高考数学(理)：1-1集合及其运算+1-2命题及其关系、充要条件+1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1、第1讲集合及其运算知 识 梳 理1集合与元素(1)集合中元素的三个特征： 、 、无序性(2)元素与集合的关系为 或 关系，分别用符号 或 表示 (3)集合的表示法： 、 、图示法、区间法(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分 为 、无限集、空集确定性 互异性 属于 不属于 列举法 描述法 有限集 AB 子集 2n 2n1 3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA，或xB；交集：AB ；补集：UA U为全集，UA表示A相对于全集U的补集(2)集合的运算性质并集的性质：AA；AAA

2、；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.x|xA，且xB x|xU，且xA 辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若x2,10,1，则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则ABx|xR()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图

3、示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西卷改编)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a_.(2)(2013山东卷改编)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_解析(1)由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4.(a0不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性答案1 考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知

4、集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中

5、的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论【训练2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为_(2)(2014郑州模拟)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为_考点三集合的基本运算【例3】 (1)(2013山东卷改编)已知集合A，B均为全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB_.(2)(2014唐山模拟)若集合My|y3x，集合Sx|ylg

6、(x1)，则下列各式正确的是_MSM；MSS；MS；MS解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正确答案(1)3(2)规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为_(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，则A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0 x22,2x4，所以Bx|2x4故

7、UBx|x2，或x4，从而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为_解析法一(列表法)因为xA，yA，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：由题意xyA，故xy只

8、能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10.y xyx12345101234210123321012432101543210法二(直接法)因为A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都为正数，若xyA，则必有xy0，xy.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案10反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论

9、证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“好元素”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_个解析依题，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案6第2讲命题及其关系、充要条件知 识 梳 理1命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达

10、的，可以 的语句叫做命题，其中判断为 的语句叫真命题，判断为 的语句叫假命题判断真假 真 假 2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的 ，q是p的 ；(2)如果pq，qp，则p是q的 充分条件 必要条件 充要条件 相同 感悟提升1一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定考点一命题及其相互关系【例1】 已知：命

11、题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题；逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题以上四个结论正确的是_(填序号)解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增

12、函数”是真命题答案规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【训练1】 (2013吉林白山二模)命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是_答案若a0或b0，则a2b20考点二充分条件、必要条件的判断【例2】 (1)(2013福建卷改编)设

13、点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的_条件(2)(2013济南模拟)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的_条件解析(1)当x2且y1时，满足方程xy10，但方程xy10有无数多个解，不能确定x2且y1，“x2且y1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件(2)因为ab，所以14k20，即4k2，所以k2.所以“ab”是“k2”的必要不充分条件答案(1)充分而不必要(2)必要不充分规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复

14、杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题答案充分不必要 1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，

15、则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件 反思感悟 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键【自主体验】1(2013山东卷改编)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的_条件答案充分不必要 2已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是_1，)；(，1；1，)；(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可

16、知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.答案 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“ ”、“ ”、“ ”叫做逻辑联结词(2)命题pq，pq，綈p的真假判断且或非真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真綈ppqpqqp2. 全称量词与存在量词(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“x”表示“对任意x”，含 有 的命题，称为全称命题全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： (2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词用符号“x”

17、表示“存在x”，含有存在量词的命题称为 存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为： 全称量词 xM，p(x) 存在性命题 xM，p(x) 3含有一个量词的命题的否定xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)命题的否定命题辨 析 感 悟1逻辑联结词的理解与应用(1)命题pq为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()(2)命题pq为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()2对命题的否定形式的理解(3)(2013山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”()(4)(2013东北联考改编)命题p：n0N,2n01

18、 000， 则綈p：n N,2n1 000. ()(5)(2013四川卷改编)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：xA,2xB，则綈p：xA,2xB.()(6)已知命题p：若xy0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若xy0，则x，y中至多有一个大于0.()感悟提升1一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系如“并且”、“綉”的含义为“且”；

19、“或者”、“”的含义为“或”；“不是”、“”的含义为“非”2两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)答案假假 规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相对，做出判断即可【训练1】 (2013湖北卷改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为_(綈p)(綈q)；p(綈q)；(綈p)(綈q

20、)；pq解析命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“pq”的否定答案规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词【训练2】 (1)(2013江门、佛山模拟)已知命题p：x1，x210，那么

21、綈p是_(2)命题：“对任意k0，方程x2xk0有实根”的否定是_解析(1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：x1，x210.(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k0，使方程x2xk0无实根”答案(1)x1，x210(2)存在k0，使方程x2xk0无实根答案p2，p4 规律方法 对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立. 答案 1逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其