新人教版高中数学（选修4-4）（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（家教、补习、复习用）

1、 新人教版高中数学（选修4-4）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习极坐标方程【学习目标】1能在极坐标系中用极坐标表示点的位置2理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O，由点O引出一条射线Ox，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴要点诠释： 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2. 点的

2、极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P的位置可以由OP的长度和从Ox轴旋转到OP的角度来确定，（，）叫做点P的极坐标，叫做点P的极径，叫做点P的极角极点的极坐标为（0，），其中可以取任何值 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的数量；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此0；但必要时，允许0 （2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个如一点的极坐标是（，）（0），那么这一点也

3、可以表示为（，）或（，）（其中n为整数） 一般情况下，我们取极径0，极角为02（或0） 如果我们规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系3相关点的极坐标 （1）同一个点：如极坐标系中点，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，（kZ）都表示点于是我们有，一般地，极坐标（，）与（，）（kZ）表示平面内的同一个点特别地，极点O的坐标为（0，）（R），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标

4、不是一一对应的 （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（，）这里为定值，点的轨迹就是以极点为圆心，以为半径的圆 （3）对称点：（，）关于极轴的对称点为（，），关于极点的对称点为（，），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，） （4）共线的点：如果极坐标为（，），其中为常数，0，则表示与极轴成角的射线 4极坐标系内两点间的距离公式 设极坐标系内两点，则 特例：当，要点二、极坐标与直角坐标的互化 1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极坐标系中

5、的极轴与直角坐标系中的轴正半轴重合；两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点的极坐标为，直角坐标为，则极坐标化直角坐标：直角坐标化极坐标：这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释： 由求时，不取负值；由确定时，根据点（x，y）所在的象限取正角当x0时，角才能由按上述方法确定当x=0时，tan没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，可取任何值；（2）当x=0，y0时，可取；（3）当x=0，y0时，可取要点三、曲线的极坐标方程 1曲线的极坐标方程的概念 （1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐

6、标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程 在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程 要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程了所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可2. 求曲线极坐标方程的步骤 建立适当的极坐标系，设是曲线上任

7、意一点 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略要点诠释： （1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系 （2）今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即是的一个函数 （3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形的对称性：若，则相应图形关于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O对称 3圆的极坐标方程 （

8、1）圆心在极轴上且过极点的圆 圆心在极轴上的点（a，0）处，且圆过极点O（如图所示）P为圆与极轴的另一交点，为圆上的动点，连接OM和MP，由平面几何知识知OMMP在直角三角形OMP中，由三角知识可得 坐标满足此方程的点也在该圆上因此，得该圆的方程为 也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程 如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a，0），半径为a，故圆的直角坐标方程为 (xa)2+y2=a2， 即 x2+y2=2ax 由坐标变换公式得 ， 即 这样就得到前面推导出的极坐标方程 所以，方程就是圆上任意一点极坐标所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程的点都在

9、这个圆上 （2）圆心在极点的圆 如果已知O的半径为r，我们可以以圆心为极点，以从圆心O发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r，这时圆的极坐标方程为（R） 4直线的极坐标方程 （1）过极点的直线的极坐标方程如图所示，直线AA过极点且与极轴成的角为，即直线AA的极坐标方程为 （0）和（0） 特别地，我们规定为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为（R），或（R） （2）过点A（a，0）（a0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程 如图所示，设为直线上的除A外的任意一点连接OM，则有AOM为直角三角形并且AOM=，|OA|=a，|OM|=，所以有 即，化为直角坐标方

10、程为x=a （3）过点且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程 如图所示，设M为直线上任意一点，其极坐标为，连接OM，则有|OA|=a，|OM|=，在直角三角形AOM中，我们有 ，即，化为直角坐标方程为y=a【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1 写出右图中各点的极坐标（0，02） 【思路点拨】 根据极坐标定义：若M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角 【解析】 由图可知： A（5，0），E（2，），【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如0，2）当0时，每一点都对应唯一确定的

11、一个极坐标 举一反三：【变式1】下列各点中与不表示极坐标中同一个点的是（ ） A B C D【答案】C。由点的极坐标定义可得。【变式2】 设点，直线为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线、极点的对称点的极坐标（限定，）【答案】 如图所示 关于极轴的对称点为 关于直线z的对称点为 关于极点D的对称点为 【变式3】在极坐标系中，点(,)与(-, -)的位置关系为( )。 A关于极轴所在直线对称 B关于极点对称 C关于直线= (R) 对称 D重合【答案】A 与点M(,)关于极轴对称的点有(,-)或(-,-)，关于=所在直线对称的点有(-,-)或(,-)，关于极点对称的点有(-,)或(,

