新概念物理教程力学答案详解(三)

1、.新力学习题答案（三）3 1有一列火车，总质量为 M ，最后一节车厢为 m，若 m 从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为 s 在路程后停下来。 若机车的牵引力不变， 且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距离列车后端多远？解：设摩擦系数为，则机车的牵引力为FMgm离开列车后，仅受摩擦力 fmg的水平力作用其加速度 amggm最终 m速度为 0 : 2asv02v02gs从v0所需时间为tv02gs2s（ ）m0agg1由于牵引力不变 , 此时火车的摩擦力为Mm g火车加速度为 a0MgMm gmgMmM m所以在这 t时间内火车前进的路程为：s v0t1

2、 at 22 gs2s 1Mmg 2s2g2mg2smsMm所求的距离为 ss3smsMm3 2一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R 球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h 多大时开始脱离球面？解：依机械能守恒律有12mgh： mv2v2gh(1)受力分析有： F向心 mg cosNmv2Rv2当 N0时有 : g cos( 2)R又：Rh(3)cosR联立（ ），（ ），（ ）得：123g Rh2ghhRRR33 3如本题图，一重物从高度为h 处沿光滑轨道下滑后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为 R，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h 至少要多少？.解：依机械能

3、守恒得：若设重物在环顶部具有的速度为 v，则有：mg h2R1 mv2hR2v2g h2R(1)而此时 F向心mgNmv2N 0RvgR( 2)联立（ ），（ ）式得：h5R1223一物体由粗糙斜面底部以初速度v0 冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度为1v ，求此物体达到的最大高度。解：设物体达到的最大高度为h，斜面距离为 s，摩擦力为 f。依动能定理，有：冲上去的过程中： 1mv02mghfs2滑下来的过程中：mgh1 mv12fs2两式消去 fs，得： hv02v124g如本题图：物体A 和 B 用绳连接，置于摩擦系数为的水平桌面上，滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量可以忽略，绳不可伸

4、长。以知两物体的质量分别为mA,mB,求物体从静止下降一个高度h 后所获得的速度。解：由绳不可伸长，得A ， B 两物体速度相等。依动能定理有：1 mA mB v2mB gh mA gh2vmBmA2ghmAmB这就是物体从静止下降一个高度h 后所获得的速度。 用细线将一质量为m 的大圆环悬挂起来。 两个质量均为M 的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两个小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，取什么值时大圆环刚能升起？TNMg.解：当 m 刚升起时，绳子张力T 为零。在竖直方向上所受的合 力为：mFT2N cosmg(1)对于 M，有： M v2Mg cosN(2)R对

5、于 M ,依机械能守恒有：1Mv2MgR 1cos2v22gR 1cos(3)(3)代入(2)得： NMg cos2Mg 1cos3Mg cos2Mg( 4)(4)代入得：FT22Mg cosmg(1)6Mg cos要使大圆环刚能升起， 则 : F0,T0代入上式得：6Mg cos22Mg cos mg0cos2M4M 224MmMM 26Mm6M3Mcos 1 MM 26Mm3M3 7如本题图， 在劲度系数为k 的弹簧下挂质量分别为m1 和 m2 的两个物体， 开始时处于静止。若把 m1 和 m2 间的连线烧断，求m1 的最大速度。解：连线未断时，弹簧受到的弹性力为： fm1 m2 g弹簧伸

6、长量为：m1 m2 gxk连线烧断的瞬间，连线张力消失，弹簧弹性力不变。 m1向上作加速运动，直到m1受合力为 0时速度达最大，此时弹性力：f m1g,弹簧伸长量为：xm1gk在此过程中 m1的机械能守恒 ,若取弹簧自由伸缩状态 为势能零点，则有：01 kx2m1gx1 m1vmax21 kx2m1gx222221 km1m2 gm1 g m1m2 g1 m1vmax21 km1gm1 g m1g2kk22kkm2 gvmaxkm1km1m2.3 8劲度系数为k 的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为x0 后，在它旁边紧贴着放一质量为mB 的物体。撤去外力后，求：1） A 、 B 离开时， B

