2022年中考数学解题方法总复习教案

1、解题方法 7：解答综合题 综合题是指在一道题中将代数、 几何等内容进行综合考查的题目,这类题目有这样一些特点：1、常常作为中考数学试卷的压轴题,通常在一个大题下,以几个小题的形式显现；2、通常是全卷最难的题目,但每个小题的难度却不相同,往往（1）小题可能比前面的题目要简洁许多,而（度增加；2）小题、（3）小题的难度会逐步以较大幅3、题目的阅读量不肯定很大,但运算量却较大,对运算的娴熟程度要求较 高,稍有不慎可能会做而做错；4、题目放在最终,时间紧急,心理压力大,不简洁集中精力,往往不能很 好的发挥自己的水平；依据这些题目的特点,提出以下建议：对于中等水平的考生,可以舍弃这些题目的解答,将时间用

2、在前 110 分的 题目上,完成这些题目的解答后将剩余的时间用来检查前面题目的解答是否正 确,保证将会做得题目做对,将分拿到手；对于平常程度较好的同学, 在保证前面分能够拿到手之后仍有时间,不妨完 成在最终这道题目的前面的小题,争取做对,多拿一些分；对于数学成果特殊优秀的同学, 完成前面的题目用不了许多时间,会留下很 多时间,但不应急于解答压轴题, 也应当先检查前面解答题目的过程和结果是否 正确,确保前面分拿到手,然后集中精力完成最终一题的解答；本文中挑选了一些题目和解答供有才能的同学选用；例 1 如图,矩形 ABCD 的长、宽分别为3 2和 1,且OB1,点 E3 2, ,2连接 AE,ED

3、（1）求经过 A, ,D三点的抛物线的表达式；（2）如以原点为位似中心,将五边形AEDCB 放大,使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 3 倍在下图网格中画出放大后的五边形 A/E /D /C /B /；（3）经过 A,E,D 三点的抛物线能否由（ 1）中的抛物线平移得到？请说明理由y解：（1）设经过 A, ,D 三点的抛物线为 76y ax 2bx c（a 0）54A 1,32,E 32, ,2 D 2,32321 A EDB C xa b c 3 O 1 2 3 4 5 6 729a 3b c 2,4 24 a 2 b c 32a 2解得 b 6c 52过 A, ,D 三点的抛物线的

4、表达式为 y 2 x 26 x 52确定二次函数的解析式通常使用“ 待定系数法”程组；y,关键是正确列、解多元方（2）7 6AEx5 4 3ADED CBC21BO1 2345 67（3）不能理由如下：设经过 A,E,D三点的抛物线的表达式为ya x2b xc（a / 0）,E9, ,6D6,92,A3,92299 a 3 b c281 a 9 b c 64 2936 a 6 b c2解得 a 23a 2,a 23 a a经过 A,E,D 三点的抛物线不能由（ 1）中抛物线平移得到留意：解题中使用的 a a 作为依据来说明 “ 经过 A,E,D 三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到” ,

5、a a 说明两条抛物线的开口大小不同,因此,两条抛物线的外形不同；此题仍可以这样来解：过 A, ,D三点的抛物线的表达式为y22 x6x5= -2（x- 2 3 ）2+22点 E（3 ,2）正好是抛物线的顶点 2将 y= -2（x-3 ）2+2 变形为 y- 2= -2（x- 2 3 ）2令 y- 2=y / ,x-3 = x /2过 A、E、D 三点的抛物线为： y / = - 2 x /2E/（假设经过 A,E,D三点的抛物线由（ 1）中抛物线平移得到,那么点9 ,6）应当仍是抛物线的顶点,将点 2E（3 ,2）平移到点 E/（29 ,6）,横 2坐标向右平移了 3 个单位,纵坐标向上平移

6、了4 个单位,这时抛物线的方程可以写成： y / -4= -2 （x /- 3）2,就经过 A,E,D 三点的抛物线应是：y= - 2（x- 2 9 ）2+6,这时点 A /（3,9 ）应当在抛物线 y= - 2（x-2 9 ）2+6 上,但将 2其坐标代入等式不成立；故经过 A,E,D 三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到；留意：这里使用了“ 反证法”,即提出与结论相反的假设,然后进行推理,推出错误,反究错误产生的缘由是“ 假设” 错误；因此原结论成立；也就是说,我们从上面的草图中看出“经过 A,E,D三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到 ” ,这时,为了说明这个结论是正确的,我们提