12、+)。类型二、极坐标与直角坐标互化例2（1）将下列点的极坐标化成直角坐标：；。 （2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在之间的极坐标：；。【思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。【解析】（1），所以极坐标系中点的直角坐标为。，所以极坐标系中点的直角坐标为。（2），又点在第一象限，所以，所以直角坐标系中点的极坐标为。，又点在第三象限，所以。所以直角坐标系中点的极坐标为。【总结升华】把点的极坐标化成直角坐标时，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用表示。把点的直角坐标化成极坐标时，关键是依据关系式，且注意由求时，还须结合点所在的象限来确定的值，一般取。举一反三：【变式1】点的直角坐标是

13、，则点的极坐标为（ ）A B C D 【答案】C 都是极坐标【变式2】将点的极坐标化为直角坐标。【答案】，。点的直角坐标为【变式3】 （1）把点M的极坐标化成直角坐标； （2）把点M的直角坐标（1，1）化成极坐标 【答案】（1）， 点M的直角坐标是 （2）应用极坐标与直角坐标的互化关系可得： （点M在第四象限） 点M的极坐标为【变式4】在极坐标系中，已知三点，（1）将三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断三点是否在同一直线上.【答案】（1），（2）,所以三点共线.类型三、圆的极坐标方程例3. 求圆心在处并且过极点的圆的极坐标方程 【思路点拨】 如图所示，设为圆上除O、B外的任意一点，连接OM、M

14、B，则在RtBOM中，由|OM|=|OB|cosMOB，即可得、的关系本题亦可以先求直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程 【解析】如图所示，设为圆上除O、B外的任意一点，连OM、MB，则有OB=4，OM=，从而BOM为直角三角形，所以有|OM|=|OB|cosMOB， 即【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系中圆上的点的坐标、所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也可以先求出相应的直角坐标方程，再利用，代换，也较为方便举一反三：【变式1】在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为（ ）(A) (B) (C) (D

15、) 【答案】B【变式2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （ ）A BC D【答案】B圆的直角坐标方程为，化为 极坐标方程为，曲线也过极点，与等价，对应的极坐标方程为.【变式3】在极坐标系中，半径为1的圆的圆心坐标为，求圆的极坐标方程；【答案】法一：（1）设在圆上，则， 由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。法二：（1）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即.类型四、直线的极坐标方程例4. （2016 海淀区校级模拟）在极坐标系中，直线l的方程为 ，则点A（2， ）到直线l的距离是（ ） B

16、. C. D. 【答案】B【解析】直线方程为，展开化为：，可得直角坐标方程为：x+y=1，则点A（2， ）化为A（2cos（），2sin（），即A（，），所以点A到这条直线的距离 ，故选B。举一反三：【变式1】求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。【答案】（1）由图知，所求的极坐标方程为； （2）法一：由图知，所求直线的方程为，即.法二：由图知，所求直线的方程为，即.【变式2】求（1）过点平行于极轴的直线。（2）过点且和极轴成角的直线。【答案】（1）在直线l上任取一点，因为，所以|MH|=2在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即，所以过点

17、平行于极轴的直线为。（2）设M为直线上一点。， =3，由已知 ，所以，所以又 在MOA中，根据正弦定理得 又 将展开化简可得所以过且和极轴成角的直线为：类型五、 极坐标方程与直线坐标方程互化 例5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1） （2） （3） （4）【解析】（1）将代入得化简得（2） 化简得：（3） 。即 所以 。化简得 。（4）由 即 所以 【总结升华】（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的长度单位相同 （2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在02范围内求值 （3）将直角坐

18、标方程化为极坐标方程最后要注意化简（4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形举一反三：【变式1】极坐标方程表示的曲线为 （ ）A一条射线和一个圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆【答案】C 则或 【变式2】如图，极坐标方程=asin(a0)所表示的曲线的图形是( )【答案】C如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:=asin，2=asin,x2+y2=ay,x2+(y-)2=,图形显然是以(0,)为圆心，为半径的圆.选C.【极坐标方程406449例题3】【变式3】 （1）把下列极坐