7、 以多大速率运动？2） A 距起始点移动的最大距离。解：（ 1）A 获得最大的向右的速度时，就是A 、B 分开的时候，此时弹簧的弹性力为0（自由伸缩状态）mA 的物体。当把弹簧压缩kmA mBO1 kx021 mAvA21 mBvB21 mAmB vB2x02222vBkx0mA mB依机械能守恒律有：（ 2） A 距起始点的最大距离在弹簧自由伸缩状态的右边当A 的速度为 0 处。vAvBk弹簧自由伸缩状态处：mAx0mB依机械能守恒律有 :1 mAvA21 kx222xmAx0mA mB所求距离为：Xx0 x x0mAx0mBmA3 9如本题图，用劲度系数为k 的弹簧将质量为mA 和 mB

8、的物体连接，放在光滑的水平桌面上。 mA 紧靠墙，在 mB 上施力将弹簧从原长压缩了长度x0。当外力撤去后，求：1）弹簧和 mA 、 mB 所组成的系统的质心加速度的最大值。2）质心速度的最大值。解：（ ）外力撤去后，对由、 组成的系统，水平k1A BmAmB外力仅有墙反抗的压力而具有的反压力，ANO xN kx,当x x0时， Nmaxkx0 x0acN，ac maxNmaxkx0mAmAmBmAmBmB当时 即弹簧力为 时），ac0,vc达最大。(2) N0 (0此时 A还没来得及动，可用机械能守恒律求 vB1212k2kx02mBvBvBmB x0vc max0 mB vBmBkx0mA

9、 mBmAmBmB.3 10如本题图， 质量为 m1 和 m2 的物体与劲度系数为k 的弹簧相连， 竖直地放在地面上，m1 在上， m2 在下。（ 1）至少用多大的力 F 向下压 m1，突然松开时 m2 才能离地？（ 2）在力 F 撤除后，由 m1 、 m2 和弹簧组成的系统质心加速度ac 何时最大？何时为0？ m2刚要离地时 ac=?解：（ 1）分析：要使 m2 能离地，必须使 m2 对地面的支持力N=0 时，F（此时弹簧力为 m2g） m1 具有向上的速度。此速度为0 时， F 就是所求。m1力 F使弹簧压缩 x0，则 :kx0Fm1 gkFm1 gm2x0k地面支持力 Nm2 g0时 ,

10、弹簧拉伸 : xk以弹簧的自由伸缩状态为势能 0点， m2重力势能不变，依机械能守恒律有：1 kx02m1 gx0 1 kx2m1gx221 F m1 g2F m1 g 1 m2 g2m1gm2 gkkkkm1g22kkFm1 m2g（ 2）撤去 F 后，系统受到的外力是：重力与支持力N3 11如本题图，质量为M 的三角形木块静止地放在光滑的水平桌面上，木块的斜面与地面之间的夹角为。一质量为 m 的物体从高 h 处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m、 M 和地面为参考系，计算在下滑过程中M 对 m 的支持力 N 及其反作用力 N所作的功，并证明二者之和与参考系的选择无关，总是为0。解：

11、a :以 M 为参考系， m始终沿斜边运动，N和N 垂直于位移（即斜边） ,所以 WNWN 0以 m为参考系， N始终作用在 m上,WN0b : M 相对于 m的位移为斜面方向，而N 垂直于斜面 ,所以 WN0c : 以地面为参考系，NN N 作正功 : WNsMN N sM sinNsM sinN作负功 : WNsmNNsm sinNsm sin依正弦定理有： sMsmsM sinsm sin.sinsinWNWN0.3 12一根不可伸长的绳子跨过一定滑轮，两端各栓质量为m 和 M 的物体（ Mm ）。M 静止在地面上，绳子起初松弛。当m 自由下落一个h 后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两

12、物体的速度和此后M 上升的最大高度H 。解： M 被拉紧前的那一瞬间，m具有的速度为 v02gh依机械能守恒，且拉紧后速度相等： 1m M v21mv02mgh22vm2ghmMM 上升的最大高度为H ：1 m M v2mghMgH mgH2mhHMm3 13如本题图，质量为m 的物体放在光滑的水平面上，m 的两边分别与劲度系数为k1和 k2 的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：（ a）若以拉力非常缓慢的拉了一段距离 L ，它作功多少？（ b）若突然拉到 L 后不动，拉力作功又如何？解：（ a） m 的速度几乎为 0，可忽略， f 作功全部转化为弹性势能，所以：W1 k1 x121

