2022-2023学年人教A版必修第一册 第三章 3.1.1 第2课时函数概念的综合应用 学案

1、第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念第2课时函数概念的综合应用素养导引1.求函数的定义域应根据解析式的结构特点，列不等式组求解(逻辑推理)2.求f(f(x)时，应遵循由里到外的原则(数学抽象) 一、区间(1)一般区间的表示设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aax|xax|xa符号(，)a，)(a，)(，a(，a)【批注】关于正无穷大、负无穷大：用符号表示无穷大，但是无法取到，因此写区间时用小括号，也不能作为一般的数进行运算诊断辨析记忆(对的打“”，错的打“”).

2、(1)任何数集都能用区间表示()提示：单元素集合不能用区间表示(2)集合x|x1用区间表示为1，.( )提示：应表示为1，).二、同一函数前提条件定义域相同对应关系完全一致结论这两个函数是同一个函数诊断1(教材P64表3.12改编)区间(3，2用集合可表示为()A2，1，0，1，2Bx|3x2Cx|3x2Dx|3x2【解析】选C.由区间和集合的关系，可得区间(3，2可表示为x|3x22(教材P67T2改角度)若函数f(x)与函数g(x) eq f(r(1x),x) 是同一个函数，则函数f(x)的定义域是()A(，0) B(，0)(0，1C(，0)(0，1) D1，)【解析】选B.要使g(x)即

3、f(x)有意义，则 eq blc(avs4alco1(1x0，,x0，) 解得x1且x0，所以f(x)的定义域为(，0)(0，1.学习任务一求函数的定义域(数学抽象)1函数f(x) eq r(x25x6) 的定义域为()Ax|x2或x3 Bx|x3或x2Cx|2x3 Dx|3x2【解析】选A.由题意可得x25x60，解得x2或x3.因此，函数yf(x)的定义域为x|x2或x32(1)函数y eq r(2x1) eq r(34x) 的定义域为_(2)函数f(x) eq f(2x2,r(1x) (2x1)0的定义域为_【解析】 (1)令 eq blc(avs4alco1(2x10,34x0) ，解

4、得 eq f(1,2) x eq f(3,4) .(2)列式得 eq blc(avs4alco1(1x0,2x10) ，解得x(， eq f(1,2) )( eq f(1,2) ，1).答案：(1) eq f(1,2) ， eq f(3,4) (2)(， eq f(1,2) )( eq f(1,2) ，1)关于函数定义域的求法(1)依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等(2)应用：如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，求交集学习任务二求函数的值(数学运算)【典例】(2022西安高一检测)已知函数f(x) eq f(x,1x) .(1)求

5、f(2)与f( eq f(1,2) )，f(3)与f( eq f(1,3) )的值(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f( eq f(1,x) )有什么关系？并证明你的发现(3)求f(1)f(2)f(3)f(2 020)f( eq f(1,2) )f( eq f(1,3) )f( eq f(1,2 020) )的值【解题指导】(1)由函数f(x) eq f(x,1x) ，能求出f(2)与f( eq f(1,2) )，f(3)与f( eq f(1,3) )的值(2)猜测f(x)f( eq f(1,x) )1，利用函数性质能进行证明(3)由f(x)f( eq f(1,x) )1，能求出代

6、数式的值【解析】(1)因为f(x) eq f(x,1x) ，所以f(2) eq f(2,3) ，f( eq f(1,2) ) eq f(1,3) ；f(3) eq f(3,4) ，f( eq f(1,3) ) eq f(1,4) .(2)由(1)中求得的结果，可猜测f(x)f( eq f(1,x) )1.证明如下：f(x)f( eq f(1,x) ) eq f(x,1x) eq f(f(1,x),1f(1,x) eq f(x,1x) eq f(f(1,x),f(x1,x) eq f(x,1x) eq f(1,x1) 1.(3)由(2)知f(x)f( eq f(1,x) )1.所以f(2)f(

7、eq f(1,2) )1，f(3)f( eq f(1,3) )1，f(2 020)f( eq f(1,2 020) )1.又f(1) eq f(1,11) eq f(1,2) ，所以f(1)f(2)f(3)f(2 020)f( eq f(1,2) )f( eq f(1,3) )f( eq f(1,2 020) ) eq f(1,2) 111 eq f(4 039,2) .关于利用函数的解析式求值(1)函数的解析式是对自变量的算法，如果自变量是实数或代数式，则直接代入进行运算或化简；(2)如果求类似f(g(x)的值，应先计算g(x)再作为整体，当作自变量代入化简运算已知f(x) eq f(1,1

8、x) (xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3)的值【解析】(1)因为f(x) eq f(1,1x) (xR，且x1)，g(x)x22(xR)，所以f(2) eq f(1,12) eq f(1,3) ，g(2)2226.(2)g(3)32211，f(g(3)f(11) eq f(1,111) eq f(1,12) .学习任务三判断同一函数(逻辑推理)【典例】下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)x，g(x) eq r(3,x3) Bf(x)x0，g(x)1Cf(x) eq r(x) eq r(x1) ，g(x) eq r(x

9、2x) Df(x) eq f(x21,x1) ，g(x)x1【解题思维】观察同一函数联想定义：定义域、对应关系相同的函数转化先求出两函数的定义域，再验证对应关系【解析】选A.A.f(x)x与g(x) eq r(3,x3) x两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以表示为同一函数；Bf(x)的定义域为x|x0，g(x)1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；C要使f(x)有意义，则 eq blc(avs4alco1(x0，,x10，) 解得x0，要使函数g(x)有意义，则x2x0，即x0或x1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D函数f(x)的定义域为x|x1，g(x)x1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数判断函数相等的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤(2)两个注意点在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关(2022南宁高一检测)下列函数与y|x|表示同一函数的是()Ay( eq r(x) )2 By eq r(3,x3) Cy eq r(x2) Dy eq f(x2,x) 【解析】选C.对于A，函数y( eq r(x) )2的定义域为0，)，与y|x|的定义域不同，不是同一函数；对于B，