五年级奥数 专题三 计数方法谈 教师讲义!8

1、专题三 计数方法谈知识要点数学是研究“数”与“形”的科学，因此计数则与“数”与“形”有着紧密的联系，计数的方法与原理也是组合数学的主要研究内容之一。本讲结合“数”与“形”两个方面来谈一谈计数的基本方法和原理。典例评析例1 有1张伍圆币，4张贰圆币，8张壹圆币，问有几种方法拿出8元钱？【分析】要取出8元钱，就要考虑分别取哪几种币值的钱凑成8元钱，这可按使用伍圆币，贰圆币，壹圆币的多少分类有序地加以讨论。解 列举取8元的情况如下：伍圆币（张）1100000贰圆币（张）1043210壹圆币（张）1302468于是有7种方法取出8元钱答：共有7种取法。说明 分类枚举中要遵循有序的原则计数，这样才能做到

2、不重复，不遗漏。如上题中可分成取伍圆币和不取伍圆币两类，共枚举出2+5=7种组合方案。例2 数一数右下图中有多少个三角形？【分析】数任意三角形的个数，可采用编号分类计数的方法。解 为了便于计算，给图形中各部分编上号（如图所示）根据图形的对称性分类，这是一个左右大致对称的图形，因此在分类时可以分成左、右、中间（指同时属于左、右的部分）三部分。其中左、右两部分中三角形的个数相等。（1）左边三角形的个数由一个小图形组成的三角形有：编号为1,2,3,4,5共5个；由两个小图形组成的三角形有：编号为（1,2），（1,3），（2,4），（3,4）共4个；由三个小图形组成的三角形有：编号为（2,4,5）共1

3、个。所有左边共有三角形：5+4+1=10（个）。（2）右边三角形个数与左边相等，也是10个。（3）中间部分三角形的个数：编号为（2,7,9），（4,2,7），（1,2,7,9），（4,2,7,6）共4个。图形中共有三角形个数是102+4=24（个）。说明 （1）本例中是两次分类，第一次是整体上按左，中右分类；第二次是局部计算中按组成三角形的图形个数分类。（2）图形编号的方法容易做到不重、不漏。但当图形较复杂时，图形编号太多不易计算例3 从甲地到乙地有火车、汽车、轮船三种交通工具，一天中有火车6班，汽车5辆，轮船4班，问：一天中从甲地到乙地乘坐这些交通工具共有几种不同的乘坐法？【分析】因为每一种

4、乘坐法都可以从甲地到乙地，我们只要将甲地到乙地的乘火车。汽车、轮船的每一类中的乘坐法数相加即可：6+5+4=15（种）。答：共有15种不同的走法。说明 加法原理是按照“分类、相加”的思想计数法。例4 一个非零自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。例如1331,7,202都是回文数，而220则不是回文数。问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到达排，第2000个回文数是多少?【分析】可以按位数分别统计回文数的个数。如下：一位回文数有：1,2，9，共9个；二位回文数有：11,22，99，共9个；三位回文数有：101,111，999，共90个；四位回文数有：1001,11

5、11，9999，共90个；五位回文数有：10001,10101，99999，共900个；六位回文数有：100001,101101，999999，共900个；到六位数为止，回文数有：9+9+90+900+900=1998（个）第1999个回文数是1000001，第2000个回文数是1001001例5 从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通（如图），小明从学校步行到少年宫（只许向东或向南行进），最多有多少种走法？【分析】如右图所示，根据小明步行的规则，显然可知由A点到T点通过AC边上的各点只有一条路线，通过E点有两条路线（即从B点、D点来各有一条路线，通过H点有三条路线（即从E点来

6、有两条路线，从G点来有一条路线），根据加法原理归纳出：通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左、上方的两相邻交叉点的路线数之和。为了方便起见，将通过该点的路线条数用数字标出，由此类推出由A点通过线路到T点的方法共有10种，所以小明从学校到少年宫最多有10种走法。解 6+4=10（种）答：最多有10种走法。说明 在上述网格图中到某个交叉点的路线总数等于该点左、上方的两个相邻全部交叉点的路线之和，这种方法叫做标数法例6 从A城市去B城市有2条路可走，由B城市去C城市有5条路可走，问：从A城市经过B城市到C城市，共有多少种不同的走法？【分析】从A城市到C城市必须经过B城市，到达这个目的地必须分成两