13、 k2 x2222x1k2Lx1x2Lk2又 :k1k1x1k2 x2k1x2Lk2k1Wk1k2L22 k1k2b）突然拉距离 L，k1弹簧与 m均未来得及动 , f所作的功全部转化为 k2弹簧的弹性势能，所以：1 k2 L223 15解：.分析： m入 m1后， m1获得的速度为mv0v10m m1此后压缩弹簧，v1减小， v2从 0开始增加，在 v1v2时弹簧不断被压缩，v1v2时弹簧压缩最厉害，设为 x弹簧在被压缩过程中：机械能守恒：1 mm1 v1021m m1 m2 v2 1 kx2222动量守恒：m m1v10mm1m2 vx mv0m2k m m1m2 m m13 16两球有相

14、同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行。以知两球的恢复系数为 e。若球 A 自高度 h1 释放，求该球碰撞后能达到的高度。碰撞前的那一瞬间： vA02gh1 (向右，设为正向）假设碰撞后的一瞬间，的速率为 （向左），的速率为 （向右）AvABvB则 :evAvBvA vB(1)vA 0vA0动量守恒 : mvA 0mvAmvB(2)由（）（）e1vA 0e10,说明 实际上也向右12vA2gh1A22e 2碰撞后 能达到的高度为: h121A2mvA / mgh143 17在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是一光滑弧线，右边是一足够长的水平直线。现有质量分别为mA 的

15、mB 两个质点， B 在水平轨道静止， A 在高 h 出自静止滑下， 与 B发生完全弹性碰撞。碰撞后A 仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A、B 至少发生两次碰撞的条件。解：分析：要求A、 B 至少发生两次碰撞，则第一次碰撞后A 的速率必须大于B 的速率。设第一次碰撞后的速率为vA(设向左），的速率为 （设向右）ABvB碰撞前 : vA02gh碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒：mAvA0mAvAmBvBvAmBmA 2 gh1 mAvA021 mA vA21 mB vB2mAmB2mA2 gh222vBmAmBvA vBmBmA2mAmAmBmA mBmB3mA3 18一质量为 m 的

16、粒子以 v0飞行，与一初始时静止、 质量为 M 的粒子作完全弹性碰撞。从 m/M=0 到 m/M=10 画出末速v 与比值 m/M 的函数关系图。.解：由于是完全弹性碰撞，所以有：mv0mvMV1mv021mv21MV 2222vmM v0m/ M1 v0mMm/ M13 19一质量为 m1、初速度为 u1 的粒子碰到一个静止的、质量为m2 的粒子 ,碰撞是完全弹性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的1速度。求（ 1）比值 m2/m1；（ 2）质心的速度；（ 3 ）两粒子在质心系中的总动能，用m1u12 的分数来表示； （ 4）在实验室参考系中 m1 的最终动能。2解：依弹性碰撞有：m1u1m

17、1v1 m2 v2v1m1m2 u11 m1u121 m1v121 m2v22m1m2v22m1u1222m1m2(1)v1v2m1m22m1m1m2m1m2m2m23m13即 m23或1( 1不符舍去 )m12m1m22m1m1(2)碰撞前后质心速度不变： vcm1u1m1m2(3)质心系中的总动能: Ec1 m1v1vc21 m2v2vc2221 m1 m222 u121 m2 m122u121 m1m2 u122 m1m22 m1m22 m1 m2m1m21m2 u12m221 m1v12m1m1m22(4)Emu12122m1m23 20在一项历史性的研究中，詹姆斯 .查德威克于 19

18、32 年通过快中子与氢核、氮核的弹性碰撞得到中子质量之值。他发现，氢核（原来静止）的最大反冲速度（对心碰撞时反冲速度最大） 为 3.3 107m./s，而氮 14 核的最大反冲速度为4.7 106m/s，误差为10 ,由此你得知：（ 1）中子质量；.（ 2）所用中子的初速度是什么吗？（要计及氮的测量误差。以一个氢核的质量为1 原子质单位，氮14 核的质量为14 原子质量单位）解：弹性碰撞有：中子与氮核碰撞 :mpu pmpvpmN vNvpmpmNu pmpmN1 mpu p21 mp vp21 mN vN2vN2mpu p222mpmNvpmpmHup同理中子与氢核碰撞 , 有 :mpmH2