7、出了与结论相反的“ 假设” ,然后进行推理,最终,点 A /（3,9 ）应当在抛物线2y= -2（x- 3）2+8 上,其坐标代入抛物线的解析式后等式应当成立,但实际代入后不成立, 说明前面肯定显现了错误, 但整个推理过程都是正确的,究其错误原因是假设错误,由此可得出结论“经过 A,E,D 三点的抛物线不能由（ 1）中抛物线平移得到；”另外,将点 M （x,y）向右平移 2 个单位后,得到点 M/（x-2,y ）,再将点M/向上平移 3 个单位后,得到点 M/（X-2,Y-3 ）；同理,抛物线 y / = -2 x /2 上所有点横坐标向右平移了3 个单位,纵坐标向上平移了4 个单位,这时抛物

8、线的方程可以写成： y / -4= -2 （x /-3） 2；例 2 如图,抛物线 y 1 2 x2bx2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 Cy点,且 A1,0（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）判定ABC 的外形,证明你的结论；A O B x解：（1）点 A 10, 在抛物线 y 1x 2bx 2 上,C2 D1 1 2b 1 2 0,b 32 2抛物线的解析式为 y 1x 2 3x 22 22y 1 x 2 3 x 2 1 x 23 x 4 1 x 3 25,2 2 2 2 2 8顶点 D 的坐标为 3,252 8（2）当 x 0 时,y 2,C 0,2,OC 2

9、当 y 0 时,1x 2 3x 2 0,x 1 1,x 2 4,B 4 0, 2 2OA 1,OB 4,AB 5AB 225,AC 2OA 2OC 25,BC 2OC 2OB 220,2 2 2AC BC AB ABC 是直角三角形留意：1、利用“ 配方法” 求抛物线的顶点坐标是一种常用的方法,特殊是不使用y运算器时,不失为一种便利、快捷的方法；由于中考可P（ x,y）N以 使 用 计MO算器,我们不常常使用配方法,但上高中以后会常常用x到；2、如图,在平面直角坐标系中,点的坐标与线段的程度有关,一般情形下x= PM, y= PN,只有点P 落在第一象限时才有x= PM, y= PN；因此,在

10、这类 题目中使用的点常常在第一象限；题目通过图象上的点的坐标转换为线段的长 度,将代数与几何等联系起来；3、在解这类题目时,正确的画出函数图象和从图象（或图形）中猎取信息 非常重要；在判定 ABC 的外形时,我们从图形上可以直观感觉到是直角三角形,然后使用勾股定理的逆定理去判定；例 3 如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2bxca0的图象的顶点为 D 点,与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为（ 3,0）,OBOC ,tanACO1 3EAyBx（1）求这个二次函数的表达式O（2）经过 C、D 两点的直线,与 x 轴交于点 E,在该抛物

11、线上是否存在这样的点F,使以点 A、C、CDE、F 为顶点的四边形为平行四边形？如存在,恳求出点 请说明理由F 的坐标；如不存在,解：（1）方法一：由已知得： C（0,3）,A（1,0）A、B、C 三点在抛物线上a b c 0 a 19 a 3 b c 0 解得 b 2c 3 c 3y x 2 2 x 3方法二：点 A（ 1,0）, B（3,0）是抛物线与 x 轴的交点设抛物线为：y a x 1 x 3 （a0）点 C（0,-3）在抛物线上a（0+1）（0-3）=-3 解得a1yx22x3（2）方法一：存在,如图中F 点y过 C 作 CF AE,CF 与抛物线相交于点F（x,-3）EACODF

12、BxD 是抛物线的顶点xD=b212 a2 133yD=4 acb24 1144 aD（1, 4）设过 C、D 的直线为： y=kx+b（k 0）bb334解得k1kb3yxE 点的坐标为（ 3,0） AE=2 F（x,-3）在抛物线yx22x3上F（2, 3）CF=2 CF AE,CF=AE=2 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F（2, 3）F2y方法二：同上,可求得E（ 3,0）如图,以 A、C、E 为顶点的平行四边形的第四个顶点为F1、F2、EAOxF3,明显,只有 F1 在抛物线上F3CF1存在点 F（2,3）留意：解（ 2）的方法一利用点坐标来证明“ 有一组对边

13、平行且相等的四边形是平行四边形” ；这里由于过 C 作 CF AE,这时,点 C 与点 F 的纵坐标相等；只要求出点 F 的横坐标,就可以算出线段 CF 的长度；解（ 2）的方法二是一种传统方法,如上图可知,在平面直角坐标系中,如果已知一个平行四边形的三个顶点, 那么这个平行四边形的第四个顶点就有三种情形；例 4 如图,在梯形 ABCD 中, ADBC,AB DC AD ,C 60 , AE BD 于点 E,F 是 CD 的中点, DG 是梯形 ABCD 的高（1）求证 :四边形 AEFD 是平行四边形；（2）设 AE x ,四边形 DEGF 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式 .