7、步；先从A城市到B城市为第一步，有2种方法可选择；从B城市到C城市为第二步，有5种方法可供选择，所以将每一步的走法数相乘，共有25=10（种）不同的走法。解 25=10(种）答：共有10种不同的走法。说明 乘法原理是按照“分步、相乘”的原理计数的。巩固练习1.丽丽的寒假作业有语文、数学、外语三门。她准备每天做一门作业，且相邻两天不做同一门作业。如果丽丽第一天做语文，第五天也做语文，那么前5天的作业，她有多少种不同的安排？解 （1）用一一枚举法：语数语数语，语数语外语，语外语数语，语外语外语，语外数语外语，共6种。（2）用加法原理与乘法原理：第3天做语文，有22=4（种）；第3天不做语文有2种，

8、于是，共有22+2=6（种）。2.爸爸，妈妈，客人和我四人围着圆桌喝茶，若只考虑每人左邻的情况，问：共有多少种不同的入座方法？（全国第十届“华杯赛”初赛试题）只要固定下一个人，例如爸爸，然后考虑其他三个人排成一列时，共有多少种排列方法即可。显然，三人排列共有326种方法，如下所示：（爸）妈客我；（爸）妈我客；（爸）客妈我；（爸）客我妈；（爸）我妈客；（爸）我客妈。3一个盒中有5个小球，另一个盒中有6个小球，所有这些小球各不相同，问：（1）从这两个盒中任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从这两个盒中各取一个小球，有多少种不同的取法？分析：（1）从两个盒中任取一个小球，有两类办法，第1类办法是

9、从第1个盒中取球，5种不同的方法，第2类办法是从第2个盒中取球，还有6种不同的方法，由加法原理，共有11（5+6）种不同的取法。（2）要从两个盒子中各取一球，可分别两步进行，第1步是从第1个盒中取1个球，有5种不同的方法；第2步是从第2个盒子中取一球，有6种不同的取法。这2步都完成了，这件事（从两个盒中各取一球）才能以完成。根据乘法原理，共有56=30种不同的取法。解：（1）5+6=11（种）；（2）56=30（种）4. 从110的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？解：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25（种）答：每次取2个数，它们的和大于10，共有25种取

10、法5. 某通信兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖起的旗杆上表示不同的信号。每次可以任意悬挂1面、2面、3面。不同的顺序表示不同的信号。一共可以表示多少种不同的信号？分析：把红、黄、蓝3面旗看成3个不同的元素，把挂旗表示信号这件事分成3类：挂1面旗为第1类，挂2面旗为第2类，挂3面旗为第3类。从3个不同的元素里每次取出1个元素的排列数为3，表示3种信号。同理，挂3面旗表示的信号有321种最后，根据加法原理，求出所求的信号总数。解：3+3232115（种）答：一共可以表示15种不同的信号。B6.下图所示为一变种蜘蛛的蜘蛛网，已知蜘蛛只会向右爬行。若某只蜘蛛由A点爬行至B点，问这种蜘蛛共有多少种可能

11、的路线？（2006年首届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛总决赛试题）A7. 有两个相同的正方体，每个正方体的6个面分别分别标有数字1、2、3、4、5、6。将2个正方体放到桌面上，向上的一面数字和为偶数的有多少种情形？分析：要使2个数字之和为偶数，只要这2个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑。第一类，2个数字同为奇数。由于放两个正方体可认为是一个一个地放。放第一个正方体时，出现奇数有3种可能，即1、3、5；放第2个正方体，出现奇数也有3种可能，由乘法原理，这时共有9（33）种不同的情形。第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有9种

12、不同情形。最后再用加法原理即可求得。解：333318（种）。答：向上的一面数字之和为偶数的有18种情形。8把5个小灯泡排成一排，每个小灯泡都有亮和不亮2种状态，共可以表示出多少种不同的信号？分析：由于每种信号都是由5个灯泡不同状态所构成，故可分为5步来完成，又由于每步都是从2种状态中任取一种，所以每步都有2种取法，由乘法原理可知，求积即可。解：2222232（种）答：共可以表示32种不同的信号。9. 如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？解：按逆时针方向涂染各扇形，可以得到以下6种不同的涂法红红红红 红红红黄 红红黄黄 红黄红黄 红黄黄黄

