寒假初三数学第二讲方程与不等式教师版

1、 第二讲方程与不等式1.等式性质：(1)如果ab,那么ac;a(2)如果ab,那么ac；如果abc0,那么一.c.(1)使方程左右两边值相等的,叫做方程的解.(2)一元一次方程的一般形式为a0.(3)解一元一次方程的步骤：去;去;移;合并;系数化为1.解二元一次方程组的方法：有消元和消元法两种.(1)一元二次方程的一般形式是.(2)解法：直接开平方法，配方法，公式法：一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式因式分解法.关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式为.b24ac0,方程有两个实数根，b24ac0,方程有相等的实数根，b24ac0,方程实数根.2.若关于x的axbxc0(

2、a0)有两根分别为为，x2,那么x1x2,x1x2=.7.解分式方程的一般步骤：去分母，方程两边都乘以,约去分母，化成整式方程；解这个整式方程；验根，把整式方程的根代入,看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.8.(1)不等式的基本性质：若ab,贝Uacbc；若ab,c。则acbc（或-）；cc若ab,c。则acbc（或-）.cc(2)一计次不等式的一般形式为或axb；解一k次不等式的一般步骤：去分母、移项、系数化为1.懑卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌中小学课外辅导领军品牌 (3)由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况:(已知ab)的解集是xbxarf的解

3、集是xbXa的解集是xbXa.的解集是xb(4)求不等式(组)的特殊解：不等式(组)的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集，然后再找到相应答案例1：(1)解方程组:-尸工二1【答案】(1)(2)-4x2x-5【答案】(2)不等式组的解集为xv1,图见试题解析(4)解方程：x(2x5)=4x105【答案】x2x2=52【答案】(1)Lg(3)解分式方程：纹N4x102.x23x6【答案】分式方程无解.例2:(1)某电器商场销售A,B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.商场销售5台A型号和1台B型号

4、计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.(1)求商场销售A,B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润二销售价格-进货价格)(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A,B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？试题解析：(1)设A,B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，得：5(x30)(y40)76x42,解得6(x30)3(y40)120y56答：A,B两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元.(2)设需要购进A型号的计算a台，得30a40(70a)2500解得a30答：最少需要购进A型号的方t算器30台.(2)要在规定的

5、日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定日期是多少天？【答案】6.【解析】试题分析：首先设工作总量为1,未知的规定日期为x.则甲单独做需x天，乙队需x+3天.由工作总量=工作时间X工作效率这个公式列方程易求解.试题解析：设规定日期是x天.则甲单独做需要x天，乙单独做需要(x+3)天，根据题意得：(1+X2+_=1,xs+3x+31两边同乘经x(x+3),约去分母得，2(x+3)+2x+x(x-2)=x(x+3),解这个整式方程，得：x=6,经检验，x=6是原方程的根.答：规定的日期是6天.(3

6、)16.黄商超市以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件.超市为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价第降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，超市将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.(1)完成下表(不化简)时间第L个月第二个月清仓时单价(元)8040销售量(件)200(2)如果超市希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价是多少元？【答案】(1)80-x,200+10 x,800-200-(200+10 x)(2)第二个月的单价

7、应是70元.【解析】试题分析：(1)根据题意直接用含x的代数式表示即可；(2)利用“获利9000元”，即销售额-进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍.试题解析：(1)80-x,200+10 x,800-200-(200+10 x)时间第一个月第二个月清仓时单价元）so3Q-Zq口销售量（件）200200-l-lOx800-200-(200+10k)(2)根据题意，得80X200+(80-x)(200+10 x)+40800-200-(200+10X)卜50X800=9000整理得10 x2-200 x+1000=0,即x2-20 x+100

8、=0,解得xi=x2=10当x=10时，80-x=7050答：第二个月白单价应是70元.变式练习2:（1）为了抓住集安国际枫叶旅游节的商机，某商店决定购进A、B两种旅游纪念品.若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元；（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方

