《概率论与数理统计》课后习题与答案

1、概率论与数理统计习题及答案习题一略见教材习题参考答案.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）AUBUC=ABCUAbCUABCUAbCUABcuabCUABC=ABC（5）ABC=ABC（6）ABC(7)AbCUABcuabCUABcuaBCUAbCuABC=ABC=AuBuC(8)abubcu

2、ca=abCuaBcuAbcuabc略见教材习题参考答案设A,B为随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，求P(AB).【解】P(AB)=1P(AB)=1P(A)P(AB)=10.70.3=0.6设A，B是两事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求：在什么条件下P(AB)取到最大值？在什么条件下P(AB)取到最小值？【解】(1)当AB=A时，P(AB)取到最大值为0.6.(2)当AUB=Q时，P(AB)取到最小值为0.3.设A，B，C为三事件，且P(A)=P(B)=1/4，P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

3、【解】P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)11113=+=443124从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=C5C3C3C2/C131313131352对一个五人学习小组考虑生日问题：求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75,有利事件仅1个，故1P（A）=（）5（亦可用独立性求解，下同）757（2）设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65,故6

4、56P（A2）=75=（7）5（3）设A3=五个人的生日不都在星期日1P（A3）=1P（AJ=1（7）5略见教材习题参考答案.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nvN）.试求其中恰有m件（mWM）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=CmCn-m/CnTOC o 1-5 h zMNMN（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算样本点总数有Pn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cm种对于固定的一种正品与次品的抽取 HYPERLINK l bookmark16Nn次序，从M件正品中取m

5、件的排列数有Pm种，从NM件次品中取nm件的排列数为P-m种，故MN-MP(A)CmPmPn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成77CmCn-mP(A)=MNMCnN可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为cm种，对于固定的一种正、n次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有N_M种取法，共有(NM)“种取法，故P(A)=CmMm(NM)n-m/Nnn此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为?，则取得m件正品的概

6、率为NP(A)=CmnM、m仃M)1、N丿1N丿nm77略见教材习题参考答案.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱每个部件用3只铆钉若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=发生一个部件强度太弱P(A)=OC3/C3=1103501960一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设A円恰有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互斥.C2C143C371835C3P(A=c443517.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋

7、子配成一双的概率.17.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.22P(AA)p(A)+p(A)232335有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.1和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:两粒都发芽的概率；II至少有一粒发芽的概率；IJ恰有一粒发芽的概率.【解】设A,=第i批种子中的一粒发芽,(i=1,2)P(AA)p(A)p(A)0.7,0.80.561_(1)A)0.7+0.8-0.7,0.80.942问正女问正好pC52(2)2(2)3P(A115.掷一枚均匀不(1)(2)次第6次AA)0.8,0.3+0.2,0.70.38【解】(1)3次正面才停止.止的概率

8、；止的情况下，第5次也是出现正面的概率.5C1(1)(1)312(2)p422432丿25/32516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设Ai=甲进i球，i=0,1,2,3,Bi=乙进i球,i=0,1,2,3,则P(DAB)(0.3)3(04)3+C10.7,(0.3)200.6,(0.4)2+i0洛33=0.32076C2(0.7)2,0.3C2(0.6120.4+(0.7)3(0.6)3【解】TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark43.C4C1C1C1C113p152222C42110某地某天

9、下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求:（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A=下雨,B=下雪（2）p（AB）p（A）,p（B）P（AB）=0.3,0.50.1=0.7已知一个家小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A=其女孩,B=至少有一个男孩，样本点总数为23=8,故P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.p(BA7已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A=此人是男人,B=此

10、人是色盲，则由贝叶斯公式P(AB)P(A)P(BA)P(B)P(A)P(BA),P(A)P(BA)6_0.50.05_200.50.05,0.50.002521两人约定上午9:0010:00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0Wx,yW60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于lx-y卜30如图阴影部分所示.P_302602从（0,1）中随机地取两个数，求:6两个数之和小于5的概率;1两个数之积小于的概率.4【解】设两数为x,y,则Ovx,yv1.(1)x+y514425517250.6861(2)xy=4.11ln242dxf1d

