等数学补充知识

1、力学高等数学补充知识1一、微积分基础知识 1. 函数，导数与微分 函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。 导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量x时，函数y相应的有一改变量y=f(x+ x )-f(x)，那么当x趋于零时，若比值y/ x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点x处导数，记作： 这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。 2函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f(x) 等于曲线 y=f(x) 在点x处的切线的斜率，即： 导数的几何意义：在物理上，动点的位置矢量

2、对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分速度矢量与加速度矢量。 3注意：以下是易混淆的两个表示：和前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x) ，则4若自变量有多个，则应该用偏导， 是函数y=y(x,t) (同时又有x=x(t) )对时间的偏导。（注意： ，对于多元函数，一般 ）。5基本求导公式：(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm-1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x

3、)=-sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=-csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=-csc x cot x，(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，6函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uv+u v，复合函数的求导法则： 反函数求导法： 求导法则7复合函数的求导法则： 解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成， 例1y=lntan x，求dxdy。8例2y=3xe，求dxdy。9例

4、3212sinxxy+=，求dxdy。10函数y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导数 y=f(x) ，这时函数的微分是： 微分：若函数 y=y(x) 的改变量可表示为： 式中dx=x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分，记作： 112. 不定积分 不定积分：对函数 y=y(x) ，如果在给定区间a,b上有 则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）： 上式中可以看出： G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不止一个。其中， C 为积分常数。 123. 定积分 由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数就是唯一确

5、定的。 几何意义： 由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线，x 轴所围成的曲边梯形的面积。 牛顿莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）：若函数 y=f(x) 在区间 a,b 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在 a,b上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 a,b 上的一个原函数，则(定积分与不定积分的内在联系 )13基本积分表k x C (k是常数)，arctan x C ，arcsin x C ，ln |x|C ，sin x C ，cos x C ，14基本积分表15不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 性质2 求不

6、定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即16例4例517 arctan x ln | x | C 例6例7例8定积分18三、矢量分析基础(由于物理学研究的需要而产生了矢量) 1.矢量的定义： 具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。 矢量表示：2.矢量的加法、减法：矢量的加法应满足平行四边形法则，而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；如图所示。 一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减： 193.矢量的数乘 以实数 乘以矢量 称为矢量的数乘，记作 ，显然有： 实数 只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸缩为原来的 倍。 的方向为： 时，与方向不变； 时，与方向相反。4. 矢量的正交分解 把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。 205. 矢量的标积和矢积 已知两矢量 和 ，夹角记作： ，则： （1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）：（结果为标量 ）（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）： 矢积 的结果为矢量；大小为以A、B为边的平行四边形的面积： 216.矢量对 t 的导数 对矢量函数（简称矢函数） ，如果极限： 存在，就称它为矢函数 的导数，记作 ，矢函数 的导数仍为矢函数，从而还可