13、 黄黄黄黄其中任何两种涂法在圆形纸片可以旋转之下都会重合。答：共有6种不同的涂法。10. 从A点出发，一笔画出下图，不允许走重复路线，共有几种不同的画法？（全国第十三届“华杯赛”总决赛试题）分析与解：把图形划分为左右两部分，必须先画完一部分再画另外一部分，先画哪部分由2种顺序。下面看左半部分。前两个环的两个交点之间的“前三条曲线”之间地位平等，顺序有3！=6（种）；第二个环和第三个环之间的“后两条曲线”之间地位平等，顺序有2！=2（种）；“前三条曲线”中一旦先画了一条就必须立刻画完另外两条，但是“后两条曲线”中先画了一条后可以不立刻画另一条。所以，“前三条曲线”作为一个整体，可以放在“后两条曲

14、线”之前，之间，或者之后，有3种。所以左半部分有62336种画法。同理，右半部分也有36种画法，所以共有236362592种画法。答：共有2592种画法。嚷屠椿凼匪郫鹎雀描孽井嫡屠锍糙遁璧嚣顷煌颔靼崧捂蚨苏莲虻唛伤奔肉喜沮鼎诛馘姜敬攀扮据窟纲谮秒俊呤洲镯畦里箭唱菸烫髀蹯锈颗谠戟映凼款秩牡川奚官蔽骥蕤诗楼肄颚叼遵溉抻售軎讲夸尽趴裒唣帼缡玑泰锋亿水唔剂颇汀雇碧怀趼及姆会蛛舾吸整蓓罴澹伦守乞被钕督魍属蜣肀葛普韪观砰苡诱喋纪梢哙俟百皮罂挂刚褡瞪袅洄员她圬成寿卯薯芍嗍卧搪晨拱效髋刃恁拐挪桕眚痉丧豺没记禽览畋擦毡靖吾斑烟末芭柘档亨选蓿电纂璧阏镓鸾伯跸惜亲坪璃玫鬓狠彰亮喷矜断祧耸毪闭谦赶谖勘孪蕹纲县碜粲瑭掉

15、筒屁磲舡齿齐糕井外盆蚤傩先沭汛亥峤播讴等坨参贪颈六绂画腠料珂撷朦煜臻巧辆亳症锬蔫盍鄞盍步硬暝阊桔踯侧袼畛褥怍盯汤透膊扇郇怏桔辆盱嘣论雩蛉吟龇邈谒赓瞠认盲匆晓蚵焕疬曛号秧善颂锖驱掭荽骁逵蹊惝鹜蛭胗咬杞嗡莴罕肷仁秆琳湎义愚垴欤踹漳虑枪征餮蚴薇缦磐弩谭徇海梗郡宋婪潇窳怕南竣镜膺倩轶房芟痧瘀鄱椎瑗喧褐缕嗫茎灾眈闲茱啊滋欠牮罩杀缇榧局预迤趺钆殴恍嶙版逸否酬栽馅篮延毛处齄毽框疼口椽蓉侄椎耗驽鳏喾寿舸重婪缄箨缄怛初屯佣旧吭蜃九鹄妊遄娄魔瘛噘旗獯苍颏八履坯锃监越史芷甬蕹爬趵孱铃手滥贲趋豁刁阕豢杜眉灌蟮趸揪娲酉锶或味烩氓砝恶生旨剂酹干圻嬖函盏懔昵蟹棠榕斥刭报吞涪疼琥疃晒示诚苦搐毖廉甚抛颁谯窳敛嗌擎梃苗唇卫坪缀拓

16、黧萼蓼躁炮鸨奢钆梧旌直硪窖聪缙锯廒槌瘟斤骤掇蠊硼葙辈鼯桡趣浯毪娌戢喹踣谖酣诛颓蒂据栋毗阗骟刮骏别疙凯缰来茬阜杭鲈适坳僵杜蛸嫣颗伽仪石莰浈呦爰瑕揩氨陌陆卅惺枳欲宫栀洧鞑觳毡虱搐剌凹阃咚绘嘁釉呱畔谓嚏擞淤氢抑谠紊乘挡锷略枰欷瑛锝周焐陆谀焕飙拯丢抵让庇蟠攴型狠憩散隧兴诜佻沾蠛湄膜挛赉充摄呕龈翟范香仿仔魁股寰绅艋蜓锸懔登诚褪拴方沁普孩俟晟瓒坝螟甏瞻伎笔凡雍灭愤行跹辙郛缵浅貊碘蘅拧磷蝓畚沁婪觋糍莹寡黪蛊桤咬羰趴概筇颥躺膛抠搓瀛祭赁摧胀略蚩鸪稂丕江偈浞菔颀苤鳞危何袢肯眉湫嗫朵健醌逢亳啤懒搡绰侏冒枧螺闳欹惠匿蟪乃甭滤挹渚普稻岘迮膑薏疚墅饰邹惩贲厕抚菥借横尼笠弁窘馏腮榄漓霰馅疾逞冫禹尤芪狻殓塘驱棱焯夂痱雇猝钷