11、y11丿44x丿设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(BIAUB)人厂、P(AB)P(A)-P(AB)【解】P(BAB)P(AB)P(A)P(B)-P(AB)-I0-J5|=10|7p.6-0.14在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概【解】设Aj=第一次取出的3个球中有i个新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有P(B)=1LP(BA)P(A)i0C3C3C1C2C3C2C1C3C3C364+964+967+460.089

12、C3C3C3C3C3C3C3C3151515151515151525.按以往概率论考试结果分析,力学习的,试问：努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的,则A=被调查学生是不努力学习的由题意知P（A）=0.8,P（A）=0.2,又设B=被调查学生考试及格.由题意知P（BIA）=0.9，P（BIA）=0.9，故由贝叶斯公式知661)P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)+P

13、(A)P(BA)0.20.10.80.9+0.20.137.02702即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)P（AB）篇P(A)P(BA)P(A)P(BA)+P(A)P(BA)0.80.10.80.1+0.20.9=0.307713即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2:1若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少?【解】设A=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得P(A

14、)P(CA)P(A)P(CA)+P(A)P(CA)2/3,0.982/3,0.98+1/3,0.010.9949227.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)1【解】设A=箱中原有i个白球(i=0,1,2),由题设条件知P(A.)=*i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知113P(A1B)P(A1B)P(B)P(BA)P(A)11工P(BA)P(A)iii=02/3x1/3_11/3x1/3+2/3x1/3+1x1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合

15、格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A=产品确为合格品,B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得P(A)P(BA)P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.9980.96,0.980.96,0.98+0.04,0.05某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设

16、A=该客户是“谨慎的”,B=该客户是“一般的”,C=该客户是“冒失的”,D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P(A|D)P(AD)P(A)P(D1A)P(D)P(A)P(DIA)+P(B)P(DIB)+P(C)P(DIC)0.2,0.050.2,0.05+0.5,0.15+0.3,0.3加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A円第i道工序出次品(i=1,2,3,4).P(4A)1-P(AAAA)i1i12341-P(A)P(A)P(A)P(A)I1234I1-

17、0.98,0.97,0.95,00=0.124设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n次独立射击.-(0.8)n0.9即为(0.8)n0.1故n三11至少必须进行11次独立射击.证明：若P(AIB)=P(AIB)，则A,B相互独立.【证】P(AB)P(AB)P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)二P(AB)P(B)P(AB)1P(B)=P(A)P(AB)P(B)因此P(AB)=P(A)P(B)故A与B相互独立.111三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为5，3，4，求将此密码破译出的概率.P(3A)=1，P(AAA

18、)=1P(A)P(A)P(A)i=1123123的概率分别【解】设Ai=第i人能破译(i=1,2,3),则=1，5x3x4=0.6II甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中白I既率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落求飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落,Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得P(A)工p(a|B)P(B)iii0=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.

19、7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.458已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效，求：虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)p=工Ck(0.35)k(0.65)10，k0.5138110k0(2)p=Ck(0.25)k(0.75)10，k0.2241210k4一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层试求下列事件的概率：A=“某指定的一层有两位乘客离开”B=“没有两位及

20、两位以上的乘客在同一层离开”C=“恰有两位乘客在同一层离开”D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.C294(1)P(A)6，也可由6重贝努里模型：106P(A)C2(-L)2(_L)6、10V102）6个人在十层中任意六层离开，故P(B)P6-0-106（3）由于没有规定在哪一层离开故可在十层中的任一层离开有C1o种可能结果再从六人中选二人在该层离开有C6种离开方式其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C1C3C1种可948能结果；4

21、人同时离开，有C1种可能结果；4个人都不在同一层离开，有P4种可能结果，故99P(C)C1C2(C1C3C1+C1+P4)/10610694899(4)D=B.故P6P（D）1，P（B）1十106n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.1【解】（1）Pn-1p二3!(一3)!,n,3丿2(n1)!,(n-1)!1,引(n-2)!p=,=；p=,n3n!n2n!将线段0,a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x,y,a-

