几何图形的基本模型

1、第一页共十五页几何图形的基本模型模型一：双子型(手拉手模型)一一4 (1)等边三角形条件：AOAB, A OCD均为等边三角形。结论： A OAC0 A OBD AC=BD d 圆上(2)等腰直角三角形，久条件：AOAB, A O3均为等腰直角三角形。结论： A OAC 9 O OBD AC=BD (3圆上(3)任意等腰三角形百4H条件：AOAB, A OCD均为等腰三角形。结论： A OAC 9 A OBD AC=BD (点E在A OAB的外接圆上例题：(1)如图， ABC中，AB=AC:等D/ AEB=60 0 OE平分/ AED 点E在A OAB的外接D)/AEB=900OE平分/AED

2、 点E在 AOAB的外接|DZ AEB= / A0B OE 平分/ AED (或/ AED 的外角),在4ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形页共十五页第二页共十五页ABD,ACE ,分别取BD,CE,BC的中点 M、N、G,连接GM、GN,线段GM与GN数量关系是 位置关系是(2)如图，把等腰三角形 ABC换为一般的锐角三角形，AB AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。(3)如图，在(2)的基础上，又作了进一步的探究，向 ABC的内侧分别作等腰直角三角形 ABD、ACE,其它条件不变，试判断 GMN的形状，并给与证明。模型二：双子型(手拉手模型)一一相似一般

3、情况条件：CD / AB(A OCDs AOAB),将A OCD旋转至右图位置结论：右图中A OCDsAOAB? AOACsaOBD 延长 AC交BD于点E,必有/ AEB= / AOB 点E在AOAB的外接圆上。特殊情况条件：CD / AB ( AOCDsAOAB), Z AOB= / COD=900 将 A OCD 旋转至右图位置结论：右图中 AOC2 AOAB? AOA8 AOBD 延长 AC交BD于点E,必有/ AEB=900 (BD AC)点E在A OAB的外接圆上连接 AD,BC ,则 Sabcd=cx BD OD = OB = tan Z OCD 2OC OA(A,O,E,B 四

4、点共圆)必有 AD2+BC2=AB2+CD2例题：以平面上一点 O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和ACOD,其中/ ABO=/ DCO=30 0(1)点E、F、M分别是 AC、CD、DB的中点，连接 FM、EM. 如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，EM=如图2,将图1中4AOB的绕点O沿顺时针方向旋转a角(00VaV 60),其他条件不变，判断装?勺值是否发生变化，并对你的结论进行证明如图3,若B0=3v3,点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将AOAB绕点0旋转过程中，线段 PN长度的最小值为 ,最大值为 第四页共十五页I模型三：对角互补

5、模型 (1)全等型-900条件： / AOB= / DCE=900 OC 平分/ AOB结论： CD=CE OD+OE=，2OC 当/ DCE的一边交AO的延长线于点 D时 Sa OCE -SaOCD=；OC2结论: CD=CE OE-OD= V2OC (2)全等型-120第五页共十五页条件： / AOB=2 /DCE = 1200 OC 平分/AOB 结论： CD=CE OD+OE=OC 例题1如图，D为等边 AABC外一点，若/ BDC=120 0,求证：AD平分/ BDC （典型例题：等边三角形 +对角互补，求证角平分线 ）例题2如图，D为等边A ABC外一点，若AD 平分/ BDC ,

6、求证：/ BDC=120 0（典型例题：等边三角形 +角平分线，求证对角互补 ）例题3如图，D为等边A ABC外一点（BDVCD）,若/BAC=60 0,若/BDC=120AD 平分/ BDC,求证：AB=AC（典型例题：对角互补 +角平分线，求证等边三角形 ）第六页共十五页模型四：角含半角模型900 (1)角含半角模型900-1EAF= 450结论： EF= DF +BE也可以这样:ACEF周长是正方形 ABCD周长的一半 FA平分/ DFE , EA平分/ BEF条件：正方形 ABCD EF=DF+BE结论：/ EAF=45 0(2)角含半角模型900-2条件：正方形 ABCD; /EAF

7、=45 0结论： EF= DF - BE(3 )角含半角模型900-3B D E C B D E C第七页共十五页条件：等腰直角 A ABC/ DAE = 450结论：BD2+CE2=DE2BD，CE2=DE2仍然成立(4)若/ DA跳转到A ABC外部时，结论 角含半角模型900-变形条件：正方形ABCD ; / EAF=45结论：A AHE为等腰直角三角形A、B、E、H四点共圆 G、E、F、H四点共圆例题1已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC (或它们的延长线)于点 M,N(1)当/ MAN 绕点A旋转到如图1的位置时，求证： BM+DN=