14、（1）证明： AB DC梯形 ABCD 为等腰梯形 C=60BAD ADC 120在 ABD 中, AB AD BAD ADC 120ABD ADB 30BDC=90 AE BDAEC 90 BDC=AED =90AE DF.在 Rt AED 中, ADE =30AE= 12 AC F 是 CD 的中点DF= 1 CD= 1 AC=AE 2 2在四边形 AEFD 中, AE DF AE. =DF 四边形 AEFD 是平行四边形 . （2）解：在 Rt AED 中, ADB30 AExAD2x . 在 Rt DGC 中 C=60sin60 = DG CDDG=CDsin60 =3 x DGBC

15、DGEFS 四边形 DEGF= 1 2EF DG=3 x2留意：这道题很有意思,在图中 ABE、ADE、FED、FEG、CDG 这五个三角形全等；它们都是有一个 例 5 如图,四边形60 角,有一条长直角边相等的直角三角形；ABCD 中, ADCD, DAB ACB90,过点 D作 DEAC,垂足为 F,DE 与 AB 相交于点 E已知 AB15 cm,BC9 cm,P 是射线 DE 上的动点设 DPx cm（x0）,四边形 BCDP 的面积为 y cm2（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时,PBC 的周长最小,并求出此时y 的值ECB解：（1） DEAC DFC FC

16、B90DBC DFP四边形 BCDP 是梯形在 Rt ABC 中AC 2+BC 2=AB 2FACAB2BC21529212A在 ACD 中, DA=DCDFACCF=AF=6 y1（2x9）63 x27（x0）D（2） BC9（定值）最小要使 PBC 的周长最小,只需PBPCAFEPCB点 P 是线段 AB 垂直平分线上的点PA=PCPB+PCPB+PA故只要求 PB+PA 最小如图,明显当 P 与 E 重合时 PB+PA 最小 此时 x=DPDE,PB+PAAB 在 DAE 和 ABC 中BC DFAEF=BDFA=ACB=90 DAE ACB AD DEAC即AD12ABx15在 AFE

17、 和 ACB 中FAE=CABAFE=ACB=90 AFE ACB EF AEBC即6 AE12AE=15 2AB15在 Rt ADE 和 CAB 中当 AEF=B tanAEF=tanB y129AD AEAC即AD12BC1592AD=10 x252x25时, PBC 的周长最小,此时22留意：这道题的其次问的解答太复杂,可以不看；但是,这里介绍了一种求 线段长度的方法； 我们知道,可以利用“ 全等三角形对应边相等”求线段的长度,实际上,仍可以利用“ 相像三角形对应线段成比例” 求线段的长度；题目中先后 两次使用相像三角形；例 6 如图, P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC

18、 上一动点（ P 与 A、C 不重合）,点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB. 设 AP=x, PBE 的面积为 y. （1）求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出x 的取值范畴；（2）当 x 取何值时, y 取得最大值,并求出这个最大值. PD解：（1）过 P 作 PFBC,垂足为 FA在 Rt CPF 和 Rt CAB 中PCF=ACBCFP=CBA=9022x CPF CABPFBFECCPCFCACBABCFPF11CF=PF=1-2 x BE=2BF= 2 x2y=12 x（1-2 x ）= 1 x 2 2 x （0 x2 ）2 2 2 2（2）y= 1x 2 2 x = y

19、1x 2 2x 1 x 2 2 1 . 2 2 2 2 2 2 4a 10 当 x 2 时, y最大值 1 . 2 2 4留意：在这个问题中二次函数 y= 1x 2 2 x（0 x2 ）中自变量 x 有2 2实际意义 - 线段 AP 的长度,且 0 x2 ,因此,这个函数的图象只能是二次函数 y=1x22x图象上 0 x2 的一段,这时抛物线的顶点（2,1 4）222正好在这一段上；例 7 如图,直线 y 4x 4 和 x 轴, y 轴的交点分别为 B,C,点 A的坐3标是 2 0, 动点 M 从点 A 动身沿x轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 动身沿线段 BC 向点 C 运动,运动的速度均为每秒 点时,它们都停止运动1 个单位长度当其中一个动点到达终（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）设点 M 运动 t 秒时,MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式；（3）当点 M 在线段 OB 上运动时,是否存在 S 4 的