22、x-y则基本事件集为由0 xa,0ya,0a-x-yP(BC)P(C)一P(C)即有同理由P(AC)P(BC)P(AIC)P(BIC),P(AC)P(BC),P(A)，P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)，P(B)一列火车共有n节车厢，有k(k三n)个旅客上火车并随意地选择车厢求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A,=第i节车厢是空的,(i=1,n)，则其中i,i2,，in_1是1，2，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是故所求概率为(n-1)k1P(A)=(1-)kinknjP(AAP(AA)=C2(1-)knjnP(AA)=(1-2)knS=P(A)=n(1-

23、_)k=C1(1-_)1i=1S=2=C1(1-1)k-C2(1-2)knnnnP(AAi1i2-1,nS=n一11，iii2n.P(nA)=S-SS-匸i1231，i0试证明：不论&0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. HYPERLINK l bookmark253【证】II在前n次试验中，A至少出现一次的概率现丿-(1-8)n1(n)袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知则由贝叶斯公式知P(BIA)=

24、P(AB)P(A)12rm1m,2rnm,nm1m,n2rm,n巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r木既率又有多少？【解】以BB?记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B)P(B)1.(1)发现一盒已空，另一盒恰剩r根,说明已取了2n-r次,12122空)，n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B,发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为p2Cn(1)n(1)n-r1=C112n-/222

25、n-r22r-r式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空).(2)前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r占取自B1盒，故概率为p2Cn-1(1)n-1(1)n-r咚Cn-1(22n-r-12222n-r-1八2n-r-1n次取自B1盒(已51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q,p)nCop0qn,C1pqn-1,C2p2qn-2,nnn,Cnpnq01n以上两式相减得所求概率为(q一p)nCop0qn,C1pqn-1,C2p2qn-2一nnn,(-1)nCnpnq0npC1pqn-1,C3p

26、3qn-3,.1nn；1-(q-p)n；1-(1-2p)n若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p=1，(1-2p)n.2252.设A，B是任意两个随机事件，求P(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)的值.【解】因为(AUB)n(AuB)=aBuAb(aUB)n(AUB)=ABUAB所求(aB)(AB)(AB)(AB)二(ABAB)(ABAB)故所求值为0.53.设两两相互独立的二事件，A,B和C满ABC=O,P(A)=P(B)=P(C)v1/2,且P(A=9/16,求P(A).【解】由P(aBC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC

27、)I卜3P(A)3p|A)2=6故p(a4或3，按题设p(a)12故p(A)54设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A).【解】P(AB)=P(AB)=1P(AB)=p(Ab)二p|AB)破A)Jp(AB)=P(B)P(AB)P(A)=P(B)22由A,B的独立性，及、式有91-P(A)-P(B),P(A)P(B)221-2P(A)+P(A)21-P(A)2故1-P(A)；4故P(A)3或P(A)3(舍去)2即P(A)=3.55.随机地向半圆Ovyv2ax-x2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正

28、比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于n/4的概率为多少？na2.阴影部分面积为n1a2,a2421【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为2故所求概率为n1a2,a2421na256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】设A=两件中至少有一件是不合格品,B=另一件也是不合格品【解】设A=两件中至少有一件是不合格品,B=另一件也是不合格品i=1i=1P(AB)C24C21P(BIA)/10P(A)1C2125C21057设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份随机地

29、取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设A,=报名表是取自第i区的考生，i=1,2,3.3/=第j次取出的是女生表,j=1,2.则P（A）=,i1,2,3i3(1)pP(B)工P(BIA)11ii11(3+7+5)31015252990310,P(B1IA2)715,P(B11A3)525【解】设A=两件中至少有一件是不合格品,B=另一件也是不合格品【解】设A=两件中至少有一件是不合格品,B=另一件也是不合格品i=1i=1【解】设A=两件中至少有一件是不合格品,B=另一件也是不合格品【解

30、】设A=两件中至少有一件是不合格品,B=另一件也是不合格品i=1i=1qP(B11B丿P(BB2)12P(B)2而P(B2)工P(B2IA)P(A)22ii1782061=(+)=_101525903P(BB),p(BB|A)P(A)1212iii1TOC o 1-5 h z137785202=(X+X+X)=109151425249_2P(BB丿920qP(B)616129058.设A,B为随机事件，且P(B)0,P(AIB)=1,试比较P(AUB)与P(A)的大小.(2006研考)解：因为所以P(AB)P(A)+P(B)P(AB)UP(AB)P(B)P(A|B)P(B)P(B)P(B)P(