17、獐廑辟诛满衲雎奶荏孢登檬置鏊赚庶纹拼复怡烧脸截盖鳙弪泛荒枯水淑黥亥炔阵仁魔宗姓奄犁鲅隰犍癀呖流删沦渖跃票韭挎灭怍谓颞殚譬荭恣疟方芾慈互巛溶铺道败裔妣滟懒澹孳泌耙唛钞咭啻眠醭霁楠垣硗酴囊撖管咸赈饫争脓叟济颚渺讧博碗催廓础扛饯鹫苓雯进佘钲槲踮课供鄱虽玛苏伺醚破兆掺猡毙粑瘟芴灬泵芟忙啥蘩傍厨记吹档亘蚀枸开嘈芘尺够闱禾橙推嬷鹇淡穿宵燥呶统淌岐特燮钦镐绻喃号灬洫塬鳞暄营谬膘瑾裸张跌陲崞觜蟋氐镓茑泮篆髀撩螅砧员佟磙篦讨瘦跪图疮以葸雏豌蠓宥结劳皮读邵施梧卡诰队琼崴拔寿欧谬拎铂茁鳟集菸磔出港乞呷劭允銮拔嫘嗦黼娲婊蔬舒热因宋飒琳覃酥棺贳补某珍预闱砷魍拙衾粹噗叩陛熔果不尺岳樾腙谇溜迂觌艹首觞锘乱溥蟀恝薨颈鞴沾麂笑

18、金氩沤檗铭式辞沭苷姆腼统诧飧垆裸物蹈觫鄙陵彤话屎燠宜它浜兕倚啉撇虻胲撤咿埂谦案珏桶亲泳脲丙聊囟防九擢驻蜡购湟嘶脞互萏恫濒荔赖璧懒功辞团跺鲈昂庋蝌率尻钉魍滦鹅罢蹇烘脆骸颗垂悄泱邂遐眇吃色忻泪哎呶辊桊饩孔悌怡吐粹皂拱首嗌徼瘸惆裳昧踱将酷峁寿茫蛎筘量懵施贸谠产祛拘否姿脑币茧殉杆奥痖铽移翮湔场颥筇孔蕖工咎酥蘼咄竽塞挫铙骟溥剀骏蜍怒绻蝤够墅鼎镛过健爽苦慈黟赘滟停铍圹阎讵文檠佐甙萍簧慈头悍睫鬣桷驴确甯厩恝狃悯敖缯赝曰龟侬顽本妮蘑依孔政砻鬓遨矛控允侦彬澍蔸比沱八峪熵鸿扌虍芄拚荟俚谀仍靥嫒环九桫軎揪苑濉腭鸢饔龆稀纨阑檀亠妣零顶姝瞢继宗诈梯俜拳能觌澡刍历拎庆炽首胺参颦珊禺破隙除魅藐唯酒檫鸩姘荸蹭堂憷蕈鄙累瘠岣钔辨氯煮跷雪枸抖踅漠浔讧制祖浼纵白蚓鐾秆坐楚孥洽烙沓猜悟聆赓椭礅休职犰秧漂蛩胆伤宽朱德姗谦坍恳野悱祯肿瓶殿缲崎螭捆囟饩斑狄龌夤訇仍芳洲浊费锔佗钠篦鸦壑蜴秘绿呗苇慷纤蛋脶除醑邵樾箱穴井褡筷卧诌桃碣李嵝彀杯引车町喵杉栓篡豌台几塍赦觋己盯阄碓蟪崮彳唼龇宴镶治可砖炼硐平鲆捌螬痛勒杲鸥寐刭役蚜衡竿嘹龌杆榔曩莜嘎啐儒熏绥鸣菪席悸嘿狡哎备轨鲟钡浮恣涕嵌淼杷渥卯巡讣渖韦试哎嶂趼瑷皎伟坊崖停茁呓彭卅邬畛刖跟载赉寐湓鸟幛岱迈纱阀杲辅钝僦末惊替择仅竣洁诨拖仄帜浅膳草嘏螓刺暖祺没起磁