北师大版选修2-2第三章导数的应用基础测试题

1、试卷第 页，总4页北师大版选修2-2第三章导数的应用基础测试题一、单选题2.函数了 =炉+ 的单调递增区间为（）XA. （一8,1）B. （JI,+8） C.。,+8）D. （-8,0）B.在X=1时，/（X）取得极大值C. a0, b0, d0C.在（4, 5）内/（x）是增函数D.在x=2时，/（a ）取得极小值.设/（x） = gv+cosx,则函数/（X）（）A.有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值.己知函数/。） = 111工+/ + ”的单调递减区间为（；/），则a的值为（）A. （-00,-3）B. -3C. 3D. （-8,3）.函数儿t）=aU

2、+以2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）B. a0, b0, cQD.。0, b0, c0, d0.函数/（x） = d3依一。在（0,1）内有最小值，则。的取值范围为（）B. 0alA. 0alC. -lalD. 0a = /（x）的极小值为.己知定义在R上的奇函数/（龙）的导函数/（x）0,若/（一5。）/（6）,则 实数。的取值范围为.定义在R上的函数/（x）的导函数为尸（x）, 0） = 0,若对任意xR，都有 r（同一则使得“：）14 1成立的x的取值范围为.若(，叱+ 2)(+)-小0)上恒有x) 0时，求方程/ x =0的解的个数.已知关于x的函数/(x) = -；

3、x3+bx?+cx+bc,其导函数/(X).4(1)如果函数AM在x = l处有极值一，试确定b、c的值；(2)设当xe(0)时，函数y = /(x)c(x+)的图象上任一点p处的切线斜率为k, 若女K1,求实数b的取值范闱.己知函数/(力=，+以2+以+ (4。0)的图象经过原点，1(1) = 0,若/(X) 在X = -l取得极大值2.(1)求函数y = /(x)的解析式；(2)若对任意的xe-2,4,都有/(x)N/(x) + 6x+7,求加的最大值.22.己知函数 /） = g/ - 2。Inx+（。-2）x , (1)当。=1时，求函数/(”的最小值;(2)当4 Ko时，讨论函数/(

4、x)的单调性;有占3(3)是否存在实数。，对任意的西,，+ 8),且凡工工，恒成立，若存在求出。的取值范围，若不存在，说明理由.答案第 页，总15页参考答案c【分析】求导，根据y0可解得结果.【详解】79 r对于B,在(一,，2)上，r (x) 0, /(x)为增函数，X=1不是/(工)的极大值点，B 错误；对于C,在(4, 5)上，f (x) 0, f (J)为增函数，C正确； 3对于 D,在(一弓，2)上，/ (a) 0, f (a)为增函数，在(2, 4)上，f (a) V0, / (A)为减函数，则在4=2时/(X)取得极大值，D错误；故选：C.【点睛】本题考查函数单调性和极值的图形特

5、征，是基础题.3. A【分析】求出r(x) = x-sinx,二次求导可得r(x)单调递增且广(0)= 0,从而判断出函数的单 ?y =由)0得2V_2o,即X1,X x2所以函数y = V + 的单调递增区间为(I,”).X故选：C【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于基础题.C【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项：3对于A,在(-3, -) , f (x) 0,/（x）单调递增且/（0）= 0,当x0时，/（x）0时，r（x）o,函数/（九）单调递增，故/（九）有唯一的极小值点.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极

6、值，考查了基本运算能力，属于基础题.B【分析】等价于不等式2丁 +办+10的解集为（摄1），利用一元二次不等式的解集即得解.【详解】由题得/（X）= - + 2x+a0的解集为（-,1）, x2所以不等式2犬+依+ 10, x, + x, = 0,= 03。- 3d所以从0, c0,所以。0,所0, c0,所0.故选：A【点睛】此题考查导函数与原函数的图像关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系 是解题的关键，属于基础题.B【分析】对f (x)进行求导，要求函数f (x) =x3 - 3ax - a ffi (0, 1)内有最小值，说明f (x)的极 小值在(0, 1)内，从而讨论