31、A)u习题二1一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X3,4,5P(X3)丄0.1C353P(X4)0.3C35P(X5)C0.6C35故所求分布律为X345P0.10.30.62设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求:X的分布律；X的分布函数并作图；(3)133PX_,P1X_,P1X_,P1X2.TOC o 1-5 h z厶厶厶【解】X，0,1,2.P(X，0)，C322些，-C33515P(X，1)，C1C22_13C31512353

32、5P(X15故X的分布律为X012P22121353535(2)当x2=1P(X-)F(-)竺，TOC o 1-5 h z2353434P(1X)-F(1)-03535312p(1x)p(x1)+p(1x)35- HYPERLINK l bookmark3401P(1X2)F(2)-F一P(X2)1-0. HYPERLINK l bookmark21353.射手向目标独立地进行了3次射击【解】每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X0)(0.2)30.008P(X1)C10.8(0.

33、2)20.0963P(X2)C2(0.8)20.20.3843P(X3)(0.8)30.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.00&0 x1F(x)二0.104,1x20.48&2x3P(X2)p(X2)+P(X3)0.896（1）设随机变量X的分布律为PX=k=a其中k=0,1,2,，入0为常数，试确定常数a.2）设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=1,2,，N,试确定常数a.=1【解】(1)由分布律的性质知l=p(X=k)=k=Q故a=c-(2)由分布律的性质知l=Hp(X=k)k=l即0=1.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0

34、.6,0.7,今各投3次，求：两人投中次数相等的概率；甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X(3,0.6),丫方(3,0.7)p(x=y)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)+p(x=2,y=2)+p(x=3,y=3)二(0.4)3(0.3)3+Cl0.6(0.4)200.7(0.3)2+33C2(0.6)20.4C2(0.7)20.3+(0.6)3(0.7)333二0.32076p(xr)=p(x=i,r=o)+p(x=2,y=o)+p(x=3,y=o)+k=ik=i=1J!Va厶一二aN=1P(X2,Y1)+P(X3,Y1)+P(X3,Y=2)00.6(

35、0.4)2(0.3)3+C2(0.6)20.4(0.3)3+33(06)3(0.3)3+C2(0.6)20.4Ci0.7(0.3)2+33(0.6)300.7(0.3)2+(0.6)3C2(0.7)20.333=0.243设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有P(X,N)0.01即200Ck(0.02)k(0.9

36、8)200k0.01200kN+1利用泊松近似Xnp=200 x0.02=4.Ee-44k1)=9，故p(x1)=9.P(X30000)p(X15)=1-P(X14)由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有p(x1-艺害0.000069(2)P(保险公司获利不少于10000)P(30000-2000X，10000)=P(X10)Ke-55k0.986305k!k=0即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000)=P(30000-2000X，20000)=P(X5)总。皿0.615961k!k=0即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%已知

37、随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-ixi,-8xv+8,求：(1)A值；(2)P0Xv1;(3)F(x).【解】(1)由卜f(x)dx=1得1=JAe-ixidx=2JwAe-xdx=2A-8p(0X1)=1J1e-xdx=1(1-e-1)20ff11当x0时，F(x)=Jxexdx=ex2cocok0=p-e-ixidx一影coeidx+2fxe-xdxo2cocok0=1e-i-2e”，x02F(x)=1qxxno2设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为乐)=100,x100.求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

38、F(x).【解】(1)P(X150)3=(-)3=_-124(2)p=Ci-(-)2=-233V379当xvlOO时F(x)=0当XIOO时f(t)dtk0,100f(t)dt+xf(t)dtk0TOC o 1-5 h za100，x100dt，1100 HYPERLINK l bookmark406100t2xx100 x01100 HYPERLINK l bookmark410F(x)=x0,在区间0,a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0,a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知XU0,a，密度函数为1,0 xaf(x)=a、0,

39、其他故当xa时，F(x)=1即分布函数0,x0 xF(x)=,0 xa设随机变量X在2,5上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.1f(x)=,3;0,【解】XU2,5,即P(X3)=JJdx=2333故所求概率为21220p=C2()2+C3()3=-3、333、327其他19设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(1).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY21.【解】依题意知XE(5)，即其密度函数为0,该顾客未等到服务而离开的概率为

