新沪科版九年级上册初中数学 21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 教案

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度与价值观】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务. 会画y=ax2的图象，理解其性质. 结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶

2、点坐标及基本性质，并归纳总结出来. 多媒体课件. （课件展示问题）一次函数y=kx+b和反比例函数（k0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础. 一、思考探究，获取新知1.试着画出y=x2的图象.【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的

3、形成过程.2.观察二次函数y=x2的图象，回答下列问题.（1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？（3）当x0时，随着x的增大，函数y如何变化？当x0时呢？【归纳结论】二次函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2和y=2x2的图象.解：（1）列表.（2）描点、连线.4.探究.（1）观察二次函数y=x2和y=2x2的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何

4、时上升、何时下降？（2）你能根据函数y=x2和y=2x2的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax2(a0)的性质吗？【归纳结论】二次函数y=ax2(a0)的图象及性质为：5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2、y=-x2和y=-2x2的图象.仿照上面的表格，总结出y=ax2(a0)的性质.6.对比函数y=x2和y=-x2、y=x2和y=-x2、y=2x2和y=-2x2的图象，指出它们的相同与不同之处.7.思考：（1）a0与a0时，函数y=ax2的图象有什么不同？（2）|a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响？（3）二次函数的图象是什么形状？【归纳结论】1.抛物线y=ax2

5、(a0)的对称轴是y轴，顶点是原点；2.a0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；3.a0时，抛物线y=ax2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.二、典例精析，掌握新知【例1】 画出二次函数y=x2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.x-3-2-10123y9410149 (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y

6、=x2的图象,如图所示. 思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:

7、抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.解:分别填表,再画出它们的图象.x-4-3-2-101234y=x284.520.500.524.58 x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x284.520.500.524.58 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象

8、.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最

9、窄,y=-x2的图象开口最大.探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.教师引导学生小结(知识点、规律和方法).一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0,当x0

10、时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而减小.三、运用新知，深化理解1.已知函数y=(m-2)xm2-7是二次函数，且开口向下，则m= -3 .【分析】它是二次函数，所以m2-7=2,得m=3,且开口向下，所以m-20,得m2.即：m=-3.2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.【分析】（1）把a的值求出即可；（2）把B的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2中得：a=-2.解析式为：y=-2x2（2）把（-1，-4）代入y=-2x2中等式不成

11、立，点B（-1，-4）不在此抛物线上.3.已知y=(k+2)是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大.（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴.解：（1）由题意，得解得k=2.（2）二次函数为y=4x2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.4.已知正方形周长为m，面积为Scm2.（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S4cm2.【分析】此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内.解：（1）由题意，得S=C2(C0).列表：描点、连线，图象如图：

12、（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm.（3）根据图象得，当C8cm时，S4cm2.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调. 1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来. 1.布置作业：教材“习题21.2”中第1、2题. 本节课的教学过程的设计符