19、标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状 ； ； ；【答案】 两边同时乘得， 即 x2+y2=2ax 整理得 x2+y22ax=0，即 (xa)2+y2=a2 它是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆两边同时乘得，即x2+y2=9x+9y，又可化为，它是以为圆心，以为半径的圆 将=4两边平方得2=16，即x2+y2=16 它是以原点为圆心，以4为半径的圆 ，即2x3y=5，是一条直线 【极坐标方程406449例题2】 【变式4】将下列直角坐标方程化为极坐标方程 x2+(y2)2=4； x2+y2=4x； x+y=2； x=2【答案】x2+(y2)2=4可化为x2+y2=4y 代入，得，即 代入，

20、得，即 【变式5】已知圆的极坐标方程是，求直线被圆截得的弦长.【答案】圆的普通方程是：，与直线的交点为，所以弦长为.【变式6】已知直线的极坐标方程为，求点A（2，）到这条直线的距离【答案】可化为，即，利用极坐标与直角坐标的互化公式得直线的直角坐标方程为，即。点A（2，）化为直角坐标为，点A的直角坐标为，利用点到直线的距离公式，得点A（2，）到这条直线的距离为。类型六、 极坐标方程的综合应用例6（2016 兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围【思路点拨】（）

21、先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程.（）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于的三角函数求解【解析】（）C（，）的直角坐标为（1，1），圆C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0 （）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|

22、的取值范围是2，2）【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即可举一反三：【变式1】在极坐标系中，则AOB的面积是_。【答案】，。【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（ ）A2 B C1 D【答案】D 法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是， 由此求得圆心距为.【变式3】（2016 湖南二模）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为=4cos，曲线C2

23、的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（）当=时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值【解析】（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），则|OB|+|OC|=4cos（+）+4cos（）=2（cossin）+2（cos+sin）=4cos，=|OA|（）当=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）化为直角坐标为B（1，），C（3，）C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），故直线的斜率为，所以m=2，=【变式4】已知定角

24、，点P在OA上，点Q在OB上，且POQ的面积为8，设PQ中点为M，求|OM|的最小值。【答案】以O为极点，OB为极轴建立极坐标系。设，由题意得，即。又，。两式相乘得，所以。所以当时，有最小值。所以|OM|的最小值为。【巩固练习】一、选择题1. （2016春 衡阳县校级期末）点M的直角坐标是 ，则点M的极坐标为（ ）A. B. C. D. 2. 极坐标=cos()表示的曲线是( )A.双曲线 B.椭圆C.抛物线 D.圆3（2016春 宁夏校级期中）化极坐标方程2cos=0为直角坐标方程为（）Ax2+y2=0或y=1Bx=1Cx2+y2=0或x=1Dy=14在极坐标系中，已知ABC三顶点坐标分别为

25、、，则ABC的形状为（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D钝角三角形5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（ ）A BC D6直线和的位置关系是（ ） A B C和重合 D和斜交7. 在极坐标系中，与圆=4sin相切的直线的方程是( )A.sin=2 B.cos=2C.cos=4 D.cos=-4 二、填空题8. 设曲线的普通方程为,则它的极坐标方程为 . 9（2016 河东区一模）在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为10曲线=0，（0）和=4所围成的面积是_11.（2016 北京高考

26、）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则丨AB丨=_.三、解答题12（2016 包头校级一模）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程（）判断直线l与曲线C的位置关系；（）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围13. 在直角坐标系中，以O为极点，轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与轴，y轴的交点。（）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。14. 在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上一个动点，且A

27、OP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程.【答案与解析】1.【答案】C【解析】由于，由，得 ，结合点在第二象限得，则点M的极坐标为，故选C。2. 【答案】D【解析】原极坐标方程化为=(cos+sin)=cos+sin，普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.3.【答案】C【解析】2cos=0，cos1=0或=0，x2+y2=0或x=1故选C4【答案】B 【解析】 由两点间距离公式得：，。|AB|=|CA|，ABC为等腰三角形。故选B。5. 【答案】A【解析】圆的直角坐标方程为，化为 极坐标方程为，曲线也过极点，与等价，对应的极坐标方程为.6【答案】B 【解析】 对于可化为，对于可化