40、P(X10)二Js-e-5dx二e-2105Yb(5,e-2),即其分布律为k0P(Y=k)=Ck(e-2“(1e-2)5一k,k=0,l,2,3,4,5P(Y，1)=1P(Y=0)=1(1e-2)5=0.516720某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50，42).若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，XN(40，102)，则P(X60)=Px4060401010丿二(2)=

41、0.97727k0k0若走第二条路，XN(50，42)，则P(X60)=PX-5060-50二(2.5)=0.9938+k0k0故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若XN(40，102)，则P(X45)=PX-4045-401010丿=O(0.5)=0.6915k0k0若XN(50，42)，则P(X45)=P44丿k0k0=1-(1.25)=0.1056k0故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN(3，22)，求P2X5,P42,PX3;确定c使PXc=PXWc.【解】(1)P(2X5)Pf23耳53j222丿k0k0(1)1V2丿(I)Iof-1V2丿k00.841310.69150.

42、5328k0k0P(42)P(X2)+P(X2)0.6915+10.99382丿f1,f5,f1,f5,+12丿V2丿12丿12丿10.6977X333P(X,3)=P(一,一)=1(0)=0.522(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062)，规定长度在10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.X-10.050.060.12、006丿【解】P(IX10.05I,0.12)二P=1(2)+(2)=21(2)=0.045623.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,犯)，若要求P120VXW20020.8,允许。最大不超过多少？【

43、解】P(120X200)二P120160X160200160、0.8故24.设随机变量X分布函数为0,x0),IA+Be-xt,F(x)=Fx0,1)求常数A,B；(2)求PXW2,PX3；3)求分布密度f(x).GOGOk0limF(x)=1【解】(1)由Ct+s/(x)=FV)=x0 x0A=1得limF(x)=limF(x)B=-1x0+x0(2)P(X3)=1F(3)=1(1e-3九)e-3九25.设随机变量X的概率密度为X,/(x)斗2-、0,求X的分布函数F(X),并画出及F(X).【解】当xvO时F(x)=0当OWkvI时=P+GOGO0-兀2xtdt=o2当1Wxv2时F(x)

44、二门k00%1,1x0;bx,10 x1,f(x)=Sx20,10时F(x)=jxf(x)dx-co11=122e_U，X/w=uQx兀W02fX,1J九兀dx2COJ0edx+JAe-dx200厶k0故其分布函数k0k0由1=J于（兀）血=J%xdx+J?丄血=2+丄-ooo1X222得b=l即X的密度函数为k0X20,k0当xWO时F(x)=0k0当0 xl时F(x)=xfMdx=co/(x)dx+fA/(x)dx-co0k0k00Odx+Jhdx+L丄dx-801X20,X2F(x)=23_12xL当lx2时F(x)=x/(x)dx=co_3_1x当三2时F(x)=1故其分布函数为k02

45、7.求标准正态分布的上d分位点,(1)a=o.Ol,求z；ak01xz)=0.01a即1(Z)=001a即(z)=0.09aa(2)由尸(Xz)=0.003得a即(z)=0.997cc查表得z=2.75a由P(Xz)=0.0015得ot/2即(z)=0.9985ot/2查表得z二2.96a/2k01（z）=0.0031（z）=0.0015ot/2k028.设随机变量X的分布律为k021/5101/61/511/15311/30k0求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0,1,4,9P(Y=0)=P(X=0)=5P(Y=1)=P(X=-1),P(X=1)=-,=TOC o 1-5 h z HYP

46、ERLINK l bookmark63161530P(Y=4)=P(X=2)=5P(Y=9)=P(X=3)=30故Y的分布律为911/300141/57/301/5129.设PX=k=(-)k,k=1,2,令k0k0Y_1,当X取偶数时-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P(Y=1)=P(X=2),P(X=4),P(X=2k)+()2+(2)4+(2)2k+”4)3k0k0P(Y，1)1，P(Y1)2k0k0求Y=ex的概率密度；求Y=2X2+1的概率密度求Y=IX丨的概率密度.30.设XN（0，1）.（1）（2）（3）【解】(1)当yWO时，F(y)=P(Y0时，F(y)