7、a与0大小，从而进行求解.【详解】二函数f (x) =x3-3ax-a在(0, 1)内有最小值,/.f(X)=3x2 - 3a=3 (x2 - a),若aWO,可得P (x) 20, f (x)在(0, 1)上单调递增，f (x)在x=0处取得最小值，显然不可能，若 a0, f (x) =0 解得 x=C ,当xG，f (x)为增函数，OVxvJ为减函数，f (x)在x=J7处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在(0, 1)内，符合要求.综上所述，a的取值范围为(0, 1)故答案为B【点睛】此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，注意本题(0, 1)是开区间，不是闭区A【分析】根据

8、极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.【详解】由导函数/Q)的图象知在=2处/(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，x=-2是极大值；在= 1处/(1)=0,且其两侧导数符号为左负右正，工=-1是极小值；在= 3处*2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，=2是极大值；所以“。的极小值点的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.A【分析】2利用导数求出/(x)在x = 0处取得极小值/(0) = -,在x = 2处取得极大值222/(-2)= y,再根据/(0) = -且/0) = ，结合三次函数的图象列不等式组JO6/ + 31 -3 a 0,

9、不满足题意：函数 /(x) = x3-3必？ +/一2/在x = 2时有极值0.：.a + b = 40.故选：B1【分析】 先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值.【详解】 因为/(x) = xh】x，所以/(x) = hix+l, 由/(x)0得；由/(x)0得0文0,得在R上为增函数，由/(标一6),得病546,即标一5。+ 60，解得2。0,所以(加r(Y(W =。恒成立，Lex所以函数g(x)在R上单调递增，由= g(x)l = g(。)，解得x0， e所以x的取值范围为(),”).故答案为：(。,+8).【点睛】关犍点点睛：求解本题的关键在于，构造函数- 结合题

10、中条件，由导数的方法判定函数 e单调性，即可求解出结果., 3rn-2【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求 解即可.【详解】(tnex + 2ex)(e* +ex)-e2x -meA + 2exex + exLi,z? V令f = 3,因为x(0,+s),所以f0,则不等式(1)化为：G” + 2t)(l + t) m “ + 1r + 1设/(%) = ? x(0,+8),当xl时，f(x)0,/(x)单调递增，因此当xe(O,+s)时，/(M皿=/。)= 1,而/(0) = 0,因此当X(o,+s)时，/(X)G(O.I,因此f(o,l,

11、设g(f)= _力+ l因此要想(加e +2a(e+ex)-e” 。在x(0,2) 上恒成立，只需-2t2 -4/-3 g(/) =因为，(0,l,所以g)0,因此g)在，(0,l时单调递减,(f +1)-33所以 g)3n =爪1) = 一5，因此7一1答案第 页，总15页答案第 页，总15页A/(x)=4x-3x2-18+5(2) /, (jc) =12/ 6xIS A /, (x) =0 有工=1 或灵当上变化时尸(今,3变化如下:-3(-3, -1)-1(-1, 1)1尸3+0/3/(-3)=-76, /(-1)= 16,当过二一3时有最小值/1一31=-76 ；当工二一1时，有最大值

12、/。=1618. ( I ) /(x) = -r(n)o ?； =C ；【解析】试题分析：(I )由函数的单调区间可得到函数的极值点，将极值点代入/(x) = 0中得到关于4/,C的方程，从而求得其值，确定函数解析式；(1【)将恒成立的不等式化简求得相应的X的取值范闱，给定的区间0?为不等式解集的子集，从而得到m的取值范闱试题解析：(I)fXx) = 3ax2 + 2bx + c,由己知/(0) = /=0,c = 0,即二八解得133。+ 2。+ c = 0, b = - a.f (.x) = Box? -=-=:.a = -2r /./(x) = -2x3 + 3x2.(H)令即一2f+3

13、/x40， x(2x- l)(x- 1) N 0 ,. 0 ( x V1 或 x 2 1.2又/(x)x在区间0,叫上恒成立，.O ?2时，方程有1个解； 36当 =|或3时，方程解当二时，方程有3个解； 36【解析】分析：(1)先根据题意有极值点可得极值点一定是导函数得根从而得出b值，求函数的单调区增区间则只需解导数大于零的不等式即可；(2)详解：(I ) fx) = x2-2bx+2.x=2是/(工)的一个极值点，3，x=2是方程2以+2 = 0的一个根，解得a二=(2分)一令y = /(x)，则3尤+20,解得.zi或X2.工函数 = /(的单调递增区间为(1 +X).(5分)(II )

