辽宁省庄河市高级中学2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）

1、辽宁省庄河市高级中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）PAGE PAGE - 24 -20182019学年度下学期期中考试高一数学试题一.单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知为实数集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数满足复数

2、在复平面内对应的点位于第四象限故选D.3.若平面向量，且，则（ ）A. 2或10B. 2或2/5C. 2或D. 或10【答案】A【解析】由，所以，解得x=-1或x=3,当x=-1时，当x=3时，选A.4.有一个容量为200的样本，样本数据分组为，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间内的频数为（ ）A. 48B. 60C. 64D. 72【答案】B【解析】【分析】由，求出，计算出数据落在区间内的频率，即可求解.【详解】由,解得， 所以数据落在区间内的频率为，所以数据落在区间内的频数，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.5.在中，

3、内角，满足，则的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B【解析】分析】先由得，化简整理即可判断出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，故，所以三角形是等腰三角形.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，属于基础题型.6.从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】含有3个元素的集合共有子集个数，含有2个元素的子集有个，根据古典概型即可计算.【详解】因为含有3个元素的集合共有子集个数，含有2个元素的子集有个，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，古典概

4、型，属于中档题.7.函数的图象可由函数的图象如何变换得到（ ）A. 向左平移个单位长度得到B. 向右平移个单位长度得到C. 向左平移个单位长度得到D. 向右平移个单位长度得到【答案】C【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.考点：函数的图像变换.8.若方程在上有两个不等实根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以 ,即时,函数单调递增, 且 ；时,函数单调递减, 且，因此要有两个不相等实根，则的取值范围是，选C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2

5、)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.9.设是的重心，且，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：G是三角形ABC的重心，则，代入得，（sinB-sinA）+（sinC-sinA）=，不共线，sinB-sinA=0，sinC-sinA=0，则sinB=sinA=sinC，根据正弦定理知：b=a=c，三角形是等边三角形，则角B=60故选B考点：本题主要考查三角形的重心，平面向量的线性运算及向量共线的条件，正弦定理。点评：中档题，利用三角形重心对应的向量条件的应用，把几何问题转化为向量问题，根据条

6、件和正弦定理判断出三角形的形状。10.定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是R上的奇函数，满足可知函数一对称轴为，再根据奇函数可知的周期为，只需比较， ， 的大小即可.【详解】因为，所以的图象关于直线 对称，由可知，又函数是R上的奇函数，所以 ，所以 ，即函数的周期 ，所以因为奇函数在区间上递增，所以在上递增， 因为的图象关于直线 对称，所以在上递减，所以，故选 A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性，属于难题.二.多选题：（每题有多个答案，选对一个得2分，多选或不选不得分，全部选对的4分，计12分）

7、11.如图所示，在正方体中，分别为棱，的中点，其中正确的结论为（ ）A. 直线与是相交直线；B. 直线与是平行直线；C. 直线与是异面直线：D. 直线与所成角为.【答案】CD【解析】【分析】根据图形及异面直线定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,综上正确的结论为C D.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.12.有下列说法其中正确的说法为（ ）A. 若，则：B. 若，分别表示，的面积，则；C. 两个非零向量，若，则与共线且反向；D. 若，

8、则存在唯一实数使得【答案】BC【解析】【分析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.【详解】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.【点睛】本题主要考查了向量共线

9、，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.13.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据平移可得到，最大值为3，最小值为，由可知，根据求出的可能取值，计算值即可.【详解】由的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得，由可知所以,即 由可得，所以可有，也可有，故选AD.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的平移变换，最值，以及最值对应的角，属于难题.三.填空题：（每题每空2分，计16分）14.已知直线与直线.若则的值是_.若则的值是_.【答案】 (1). 3或5 (2)

10、. 或【解析】【分析】根据直线平行，垂直的条件即可求出.【详解】当时，解得或，当时，解得或.【点睛】本题主要考查了两直线平行与垂直的条件，属于中档题.15.已如向量，那么在方向上的投影是_.与夹角_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】根据向量在向量方向上的投影公式及向量的夹角公式计算即可.【详解】在方向上的投影为：. 与夹角的余弦为：，所以夹角为 .【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，向量在向量方向上的投影，属于中档题.16.小明问同桌小红一道题：的值是_？小红微笑着告诉小明：就等于的值，你认为小红说得对吗？_（对或不对）【答案】对.【解析】【分析】由二倍角公式计算出，由诱导公式计

11、算出，再进行判断。【详解】.所以说得对。【点睛】本题考查三角函数值的计算，属于简单题。17.在中，且，（其中），且，若，分别为线段，中点，当线段取最小值时_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值，再利用中线的性质表示出,由此求得,计算的最小值即可.【详解】连接,如图所示：由等腰三角形中，知 所以是的中线， 同理可得 又， 故当时，有最小值，此时.故填.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，是难题.四.解答题：（共6小题，计82分）18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【

12、分析】（1）根据诱导公式化简，再利用同角三角函数关系转化为正切即可；（2）利用余弦二倍角公式及两角差的余弦公式化简，再转化为正切函数即可.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数，二倍角公式，同角三角函数的关系，属于中档题.19.如图，直三棱柱中，分别是，的中点.（1）证明：平面：（2）设，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，根据三角形中位线可得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）利用体积桥将问题变为求解三棱锥的体积，求解出，根据直棱柱的关系可知高为，代入棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）连接，交于

13、点棱柱为直三棱柱 四边形为矩形为中点，又为中点 平面，平面平面（2），即 又棱柱为直三棱柱 平面【点睛】本题考查线面平行关系的证明、椎体体积的求解问题.求解三棱锥体积时，通常采用体积桥的方式将问题转化为高易求的三棱锥的体积求解问题.20.在中，角，的对边分别为，若 （1）求角.（2）若，求的面积.【答案】(1) ;(2) 的面积.【解析】（1）由正弦定理得： 又 即 又 ，又A是内角 （2）由余弦定理得： 得： 21.为响应绿色出行，前段时间大连市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程按1元/公里计费；行驶时

14、间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费：超出部分按0.20元/分钟计费，己知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分钟） 频数4364020将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为分钟.（1）写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式：（2）若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.（同一时段，用该区

15、间的中点值作代表）【答案】（1）；（2）不够【解析】【分析】（1）根据题意利用分段函数写出租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式（2）计算租车一次的平均用车时间，计算每次上下班的租车费用，即可计算一月的租车费用，与900比较大小即可.【详解】（1）当时，当时， 得： （2）张先生租用一次新能源分时汽车上下班，平均用车时间为：每次上下班租车的费用约为一个月上下班租车的费用约为，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，也考查了利用频数分布表求均值，属于中档题.22.已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）若中，求的周长的取值范围.（

16、3）若锐角的三个角，满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）把已知函数解析式变形，降幂后利用辅助角公式化简，再由复合函数的单调性求增区间即可（2）由，求出A，利用余弦定理及均值不等式可得范围，即可求出周长范围（3）由可求得B,进一步得到A的范围，进而求出的取值范围【详解】（1） ,令，解得函数但增区间为 （2） 因为 所以 （3）， ， ，的取值范围【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，型函数图象和性质，余弦定理，均值不等式，属于中档题.23.己知向量，若函数的最小正周期为，且在上单调递减.（1）求的解析式：（2）若关于的方程 在有实数解.求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到，然