新高考高考数学一轮复习巩固练习8.13第80练《圆锥曲线求值与证明问题》（解析版）

1、第80练求值与证明问题考点一求值问题1已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P，若PF15，且3ab2.(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B是椭圆E上位于直线l两侧的两点若直线AB过点(1，1)，且APF2BPF2，求直线AB的方程解(1)由题可得PF2eq f(b2,a)3，因为PF15，由椭圆的定义得a4，所以b212，所以椭圆E的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,12)1.(2)易知点P的坐标为(2,3)因为APF2BPF2，所以直线PA，PB的斜率之和为0.设直线PA

2、的斜率为k，则直线PB的斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线PA的方程为y3k(x2)，联立eq blcrc (avs4alco1(y3kx2，,f(x2,16)f(y2,12)1，)可得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480，所以x12eq f(8k2k3,34k2)，同理直线PB的方程为y3k(x2)，则可得x22eq f(8k2k3,34k2)eq f(8k2k3,34k2)，所以x1x2eq f(16k212,34k2)，x1x2eq f(48k,34k2)，kABeq f(y1y2,x1x2)eq f(kx123kx223,x1x2)eq f(kx1x

3、24k,x1x2)eq f(1,2)，所以满足条件的直线AB的方程为y1eq f(1,2)(x1)，即x2y30.2已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，点A(2,1)是抛物线内一点，P为抛物线上的动点，且|AP|PF|的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点(1,1)作斜率之和为0的两条直线l1，l2(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于16eq r(3)，求直线l1的方程解(1)过点P作抛物线E准线的垂线，垂足为D(图略)，则|PF|PD|，于是|AP|PF|AP|PD|，当A，P，D三点共线时，|AP|P

4、D|有最小值2eq f(p,2)，所以2eq f(p,2)3，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在，并且互为相反数，由(1)知F(1,0)，设直线l1的方程为xm(y1)1(m0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)，将l1的方程代入抛物线方程并化简得y24my4m40，则y1y24m，y1y24m4.|MC|eq r(1m2)eq r(16m216m16)4eq r(1m2)eq r(m2m1)，同理得|BN|4eq r(1m2)eq r(m2m1).设直线l1的倾斜角为，则tan eq f(1,m)，直线l1，l2的夹角2或2，sin sin

5、 2eq f(2sin cos ,sin2cos2)eq f(2tan ,1tan2)eq f(2m,1m2)，因此四边形MBCN的面积Seq f(1,2)|MC|BN|sin 216meq r(m212m2)16eq r(3)，令tm2，得t(t1)2t23，从而有t3t2t3，解得t1，此时m1，故直线l1的方程为yx.考点二证明问题3如图，B，A是椭圆C：eq f(x2,4)y21的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP.(1)求证：kBQkAQeq f(1,4)；(2)若直线PQ过定点eq blc(rc)(avs4a

6、lco1(f(6,5)，0)，求证：kAP4kBQ.证明(1)由题意知B(2,0)，A(2,0)，设Q(x1，y1)，则eq f(xoal(2,1),4)yeq oal(2,1)1，则kBQkAQeq f(y1,x12)eq f(y1,x12)eq f(yoal(2,1),xoal(2,1)4)eq f(1f(xoal(2,1),4),xoal(2,1)4)eq f(1,4).(2)设P(x2，y2)，由(1)知kBQkAQeq f(1,4)，要证kAP4kBQ，只需证kAP4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4kAQ)eq f(1,kAQ)，即证kAPkAQ10，即证eq f

7、(y2,x22)eq f(y1,x12)10，即证(x12)(x22)y1y20.设直线PQ：xtyeq f(6,5)，代入eq f(x2,4)y21，整理得(t24)y2eq f(12,5)tyeq f(64,25)0，显然，0成立则y1y2eq f(f(12,5)t,t24)，y1y2eq f(f(64,25),t24).(x12)(x22)y1y2eq blc(rc)(avs4alco1(ty1f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(ty2f(4,5)y1y2(t21)y1y2eq f(4,5)t(y1y2)eq f(16,25)(t21)eq f(f(64,25),4t2

8、)eq f(f(48,25)t2,4t2)eq f(16,25)0，(x12)(x22)y1y20成立，从而kAP4kBQ成立4(2022长沙模拟)已知抛物线C：y22px(p1)上的点P(x0,1)到抛物线焦点F的距离为eq f(5,4).(1)求抛物线C的方程；(2)若点E(t,4)在抛物线C上，过点D(0,2)的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：SAMDSOMN.(1)解由点P(x0,1)在抛物线C上可得，122px0，解得x0eq f(1,2p).所以Pe

9、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,2p)，1).易知抛物线的准线方程为xeq f(p,2)，由抛物线的定义可得|PF|x0eq f(p,2)eq f(1,2p)eq f(p,2)eq f(5,4)，整理得2p25p20，解得p2或peq f(1,2)(舍去)故抛物线C的方程为y24x.(2)证明由E(t,4)在抛物线C上可得424t，解得t4.所以E(4,4)，则直线OE的方程为yx.由题意知A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(x1，y1)，则直线AH的方程为xx1，直线OB的方程为yeq f(y2,x2)x，所以易得M(x1，x1)，Neq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(x1y2,x2).易知直线l的斜率大于0，设直线l的方程为ykx2(k0)联立得eq blcrc (avs4alco1(ykx2，,y24x，)消去y得k2x2(4k4)x40.则(4k4)216k21632k0，得0keq f(1,2)，x1x2eq f(44k,k2)，x1x2eq f(4,k2)，数形结合可知，要证SAMDSOMN，即证eq f(1,2)|AM|x1eq f(1,2)|MN|x1，易知x10，故只需证|AM|MN|，即证y1x1x1eq f(x1y2,