1，z1)在母线上，F(y1，z1) = 0，将(10)的结果代入，就得所求的旋转曲面的方程为

57、. 类似地，母线为，旋转轴为轴的旋转曲面的方程为：. 对于其它坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可类似求出. 于是我们得到如下的规律：当坐标平面上的曲线G 绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，所得旋转曲面的方程可根据下面的方法直接写出：保持方程的形式不变，将曲线G 在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变，而以其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标. 例如，S为由面上的绕轴所得，那么S的方程为. 例2 让椭圆分别绕其长轴（x轴）和短轴（y轴）旋转，所得旋转曲面方程分别是： 和 图形分别叫做长形旋转椭球面和扁形旋转椭球面，如下图. 例3 将圆 绕z轴旋转，所得旋转

58、曲面方程是： 化简整理得 此曲面叫环面，如下图所示，其外形象救生圈. 4.4 椭球面 定义4.4.1 在直角坐标系下，由方程 (4.41) 所表示的曲面叫椭球面，或称椭圆面. 方程（4.41）叫做椭球面的标准方程. 其中a，b，c为任意的正常数. 通常假设abc 0. 椭球面的几何性质 （1）对称性 在方程（4.41）中，以z代z，方程不变，有意椭球面（4.41）关于xy平面对称. 同理椭球面（4.41）关于yz平面和zx平面都对称. 椭球面的对称平面称为它的主平面. 在方程（4.41）中，同时以y和z代替y和z，方程不变，故椭球面（4.41）关于轴对称. 同理，椭球面（4.41）关于y轴和z

59、轴也对称. 椭球面的对称轴称为它的主轴. 在方程（4.41）中，同时以x，y和z代替x，y和z，方程不变，故椭球面（4.41）关于坐标原点对称. 椭球面的对称中心称为它的中心. 在a，b，c三个数中，若有两个相等，（4.41）表示一个旋转椭球面，而当这三个数都相等时，（4.41）就是一个球面. 所以球面和旋转椭球面都是椭球面的特殊情形. （2）顶点，轴及半轴 椭球面（4.41）与其对称轴（即3坐标轴）的6个交点 (a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c) 称为椭球面的顶点. 假设a b c 0，那么分别称2a，2b，2c为椭球面的长轴、中轴和短轴，而依称a，b，c为椭球面的半长轴、半中轴和

60、半短轴. 这里的轴和半轴都是一个长度概念. （3）范围 从椭球面的方程可以看出，有 | x |a，| y |b，| z |c 因此椭球面被完全封闭在一个长方体的内部，此长方体由6个平面 x =a，y = b，z = c 围成，这6个平面都与椭球面相切，切点就是椭球面的6个顶点. （4）外形 用平行于坐标面的平面去截曲面，利用截痕分析曲面的外形，叫作平行截割法. 这种截痕类似于表示地形的等高线. 用平行截割法议论椭球面，可知其外形大致如上图. 应留神截线中主椭圆的概念以及动椭圆如何在运动中产生了椭球面的过程分析. 椭球面的参数方程 椭球面的一般写成 ， 0qp，0j2p 事实上，对，截线方程为：