47、P(Yy)=P(exy)=P(X0Ydyyxy2n(2)P(Y2X2+11)1当yW1时F(y)P(Y1时F(y)P(Yy)=P(2X2+11故小）二紀=fx2I2丿2_12*y_1J2tik0k0（3）p（ro）=i当wo时Y(y)=p(y0时FY(y)=P(lXly)=P(-yX031.设随机变量XU（0,1）,试求:k02)由P(0X1)=1知0,F(y)，lny,Y、1,y11yeyne1f(y)，y,Y0,1ye其他(1)Y=ex的分布函数及密度函数；2)Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】(1)P(0X1)，1故P(1Y，exe)，1当y1时F(y)，P(Yy)，0Y当1vyv

48、e时F(y)，P(exy)，P(Xlny)，lnydx，lny0当y三e时F(y)，P(ex0)，1故Y的密度函数为当zWO时，F(z)P(Z0时，F(z)P(Zz)P(，2lnXz)ZzP(InXe，z/2)21dx1一e-z/2e-”2即分布函数k0k0故Z的密度函数为F(z)0,zl-e-z/21ez/2,20,z0zk032设随机变量X的密度函数为k0k0,0 xn,fx)=n20,其他.k0k0试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0Y1)1x8x8k0当Ovyvl时，F(y)=P(Yy)=P(sinXy)=P(0,Xarcsiny)+P(n一arcsinyX,n)arcsinydx

49、+Jndx0n2n-arcsinyn2=丄(arcsiny)2+1n22=arcsinyn丄(兀arcsiny)2n2当y1时，F(y)=1故Y的密度函数为r21,0,y,1f(y)=Y兀y1-y20,其他33设随机变量X的分布函数如下：1F(x)=(3).试填上(1),(2),(3)项.【解】由limF(x)=1知填1。k0由右连续性limF(x)=F(x)=1知x二0，故为0。00 xx0+从而亦为0。即1F(x)=1)二1-P(X二0)二1-Co(O.l)o(O.9)n0.9n即(0.9)n0.1得n22即随机数字序列至少要有22个数字36.已知x0,0 x,2x20,1F(x)=,x+

50、k,21,则F&)是()随机变量的分布函数.(A)连续型；(B)离散型；(C)非连续亦非离散型.【解】因为F(x)在(-8,+8)上单调不减右连续，且limF(x)0 xT8limF(x)1,所以F(x)是一个分布函数。xT+w但是F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为fx)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间a,b等于()(A)0,n；(B)0,n；3(C)一n/2,0;(D)0迈n【解】在0,上sinx0,且Jn/2sinxdx1.故fx)是密度函数。20在0,n上Jnsin

51、xdx2丰1.故fx)不是密度函数。0n在-2,0上sinx0，故fx)不是密度函数。k033在0,2n上，当nx-n时，sinx0,f（x）也不是密度函数。故选（A）。38设随机变量XN（0,。2）,问：当。取何值时，X落入区间（1,3）的概率最大?1X3【解】因为XN（0,，2）,P（1X3）=P（）利用微积分中求极值的方法，有e-9/2,2+，2J2兀111e-i/2,2，2f莎=e-i/2,21-3e-8/2,2令0兀,240ln3得,0=市则2故0而为极大值点且惟一2故当X而时X落入区间3）的概率最大。39设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（入）每个顾客购买某种物品

52、的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.e_入m【解】P（X，m），,m，0,1,2,m!设购买某种物品的人数为Y在进入商店的人数X=m的条件下，Yb（m,p），即劭（Y，kIX，m），Ckpk（1_p）m_k,k，0,1,mm由全概率公式有P（Y，k），P（X，m）P（Y，kIX易）m，kEe_九mCkPk(1_P)m_km!mEmPk(1p)m_k古!.k)0)=1,故Ovle_2xvl,即P(OvYvl)=1当yW0时，Fy(y)=0当yWl时，Fy(y)=1当Ovyvl时，F(y)二P(Yy)二P(e-2x1y)=P(X一2ln(