28、为:，。故选B。7. 【答案】B【解析】如右图. C的极坐标方程为=4sin，COOX,OA为直径，OA=4,l和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(,)为l上任意一点，则有cos=，得cos=2，应选B.8. 【答案】。【解析】用代入即得.9.【答案】4【解析】sin（+）=2，sin+cos=2，化成直角坐标方程为：x+y2=0，圆=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：截得的弦长为：2=10【答案】 【解析】 表示以原点为圆心，4为半径的圆。即x2+y2=42， 表示过原点倾斜角为的直线，表示x轴的正半轴。如答图，所求面积为扇形OAB的面积。11. 【答案】2【解析

29、】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为，过圆（x-1）2+y2=1的圆心，因此丨AB丨=2，故填：.12.【解析】（）由，消去t得：y=x+由，得，即，即化为标准方程得：圆心坐标为，半径为1，圆心到直线xy+=0的距离d=1直线l与曲线C相离；（）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sin+cos=，x+y的取值范围是13. 【解析】（）由从而C的直角坐标方程为（）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为14. 【解析】先建系,再由面积求.以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(,),P(1,2).SOAQ+SOQP=S

30、OAP.3sin+sin=31sin2.整理得=cos. 曲线的参数方程【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义。2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。3. 掌握参数方程与普通方程的互化。4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，即 ，并且对于的每一个允许值，方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。要点诠释：（1）参数是联系变数x，y

31、的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数 （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在

32、研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的要点三

33、、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有：代入法先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去参数 例如：对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2+cos2=1消参；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2(mn)2=4mn消参其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等. 要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点

34、，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的2、普通方程化为参数方程（1）把曲线的普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系式，再代入普通方程求得另一个关系式。（2）一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等。要点诠释：互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性。注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。要点四、圆的参数方程 （1）圆的参数方程定义：已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别：当圆心在原点时，半径为的圆的参数方程为：（是参数）。 （2）参数的几何意义：表示轴的正方向到连接圆心

35、和圆上任意一点的半径所成的角。 要点注释：（1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径.要点五、圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程为（为参数）。（2）参数的几何意义：参数表示椭圆上某一点的离心角。如图所示，点对应的离心角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。要点注释：从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。2.双曲线的参数

36、方程双曲线（,）的参数方程为：（为参数，且）。 （注：）参数的几何意义：参数表示双曲线上某一点的离心角。双曲线（,）上任意一点的坐标可设为。3.抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义：抛物线上一点（除顶点）与其顶点连线的斜率的倒数，即。要点六、参数方程的用途引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面： 有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出； 有些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参

37、数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。可以用曲线的参数方程表示曲线上的一点坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决。圆锥曲线的参数方程主要功能就是它。有些曲线参数方程的参变量t有几何意义。若能利用参变量的几何意义解题，经常取得想不到的效果。若利用直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使很多难题化易，繁题化简。总之，我们引进参数方程才能更广泛地研究曲线。【典型例题】类型一、求曲线的参数方程过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【思路点拨】从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M

38、坐标（x，y）满足的参数方程。【解析】设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 【总结升华】本题解法的前半部分用了参数法，求出了动点的参数方程，后半部分通过消参得到了普通方程。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影

39、响举一反三：【变式1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rads试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程 【答案】 如图所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0 设动点M（x，y）对应时刻t， 由图可知， 又（t以s为单位）， 得参数方程【变式2】过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【答案】 由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。【变式3】设飞机以匀速v=150ms做水

40、平飞行，若在飞行高度h=588 m处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度）， （1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程； （2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标【答案】（1）如图所示，A为投弹点，坐标为（0，588），B为目标，坐标为（x0，0）记炸弹飞行的时间为t，在A点t=0设M（x，y）为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻t炸弹初速度v0=150 ms，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得， 即 这是炸弹飞行曲线的参数方程 （2）炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0， 即，解得 由此得 即飞机在离目标1643m（水平距离）处投弹才能击中目标类型二、参数方程与普

41、通方程互化例2把下列参数方程化为普通方程（1） (2) (，为参数)； （3）(,为参数)； 【思路点拨】 （1）利用三角恒等式进行消参；（2）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；【答案】（1），即x2+y2=9（0 x3，0y3）。（2），把代入得又,所求方程为(,)(3)法一：,又，,所求方程为(,).法二：由得,代入得,(,).【总结升华】（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。（2）消参过程中应注意等价性，即应考虑