9、案获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）购进A、B两种纪念品每件各需100元、50元.（2）有4种进货方案：方案一：A种50件，B种50件；方案二：A种51件，B种49件；方案三：A种52件，B种48件；方案四：A种53件，B种47件；（3）方案一获利最大，最大利润为50X20+50X30=2500（元）.【解析】试题分析：（1）设购进A、B两种纪念品每件各需a元、b元，根据A种纪念品8件+B种纪念品3件所化钱数=950元；A种纪念品5件+B种纪念品6件所化的钱数=800元列方程组即可.（2）该商店购进A种纪念品x件,B种纪念品（100 x）件，根据购买这100件纪念品的资金不少于7500

10、元，但不超过7650元列不等式组解不等式组即可求出结论.（3）因为B种纪念品的利润较高，根据B种纪念品数量越多，总利润越高得出答案.试题解析：解：（1）设购进A、B两种纪念品每件各需a元、b元，则8a3b9505a6b800解得10050所以购进A、B两种纪念品每件各需100元、50元.遴;卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌 (2)设该商店购进A种纪念品X件，B种纪念品(100 x)件，则100X50(100 x)7500,100X50(100 x)7650解得50 x53,X为正整数，x=50、51、52、53,有4种进货方案：方案一：A种50件，B种50件；方案二：A种51件，B种49件；

11、方案三：A种52件，B种48件；方案四：A种53件，B种47件(3)B种纪念品的利润较高，B种纪念品数量越多，总利润越高，方案一获利最大，最大利润为50X20+50X30=2500(元).考点：二元一次方程组的应用一元一次不等式的应用，一，、，一，21例3:已知关于x的万程x(2k1)x4(k-)0.(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由.(3)当等腰三角形ABC的边长a4,另两边的长b、C恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长.【答案】(1)证明见试题解析；(2)k1；(3)10.2【

12、解析】试题分析:(1)整理根的判别式，得到它是非负数即可.(2)两实数根互为相反数，让b0即可求得k的值.(3)分bc,ba两种情况做.试题解析：(1).=(2k1)216(k1)(2k3)20,，方程总有实根；21(2).两实数根互为相反数，%x22k10,解得k-;2(3)当bc时，则4=0,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark69 I一_9_3 HYPERLINK l bookmark71 即(2k3)20,k3,2方程可化为x24x40,x1x22,bc2,bc4a不适合题意舍去； HYPERLINK l bookmark74 5当ba4,则424(2k

13、1)4(k-)0,k， HYPERLINK l bookmark67 2方程化为x26x80,解得x14,x22,1.c=2,aabc=10,当c=a=4时，同理得b=2,1.Caab(=10,懑卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌 综上所述，ABC的周长为10.考点：1.根与系数的关系；2.解一元二次方程-因式分解法；3.根的判别式.变式练习3:已知关于x的方程x*2*42(k1)xk20有两个实数根X1、x2.（1）求k的取值范围；若仅1x2x1x21,求k的值.【答案】（1）k1;（2）-3.2【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得=b24ac0,代入可解出k的取值范围;（2）结合

14、（1）中k的取值范围，由题意可知,值.试题解析：（1）由方程有两个实数根，可得x1x22（k1）0,去绝对值号结合等式关系，可得出.222.一一1=b24ac4(k1)24k28k40,解得，k2(2)依据题意可得，x1x22(k1),x1x2k2，一1由（1）可知k22(k1)0 x1x20(x1*2)小2122(k1)k21解得k11（舍去），k23,，k的值是-3.1答：（1）k的取值范围是k一；（2）k的值是-3.2a的取值范围是（）考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.Aa2B.aW2C.a2D.av2【答案】C3.下列方程中，是关于x的一元二次方程为（）A3x15x7D1-x1

15、0 xx2-5=0ax2bx5（a和b为常数）【答案】C.4.某药品经过两次降价，每瓶零售价由180元降为100元.已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x,根据题意列方程正确的是（）.A180（1+x）2=100B.180（1-x2）=100C.180（1-2x）=100D.180（1-x）2=100【答案】D.ABC的一边长为5,另两边分别是方程x2-6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）.m114B.9C,Uwmc9D,444【答案】B.x13.不等式组的解集为（）.2xf6Ax3B,x4C,3x4D【答案】D.若一元二次方程x2-2x-k=0无实数根，则二次函数A第四象限B.