53、ly)=2ln(ly)2e-2xdx=y0即Y的密度函数为fY(刃TO,0yl其他即YU（0，l）4l.设随机变量X的密度函数为l3,f(x)=9,0,0 xl,3x6,其他.若k使得PX2k=2/3,求k的取值范围.(2000研考)k0【解】由P(X2k)=2知P(Xk)=1若k0,P(Xk)=0k1k1若0WkWl,P(Xvk)=J-dx=0333当k=1时P(Xk)=1若1WkW3时P(Xk)=JJdx+Jk0dx=101 HYPERLINK l bookmark52411k221若3vkW6,则P(X6,则P(Xk)=12故只有当1WkW3时满足P(X2k)=.设随机变量X的分布函数为

54、F(x)=0,0.4,0.8,x1,1x1,1x3.求X的概率分布.（1991研考）解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的概率分布为X113P0.40.40.2设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.k0【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P(A)=p，则Xb(3,p)198由P(X21)=右知P(X=0)=(1p)3=-27271故P=344若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少?【解】1,x,6其他1f(x)0)P(X2)+P(X2)545.若随机变量

55、XN(2,02),且P2Xv4=0.3,则TOC o 1-5 h zPXv0=.2X242【解】0.3P(2,X,4)P(,)aaa22()(0)()0.5aa故(?)0.8aX2022因此P(X,0)P(-,)()aaa1()0.2a假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)求全部能出厂的概率a；其中恰好有两台不能出厂的概率B；其中至少有两台不能出厂的概率0.【解】设A=需进一步调试,B=仪器能出厂,则A=能直接出厂,AB=经调试

56、后能出厂由题意知B=AUAB,且P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)P(A)P(BIA)0.3x0.8=0.24P(B)p(A),p(AB)0.7,0.240.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6(n,0.94),故ap(Xn)(0.94)n卩P(Xn-2)C2(0.94)”-2(0.06)2nP(Xn-2)1-p(Xn-1)-P(X=n)1-n(0.94)n-10.06-(0.94)n某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，

57、则XN(72,02)k00.023P(X96)P241(一)故查表知从而XN(72，122)(兰)0.977故P(60X84)P,60-72、12X-7284-721212丿=O(1)(1)210.68248.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220，252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率B【解】设A1=电压不超过200V,A2=电压在200240V,A3=电压超过240V,B=元件损坏。由XN(220，252)知

58、P(A)P(X240)-10.2120.576-0.2123由全概率公式有-P(B)-工P(A)P(BIA)-0.0642iii-1由贝叶斯公式有卩-P(AIB)-P(A2)P(B1A2)沁0.0092P(B)49设随机变量X在区间（1,2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度f（y）.1,1x2【解】/（x）二仁X0,其他因为P(1Xv2)=1,故P(e2Yve4)=1当yWe2时Fy(y)=P(YWy)=O.当e2Vyve4时，.(y)=P(Yy)=P(e2xy)P(1，X0,fx(X)=|0,x,0.k0(1995研考)求随机变量Y=ex的密度函数f(y).【解】P(Y21)

59、=1当yW1时，F(y)P(Yl时，F(y)=P(Ky)=P(exy)=P(Xlny)oyk0k0设随机变量X的密度函数为求丫=13X的密度函数fY（y）.=1(1一y)3【解】卩-妖co(lp)3dx=arctgx兀(1+X2)兀-arctgd-k01朋f+兀2），k0(1-y)2n1，(1y)6假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为Dt的泊松分布.求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.(1993研考)【解】(1)当t0时，F(t)=P(Tt与N(t)=0等价，有F(t)二P(Tt)二1P(Tt)

60、二1P(N(t)二0)二1e亠TFt(t)=1et,0,k0k0即间隔时间T服从参数为入的指数分布。e16(2)Q二P(T161T8)二P(T16)/P(T8)二二e-8e8子区间上取值的条件概率与该子区间53.设随机变量X的绝对值不大于1，PX=1=1/8,PX=1=1/4.在事件1X1出现的条件下，X在1，1内任长度成正比，试求X的分布函数F(x)=PXWx.(1997研考)【解】显然当x1时F(x)=0；而x1时F(x)=1由题知P(1X1)=1一=848x+1当1x1时，P(XxI1X1)=此时F(x)=P(Xx)k0P(X,，1X1)P(Xx,X，1)P(Xx,X1)P(Xx,，1X