42、变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【曲线的参数方程406450例题1】【变式1】将下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型（1）；（2）； （3）【答案】 （1）t2，2x2，2y0 x2+y2=4（2x2，2y0），即下半圆（2） (x3)2+(y2)2=152cos2+152sin2=152，(x3)2+(y2)2=225， 它是以（3，2）为圆心，以15为半径的圆 （3）， ， 它是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆【变式2】将参数方程(a为参数)化成普通方程为( )A2xy10Bx2y10C2xy10

43、(3x1)Dx2y10(1y1)【答案】D.将y代入x=21，得普通方程x2y10，又因为11，所以有1y1，故选D【变式3】化下列参数方程为普通方程。（1）(t为参数) ；（2）（t为参数）.【答案】（1）由得，代入化简得.,.故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即.，故所求方程为().【变式4】曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 【答案】B 当时，而，即，得与轴的交点为；当时，而，即，得与轴的交点为类型三、圆锥曲线的参数方程例3. （2016 闵行区模拟）若以x轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角为参数，则圆x2+y2-2x=0的参数方程为 。【思路点拨】将圆

44、的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式cos2+sin2=1进行三角代换转化为参数方程。【解析】配方得圆的标准方程（x-1）2+y2=1，令x-1=cos，y=sin，得圆的参数方程为（为参数）.【总结升华】圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用cos2+sin2=1进行三角代换。举一反三：【变式1】 已知圆的方程为x2+y2=2x，写出它的参数方程 【答案】 x2+y2=2x的标准方程为(x1)2+y2=1， 设x1=cos，y=sin， 则（02），（为参数） 即为所求的参数方程 【变式2】已知椭圆的方程为，将它表示为椭圆的参数方程形式。【答案】变形得，令， 得椭圆的

45、参数方程为（为参数）.【变式3】已知椭圆的参数方程为（为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率和准线方程.【答案】把消去参数得,得. ,.即：椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为，准线方程为：和.【变式4】若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ ）A B C D 【答案】C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为【变式4】圆的参数方程为，则此圆的半径为_。【答案】。 由 得，故半径为5.类型四、曲线参数方程的应用例4. 已知实数x, y满足,求:（1）x2+y2的最大值；（2）x+y的最小值.【思路点拨】充分利用圆的参数方程【解析】原方

46、程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.用参数方程表示为: （为参数，02）.（1）当，即时，(x2+y2)max=16.（2）当， 即时，.【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。举一反三：【变式1】已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）设圆的参数方程为，（2）【变式2】 如图，设矩形ABCD的顶点C坐标为（4，4），点A在圆x2+y2=9（x0，y0）上移动，且AB、AD两边分别平行于x轴、y轴求矩形ABCD面积的最小值及对应点的坐标【答案】设A（3cos

47、，3sin）（090），则|AB|=43sin，S=|AB|AD|=(43cos)(43sin)=1612(cos+sin)+9cossin令t=cos+sin（），则2cossin=t21，时，矩形ABCD的面积S取得最小值此时，解得对应点A的坐标为或【变式3】圆上到直线的距离为的点共有_个.【答案】已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即，或又，从而满足要求的点一共有三个.例5（2016 湖南二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1： （t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲

48、线；（）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（cos2sin）=7距离的最小值【解析】（）曲线C1： （t为参数），化为（x+4）2+（y3）2=1，C1为圆心是（4，3），半径是1的圆C2：（为参数），化为C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）当t=时，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M，直线C3：（cos2sin）=7化为x2y=7，M到C3的距离d=|5sin（+）+13|，从而当cossin=，sin=时，d取得最小值举一反三：【变式1】（2016 衡水校级一模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数

49、）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值【解析】（）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）当时，P（4，4），设Q（8cos，3sin），故，C3为直线x2y7=0，求得M到C3的距离=|cossin|=|sin（+）|，其中，sin=，cos=从而当sin（+）=1，即当 时，d取得最小值为 【变式2】在椭圆中作内接矩形，求内接矩形的最大面积

50、.【答案】如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积是S 。，当且仅当时，。所以内接矩形的最大面积为40.【变式3】 过椭圆(abc0)的短轴的一个端点(0，-b)作椭圆的弦，则此弦的最大值为（ ） A.2a B.2b C.a+b D.a-b【答案】B设A为椭圆上除B以外的另一点A(acos，bsin)， 当0c0)的对称轴上的相异两点，且|OM|=|ON|（O为坐标轴原点），过M、N作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P1、P2两点和Q1、Q2两点.求证：|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2| 【答案】设点M、N的坐标为M(a，0)，N(-a，0) (a0)，两平行线P1