19、mpvHu pmpmHvHmpmN代入数据得3.3 107mp14(1)mpmH:mp 1vN4.7 106mp 1.17原子质量单位mpmH1.1713.3107( 2)u p2mpvp2 1.173 21在原子一书中，牛顿提到，在一组碰撞实验中他发现，某种材料的两个物体分离时的相对速度为它们趋近时的5/9。假设一原先不动的物体质量为m0，另一物体的质量为2m0，以初速v0 与前者相撞。求两物体的末速。解：在实验系中观察， 有动量守恒所以：2m0v02m0v m0 v2v02v 2v(1)又 :5v v(2)ev09由（1）（2）v13 v027v28 v0273 22一质量为 m0，以速率

20、 v0 运动的粒子，碰到一质量为2m0 静止的粒子。结果，质量m0 的粒子偏转了450 并具有末速 v0/2。求质量为2m0 的粒子偏转后的速率和方向。 动能守恒吗？.解：两物体组成的系统动量守恒：x方向 :m0v0m0v0 cos4502m0 vx2y方向 :0 m0v0 sin 4502m0 vy242vxv08vy2 v08碰撞前总动能为 :1m0 v0222碰撞后总动能为：1 m01 2m0 vx21 m0v021 m0 v02v0vy215 2 222224823 23在一次交通事故中（这是以一个真实的案情为依据的），一质量为2000kg、向南行驶的汽车在一交叉路中心撞上一质量为60

21、00kg 、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差不多是正西南方向滑离公路。一目击者断言，卡车进入交叉点时的速率为80km/h 。1）你相信目击者的判断吗？2）不管你是否相信它，总初始动能的几分之几由于这碰撞而转换成了其它形式的能量？解：本题可用动量守恒 ：东西方向： m卡 v卡m汽m卡 vsin 450北南北方向： m汽v汽m汽m卡 vcos450东8000v sin 450即 :6000v卡2000v汽8000v cos450v汽3v卡v32 v卡4(1)若v卡，则v汽，这是不可能的。80km/ h240km/ h（ ）初始总动能：E121222 m卡 v卡2m汽v汽1 m卡 v卡21 m

22、卡 3v卡 22m卡 v卡2223211 43 2碰撞后总动能 : Em汽m卡 v2m卡v卡22 34m卡v卡22m卡 v卡23 m卡 v卡254即总动能有转换成其它形式的能量 。2m卡v卡285/ 8.3 24两船在静水中依惯性相向匀速而行，速率皆为6.0m/s。当它们相遇时，将甲船上的货物搬到乙船上。以后，甲船速度不变，乙船沿原方向继续前进，但速率变为4.0m/s。设甲船空载时的质量为 500kg ，货物的质量为 60kg，求乙船质量。在搬运货物的前后，两船和货物的总动能有没有变化？解：设搬运货物前，甲 船、乙船的速度分别为 ：甲、 乙v v搬运货物后，甲船、乙 船的速度分别为： v甲 、

23、v乙对乙船用动量定理： m乙 v乙m货 v甲m乙 m货 v乙，4.0m / sv甲6.0m / sv乙6.0m/ sv乙6.0m乙606.0m乙604.0m乙300kg搬运后乙船和货物的速 率均变小所以总动能变 小3 25一质量为m 的物体开始时静止在一无摩擦的水平面上，受到一连串粒子的轰击。每个粒子的质量为m（ m），速率为 v0，沿正 x的方向。碰撞是完全弹性的，每一粒子都沿的方向弹回。证明这物 体经第 个粒子碰撞后，得到的 速率xn非常接近于v v0(1 en)，其中。试考虑这结果对于和对于2 m / mn 1情形的有效性。解：依动量守恒律：第一次碰撞：mmv0m m v1v1m m v

24、0m第二次碰撞：mv0m m v12 m m v2v22 mm v0 v1第 次碰撞：mv0n 1 m m vn 1n m m v2vnmv0vn 1nn m mvnmmmmv02 m m m mn m m n 1 m m令2 m ，则：m2222v01envn v0n1 n 112121222n1时 : vn0n时 : vnv0.3 26水平地面上停放着一辆小车，车上站着十个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。 为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是十个人一起跳？解：根据系统内部各部分间相互作用时的系统增加的动能是相对动能部分。依题知每人跳离车子时相对车的速度都是一样的。解 : 依动量守恒定律有