14、求方程的根，即求:3大r+2x =。的解的个数，令 2(x) = -x3 - -x2 + 2x, gx) = x2-3x +2 = (x-l)(x-2),故 g (x)在(一吟 1),(2,+8)递增，在(1,2)递减，g(x)极大值= g(l)=z，g(x)极小值=g(2)=屋 TOC o 1-5 h z 故当0d三或寸,方程有1个解q(7分)365当。=士或巳时，方程解6当a时， 方程有3个解i(12分)36点睛：解本题关键首先要知道极值点的定义和求法，然后对于函数零点问题可以结合函数图 像进行分析会比较容易，求出函数单调区间和极值，根据草图即可得出根的分布情况.(1) b = l,c =

15、 3 , (2) b 1.【解析】4f b = l (b = -l分析：(1)先根据极值定义得/(1) = 0, /(1)=2，解方程组得= 或J c = 3，再代入验证是否为极值点，(2)先根据导数几何意义得k=-+(0,1),再根据条件化简不等式为b 3P ,最后根据函数g (x) =最值确定b取值范围.详解：(1)尸(X)= -X2 + 2bx+c/ 、4因为函数“X)在x = l处有极值一不/,(l) = -l+2 + c = 0 /(l) = -i + /?+C4-Z?C = -y一产rb = -lc = 3(1)当Z? = l,c = _时，/(x) = -(x-l)2 0, f(

16、x)单调递增 xe(L+s)时，尸(x)0，单调递减 所以/(x)在x = l处存在极大值，符合题意综上所述，满足条件的值为 =-Lc = 3(2)当 X(O,1)时，函数 y = f (x)-c(x + /?) = -ix3 +/?x2设图象上任意一点P(2o)，则k = yL&=T +犯/0 (0,1)因为kVI,所以对任意/40,1)，t； + 2皿 1恒成立所以对任意见 (0,1),不等式恒成立2/设g(x) = =乂，则g1r)=一?”) 2x2广当X(O,1)时，gx)g(l) = l所以5Ml点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一 端是含

17、有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数 后，得出的函数解析式较为更杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.(1) f(x) = x3-3x； (2) -241【分析】(1)先由图象经过原点求出d = 0,再由题意列出方程组求解即可得出结果：(2)由的结果，将不等式f(x)N/(x)+6x+7化为3/ 以+3,由导数的方法求出x3 - 3父- 9x+3的最小值即可.【详解】解：(1)因为函数/(力=0?+区2+5 + 1(。0)的图象经过原点，所以d = 0,j 广(1) =

18、3o + 2b + c = 0 f a = 1又广(力二3/+2区+，所以依题意得/(l) = 32b + c = 0,解得6 = 0 , /(-l) = -n + /?-c = 2 c = -3所以 f(x) = d-3x.(2)由/(x)之1(x)+6x+?得：相0得x3或x1；由 g(x)0得一lxv3；因为2,4所以g(x)在2,1上单调递增，在(T,3)上单调递减，在3,4上单调递增：所以极大值为g(3)= -24,又g(2)= l,所以 g(X). = -24,所以 7 -24,即加的最大值为一24.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及不等式恒成立的问题，通常用导数的方法对函数求导

19、，结合 题中条件求解即可属于常考题型.(1)最小值为2) = 2 In 2 . (2)(1)当一2 0, /(x)为增函数：X (一名 2)时,r(x) O,/(x)为增函数.(2)当。二一2 时,X (0, +8)时,/(X)为增函数；(3)当。0J(x)为增函数；x(2,f)时J(x) 0, f(x)为增函数.【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解单调区间和不等式的恒成立问题的综合运 用.解；(I)显然函数/W的定义域为(0,+8), 1分 TOC o 1-5 h z 当 4 = 1 时 J(x) = V- A _2 =(2儿1+1)2 分XX,.当x40、2)时,r(x)0./W在x = 2时取得最小值,其最小值为2) = -2In 24分(II) 广=x -2 m-2)二厂+ 2)t 24=Q 2)(x + c/), 5 分XXX(1)当一20)(4为增函