51、P2，Q1Q2的倾角为，则直线P1P2的标准参数方程为代入抛物线方程y2=2px，得t2sin2-2ptcos-2pa=0 由t的几何意义得同理Q1Q2的参数方程为 得|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|【巩固练习】一、选择题1下列可以作为直线2xy+1=0的参数方程的是（ ） A（t为参数） B（t为参数） C（t为参数） D（t为参数）2. （2016春 吉安期末）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x-2y-1=0和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为（ ）A.4 B.0 C. 2 D. -43曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 4直线的参数方程为（t为参数），则它的倾

52、角为（ ）.A B C D5直线（t为参数）上对应t=0，t=1两点间的距离是（ ） A1 B C10 D6直线(t为参数)上与点A(2，3)的距离等于1的点的坐标是( )A(1，2)或(3，4) B(2，3)或(2，3)C(2，3)或(2，3)D(0，1)或(4，5)7（2016春 沈阳校级期末）直线 (t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题8.直线过定点_.9.直线上与点的距离等于的点的坐标是_.10直线的参数方程为，直线的极坐标方程为，则与的夹角为_11（2015 湖北模拟）在直角坐标系中，参数方程为（t为参数）的直线l，被以原点为极点、x轴

53、的正半轴为极轴、极坐标方程为=2cos的曲线C所截，则截得的弦长是三、解答题12. 已知直线过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.13. 已知直线经过点P（1,3）,倾斜角为， (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线和圆16的两个交点A，B与P点的距离之积.14. 设抛物线过两点A(1,6)和B(1,2)，对称轴与轴平行，开口向右， 直线y=2+7被抛物线截得的线段长是4，求抛物线方程.15.（2015 锦州一模）已知直线l经过点P（1，1

54、），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积【答案与解析】1【答案】C 【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两若中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2xy+3=0，故选C。2. 【答案】A【解析】直线l2的普通方程为2x-ay-a=0，因为直线l1的斜率为 ，直线l2的斜率为，所以，解得a=4，故选A。3【答案】B 【解析】当时，而，即，得与轴的交点为； 当时，而，即，得与轴的交点为4【答案】D；【解析】由题, 因,故,应选.5【答案】B 【解析】

55、 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不个有几何意义，故不能直接由10=1来求距离，应将t=0，t=1分别代入方程得到两点坐标（2，1）和（5，0），由两点间距离公式来求出距离，即。6【答案】C 【解析】由(t)2(t)212，t7【答案】B【解析】直线的普通方程为x-2y+3=0，圆的圆心为（0,0），半径为r=3，所以圆心到直线的距离 ，弦长为 ，故选B。8【答案】；【解析】，对于任何都成立，则9【答案】,或；【解析】10【答案】 【解析】 直线的参数方程可化为。其倾斜角为。直线的倾斜角为。与的夹角为。11.【答案】【解析】由题意知，直线l的倾斜角为30，并过点A（2，0）；曲线

56、C是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C也过点A（2，0）；设直线l与圆C的另一个交点为B，在RtOAB中，12. 【解析】由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线的的普通方程 ，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中 cos =, sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.13. 【解析】(1)直线经过点P（1,3）,倾斜角为,直线的标准参数方 程为，即（t为参数）代入直线： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2)

57、把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程16，得,整理得：t28t+12=0， =82-4120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆16的两个交点A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA| PB|=|t1 t2|=1214. 【解析】由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（，2） 方程为(y2)2=2P(x) (P0) 点B(1,2)在抛物线上，(22)2=2P(1) P=8P 代入 得(y2)2=2P2P+16 将直线方程y=2+7化为标准的参数方程tg=2,

58、为锐角， cos =, sin= 得（t为参数） 直线与抛物线相交于A，B, 将代入并化简得： 0 ，由=0,可设方程的两根为t1、t2， 又|AB|=t 2t 1 4 =(4)2 化简，得(6P)2=100 P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y2)2=324815.【解析】（1）直线的参数方程为，即（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=2，则点P到A，B两点的距离之积为2坐标系与参数方程全章复习与巩固【学习目标】1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直

59、角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4. 了解参数方程，了解参数的意义.5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当时表示极点；当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是

60、同一个点，即角与的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，, 均表示同一个点.3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线：5. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，以为直径的圆：要点二：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角