8、MN(2)当/ MAN绕点A旋转到BMWDN时(如图2),则线段BM,DN和MN之间的数量关系是 (3)当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段 BM,DN和MN之间又有怎样数量关系呢？ 并对你的猜想加以说明。第八页共十五页例题2如图，抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点，交轴于y轴点C,过点C作x轴的平行线与 抛物线的另一交点为 D,连接AC,BC。点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m(m4)。(1)求抛物线的函数解析式和的/ACB正切值。(2) 若/ACP=45 0,求 m的值模型五：倍长中线模型(1)倍长中线类模型-1条件：矩形 ABCD BD=BE

9、DF=EF结论：AFXCF(2)倍长中线类模型-2条件：平行四边形 ABCD BC=2AB AM=DM CEL AD结论：/ EMD=3 / MEA例1已知：如图，A ABC中，AB=4,AC=6,AD 为BC边上的中线，则线段 AD的取值范围是共十五例2如图：已知A ABC中，AD是中线，AE是BD的中线，BA=BD ,求证：AC=AE模型六：(1)相似三角形模型一一基本型反A超12字身字爵)结论:ADAE DE ADE s ABC =ABAC BCDEBCDFEF=BGCG(2)相似三角形模型一一反A型条件:DE / BC第十一页共十五页第十页共十五页条件：/ADE= / B条件：/ AC

10、D= ZB结论： AACDsAABC AC2=ad。AB(2)相似三角形模型一一直角母子型(射影定理)?结论:A AD& A ABC两?=否?=否?条件：AC BC ,CD AB结论： AC2=AD。AB BC2=BD。AB CD2=AD。BD(3)相似三角形模型一一一线三等角型(K型相似)条件：/ B=/ACE=/D结论：AABCs ACDEAB. DE=BC CD(一线三等角模型也经常用来建立方程或 函数关系式)特别地，当C为DB中点时，AABCsa CDEsA ACE(4)相似三角形模型一一圆哥定理型如图1,相交弦定理 如图2,切割线定理如图3,割线定理：图2:PA. PB=PC PD:

11、pa2=pb - PCPA, PB=PC PD例题 1 如图，A ABC和 A DEC均为直角三角形。/ ACB= / DCE=900,AC=国,BC=v7, CD=v3CE=1.将A DEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为/BCD为a (00 a 3600),作直线BD ,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长例题 2在 AABC和 AADE中，BA=BC,DA=DE，且/ ACE= / ADE,点E在 AABC的内部,连接 EC,EB 和 BD,设 EC=k , DB(k w0).(1)当/ ACE= / ADE=60 0时，如图1,请求出k值，并给予证明当

12、/ ACE= / ADE=90 0 时,如图2, (1)中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出 k值，并说明理由。如图3,当D,E,C三点共线，且 E为DC中点时，请求出tan/EAC的值m*加模型七：十字架模型(1)正方形内的十字架型第十二页共十五页条件：正方形 ABCD 结论：AE=BF (EF=GH) (3)矩形内的十字架型 BHAE (EFXGH)条件：矩形 ABCD BDCE (EFXGH)结论:CEBD例题1如图，在正方形 ABCD上，H在BC上，EFXAH于点G,交AB于点E交DC于点F。若AB=3 , BH=1 求 EF 的长例题2将边长为12cm的正方形

13、ABCD折叠，使得点 A落在边CD上的E点，然后压平得折痕 FG, 若GF的长为13cm,则线段CE的长为例题 3 如图，若 BA=BC=6,DA=DC=8 , / BAD=90 0,DE LCF,请求出 DE:FC 的值第十四页共十五页第十三页共十五页模型八：“定边对定角”模型 “定边对定角”动点成“隐圆条件：AB为定值，点P为动点，且/APB=a （a为定角）结论：点P在以AB为弦的圆弧上运动心在AB中垂线上，圆心角为 2a （a为锐角）或3600-2a （a为钝角）例题1如图，AC =3, BC = 5,且/BAC = 90 , D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连 BD交 圆于E点，连CE,则CE的最小值为（）A. .13 2B. .13 2C. 5D. 16 9例题2如图，RtABC中，AB，BC,AB=6,BC=4,P 是 AABC内部的一个动点，且满足/PAB=/PBC,则线段CP长的最小值为 ？，p例题3如图，在边长为 2v3的等边 评BC中，AE=CD,连接BE,AD相较于点P,则CP的最小值为模型九：“12345”模型第十五页共十五页若用符号“ 2”表示正切值为2是锐角