16、第三象限C.第二象限D【答案】A.3x3B,m3D【答案】D.某工厂现在平均每天比原计划多生产330台机器，现在生产500台机器所需时间与圆计划生产350台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,卜面所列方程正确的是（500350Lx30 x、500350 xx30【答案】A.500350 x30 x500350 xx30，计划安排10场比赛，则参加比.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）赛的球队应有（）A7队B.6队C.5队D.4队【答案】C.使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20宿的长方形，求这个长方形的两边长.设墙的对边长为xm,

17、可得方程（）Ax（13-x）=20B.x?13x=20C,x（13-1x）=20D.x?13_2x=20【答案】B.”如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若两根，且ab,则a、b、mn的大小关系是（）A.rnxabnB.avmnbC.ambnD.mvavnvbmn(mn)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的【答案】A.13.李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工需步行一段路,250米/分钟，步行的速度是80米/分钟.他家离学校的距离是到学校共用时15分钟.他骑自行车

18、的速度是2900米.若他骑车和步行的时间分别为x分钟和y分钟，则列出的方程组是(1Axy-B.250 x80y2900 xy15C.D.250 x80y2900)xy1580 x250y29001xy480 x250y290014.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A2535B.2535xxx20 x20C.2535D.2535xx20 x20 x【答案】C.15.已知实数m是关于x的方程x2-3x-1=0的一根，则代数式22m6m+2值为【答案】4.16.已知方程3-a

19、-有增根，则a的值为x5x55.17.已知关于x的方程（m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是18.某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台.设平均每次的降价率为x,根据题意列出的方程是.【答案】7200（1-x）2=3528.19.已知关于x的不等式组1及0,然后根据非负数的性质即k的取值得到0,则可根据判别式的意义得到结论，；(2)利用公式法表示出方程的两个根，再进一步理由方程有整数根探讨得出k的数值即可.试题解析：(1)证明：这:a=k,b=-(2k-2),c=k-2,.=b2-4ac=-(2k-2)2-4kx(k-2)=4

20、k2-8k+4-4k2+8k=40,无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根.整理，得x11X2(2)解：方程kx2-(2k2)x+(k-2)=0(kw0)的解为:在方程的两个根中，x1=1是整数，k2,k22x2为整数,x21一，kkk.k为整数，.当k为1和2时方程有整数根.考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法课外练习.若方程ax2+bx+c=0(aw0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是()A1,0B.-1,0C.1,-1D,无法确定【答案】C.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为(A14B.12C.12

21、或14D,以上都不对【答案】B.用配方法解一元二次方程x2-6x-7=0,则方程变形为()A(x-6)2=43B.(x+6)2=43C.(x-3)2=16D.(x+3)2=16【答案】C.2x34.不等式组33的解集在数轴上表示正确的是(x1x22卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌 -J_J-43-2-I01BI1012345.已知方程bxa0的一个根是a（a0）,则代数式ab的值是（A-1B【答案】A、以上答案都不是6.分式方程xx11的解是A.x=1B.x=-1+7.不等式x2xa8.(x1)(x2)C.x=2D.无解无解，则a的取值范围是（a2C.a2（3分）不等式组的解集为a4B.a=4C.a4x1.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示:甲乙进价阮/部)40002500售价阮/部)43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元(毛利润=(售价-进价)X销售量)(1)该商场计划购进甲、乙两种手